

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 7: \\[3mm] Теорема Урысона о метризации}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 10 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
{\bf \blue Нормальные пространства}

{\bf \green Определение:}
Пространство $M$ называется
{\bf нормальным}, если любые два непересекающихся замкнутых подмножества
имеют непересекающиеся окрестности.

{\bf \green Замечание:}
Напомним, что {\bf \red аксиома Хаусдорфа} утверждает что любые
две разные точки топологического пространства 
имеют непересекающиеся окрестности.
{\red Если все точки пространства замкнуты, то из нормальности вытекает
хаусдорфовость.} {\bf \blue Пространство удовлетворяет аксиоме
Т4, если оно нормально и хаусдорфово.}

{\bf \green Замечание:}
{\bf\red Метрические пространства нормальны.} 
Непересекающиеся окрестности $A$ и $B$ задаются так:
\[
V:= \bigcup_{z\in A} B_{\frac 1 2 d(z, B)}(z), \ \ 
W:= \bigcup_{z\in B} B_{\frac 1 2 d(z, A)}(z).
\]

{\bf \green Определение:}
Пусть $U\subset V$ -- два подмножества топологического
пространства, причем замыкание $U$ лежит в $V$. Это 
отношение обозначается так: $U \Subset V$.

\newpage

{\bf \blue Окрестности, удовлетворяющие $U\Subset V$}

{\bf \red Утверждение:}
Нормальность топологического пространства
равносильнa следующему свойству.
{\bf\red Пусть $U\supset A$ --
окрестность замкнутого множества $A$. Тогда 
есть окрестность $V \supset A$ такая, что
$V\Subset U$.}

\begin{center}
\epsfig{file=normalnost.png,width=0.4\linewidth}
\end{center}

Для доказательства этого, возьмем $B:= M \backslash U$,
воспользуемся нормальностью, и убедимся, что
$\overline V\subset M\backslash W$.

{\bf \green Замечание:} 
Пусть $U_0\Subset U_1$ - два открытых множества в нормальном
топологическом пространстве. {\bf\red Тогда существует открытое $U_{1/2}$,
такое, что $U_0\Subset U_{1/2} \Subset U_1$.} Для доказательства,
возьмем $A:=\overline{U_0}$, и воспользуемся  утверждением выше.

\newpage

{\bf \blue Функции Урысона}

{\bf \green Определение:} 
Пусть $A$, $B$ - непересекающиеся замкнутые множества
в топологическом пространстве $M$. Непрерывная функция
$\phi:\; M \arrow [0,1]$ называется {\bf \blue функцией Урысона},
если $\phi \restrict A =0$, $\phi\restrict B =1$.

{\bf \green Замечание.} 
{\bf \purple В метрическом пространстве функции Урысона существуют
для любых замкнутых $A$ и $B$:}
\[
\phi(z) = \min\left(1, \frac{d(x,A)}{d(x,B)}\right).
\]

{\bf \red Лемма Урысона:} \\
Топологическое пространство
$M$ нормально тогда и только тогда, когда 
для любых двух непересекающихся замкнутых
множеств существует функция Урысона.

{\bf \green Замечание:} {\bf \purple Из существования функции
Урысона $\phi$ для любых $A$, $B$,
нормальность $M$ следует немедленно.} Действительно, возьмем
\[ U:= \phi^{-1}([0,1/3[),  \ \ V:=\phi^{-1}(]2/3, 1]). \]

\newpage

{\bf \blue Доказательство леммы Урысона}

Обозначим за $U_1$ дополнение к $B$, 
за $U_0$ обозначим $A$. Возьмем $U_{1/2}$ такое, что 
$U_0\Subset U_{1/2} \Subset U_1$, потом возьмем
$U_{1/4}$ такое, что $U_0\Subset U_{1/4}\Subset U_{1/2}$
и $U_{3/4}$ такое, что $U_{1/2} \Subset U_{3/4}\Subset U_1$.
Воспользуемся индукцией.

Получим, что {\bf \purple для каждого
двоично-рационального числа вида $\frac n {2^m}\in [0,1]$,
задано множество $U_\lambda$, открытое при $\lambda>0$,
причем для $\lambda < \mu$, имеем $U_\lambda \Subset U_\mu$.}

Рассмотрим функцию $\phi:\; U_1 \arrow [0,1]$
\[
\phi(x):= \inf \{ \lambda \ |\ x\in U_\lambda\}.
\]
Доопределим: $\phi\restrict B=1$.

{\bf \green Утверждение:} {\bf \red Это функция Урысона.}

{\purple Условие $\phi \restrict A =0$, $\phi\restrict B =1$
очевидно, осталось проверить непрерывность.} Для этого
{\purple достаточно проверить, что $\phi^{-1}([0,\alpha[)$ открыто, а
$\phi^{-1}([0,\beta])$ замкнуто}.


\newpage

{\bf \blue Доказательство леммы Урысона (продолжение)}

По определению, 
$\phi^{-1}([0,\alpha[) = \bigcup_{\lambda < \alpha} U_\lambda$\\
{\bf \purple Это множество очевидно открыто.}

{\bf \blue Доказательство замкнутости $\phi^{-1}([0,\beta])$}.

{\bf \green 1. Докажем $\phi^{-1}([0,\beta])=\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda$:}
\[
\phi^{-1}([0,\beta])=\bigcap_{\alpha > \beta} \phi^{-1}([0,\alpha[) =
\bigcap_{\alpha > \beta} \left(\bigcup_{\lambda < \alpha} U_\lambda\right)
=\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda.
\]

{\bf \green 2. Докажем $\phi^{-1}([0,\beta])=\bigcap_{\lambda >
\beta} \overline{U_\lambda}$:}\\
Поскольку $U_{\lambda}\Subset U_{\lambda+\frac {\lambda-\beta}2}$, 
имеем $U_{\lambda}\subset 
   \overline{U_\lambda}\subset U_{\lambda+\frac {\lambda-\beta}2}.$
Поэтому
\[ 
\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda \subset 
\bigcap_{\lambda > \beta}\overline{U_\lambda} \subset 
\bigcap_{\lambda > \beta}U_{\lambda+\frac {\lambda-\beta}2}=
\bigcap_{\lambda > \beta} U_\lambda.
\]
{\bf \purple Это множество очевидно замкнуто.}

{\bf \blue Мы доказали лемму Урысона.}

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Urysohn.jpg,width=0.65\linewidth}\\
{Павел Самуилович Урысон\\
(1898 - 1924)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Нормальность в пространствах со счетной базой}

{\bf\green Определение:}
Напомним, что $M$ {\bf \blue удовлетворяет аксиоме Т6,}
если оно хаусдорфово, нормально, и каждое замкнутое подмножество
в $M$ получается как пересечение счетного числа
своих окрестностей.

{\bf\green Предложение:}
Любое хаусдорфово, нормальное 
пространство $M$ со счетной базой 
удовлетворяет Т6. 

{\bf\purple Доказательство.}\\
{\bf \green Шаг 1:} 
Пусть $\{U_i\}$ - множество всех элементов
из счетной базы топологии $M$ таких, что
замыкание каждого $U_i$ не пересекается с $A$. {\bf \purple
Из нормальности следует, что $\bigcup_i U_i= M\backslash
  A$.}

{\bf \green Шаг 2:} Возьмем 
$V_i:= M \backslash \overline{U_i}$.
Получим
\[
\bigcap_i V_i \supset M \backslash \left (\bigcup_i U_i\right) = A
\]
{\bf \purple Мы получили, что $\bigcap_i V_i=A$.}

\newpage

{\bf \blue Нуль-множества}

{\bf \green Определение:} 
Пусть $A\subset M$ -- замкнутое подмножество $M$.
Оно называется {\bf \blue нуль-множеством}, если
существует непрерывная функция 
$f:\; M \arrow [0,1]$ такая, что $A = f^{-1}(0)$.

{\bf \green Замечание:} {\purple В метрическом пространстве,
любое замкнутое множество $A$ является нуль-множеством.} В
качестве $f$ можно взять функцию $x \arrow d(x,A)$.

{\bf\green Теорема:}
Пусть $M$ -- нормально, а $A\subset M$ -- замкнуто.
Тогда следующие условия равносильны:
{\bf \red (a).} $A$ можно получить как пересечение счетного числа
открытых  окрестностей $W_i \supset A$.
{\bf \red (b).} $A$ -- нуль-множество.

{\bf \green Замечание:} Нуль-множество очевидно получается 
как пересечение счетного числа открытых множеств:
$\bigcap_i f^{-1}([0, \frac 1 {2^i}[)$.

{\bf \green Замечание:} Из этой теоремы следует, что
{\bf \red аксиома Т6 для $M$} {\bf \blue равносильна тому, что} {\bf \red $M$ нормально,
хаусдорфово, а всякое замкнутое подмножество $M$
является нуль-множеством.}


\newpage

{\bf \blue Доказательство теоремы о нуль-множестве}

Пусть $V_1\supset V_2 \supset V_3 \supset ...$ -- последовательность
открытых множеств, дающая в пересечении $A$. {\green\bf Воспользуемся
аргументом, который доказывает лемму Урысона, взяв в
качестве $B$ пустое множество.}

{\bf \purple Будем строить набор открытых множеств
$U_{\frac m {2^n}}$, $U_\lambda\Subset U_\mu$, 
таким образом, чтобы множество $U_{\frac 1 {2^n}}$
содержалось в $V_n$.}

{\green\bf
Возьмем $U_\lambda$ как в доказательстве Урысона,}
на каждом шаге заменяя $U_{\frac 1 {2^n}}$ 
на $U_{\frac 1 {2^n}}\cap V_n$. От $U_{\frac 1 {2^n}}$ 
нам нужно только $A \subset U_{\frac 1 {2^n}} \Subset U_{\frac 1 {2^{n-1}}}.$
это условие при такой замене сохраняется.

Получим функцию Урысона $f(x):= \inf \{ \lambda \ \ |\ \ x\in U_\lambda\}$.

Поскольку $f^{-1}([0, \frac 1 {2^i}[)\subset V_i$,
имеем
\[ f^{-1}(0) = 
   \bigcap_i f^{-1}\left (\left[0, \frac 1{2^i}\right[\right)\subset \bigcap_i
   V_i = A.
\]
{\bf \red Мы доказали, что $A$ -- это нуль-множество.}

\newpage

{\bf \blue Теорема Урысона о метризации}

{\bf \green Теорема Урысона:}
Пусть $M$ -- нормальное, хаусдорфово топологическое
пространство со счетной базой. Тогда существует
непрерывное, инъективное вложение 
$M \stackrel \Phi \hookrightarrow [0,1]^{\N}$ в
счетное произведение отрезков.
Более того, $\Phi$ является гомеоморфизмом $M$
на его образ.

{\bf \green Замечание:} Поскольку $\Phi$ задает
гомеоморфизм $M$ и подмножества метрического
пространства (тихоновский куб гомеоморфен гильбертову), 
{\bf \red из теоремы Урысона следует,
что $M$ метризуемо.}

{\bf \green Замечание:}
Нормальные, хаусдорфовы пространства со счетной
базой называются {\bf \blue польскими}. Из теоремы Урысона
следует, что {\bf \red любое польское пространство метризуемо.}

{\bf \green Замечание:} В польском пространстве выполнена
аксиома T6, как мы только что доказали. Поэтому  {\bf \red
любое
замкнутое подмножество польского пространства
является нуль-множеством.}


\newpage

{\bf \blue Доказательство теоремы Урысона.}

Пусть $\{U_i\}$ -- счетная база топологии $M$, а 
$A_i:= M \backslash U_i$. Тогда $A_i$ -- нуль-множества.
{\bf \red Возьмем $f_i:\; M \arrow [0,1]$, такая, что $f_i^{-1}(0)=A_i$.}\\
Рассмотрим отображение из $M$ в тихоновский куб:
\[
M \stackrel{\prod_i f_i}\arrow [0,1]^{\N}.
\]

{\bf \purple Шаг 1. Докажем, что $\Phi:=\prod_i f_i$ -- вложение.}
Поскольку $U_i$ это база хаусдорфовой топологии, 
для любых двух точек $x\neq y$ существует $A_i$, которое содержит 
$x$ и не содержит $y$. Тогда $f_i(x)\neq f_i(y)$.

{\bf \purple Шаг 2. Докажем, что $\Phi:=\prod_i f_i$ -- 
гомеоморфизм на его образ.} {\bf \green Для этого нужно, чтобы
любое открытое множество в $M$ получалось как прообраз
$\Phi^{-1}(U)$,} для какого-то открытого $U\subset [0,1]^{\N}$.

{\bf \green Достаточно доказать это для всех открытых множеств $U_i$ из базы.}
Поскольку $U_i = f_i^{-1}(]0,1])$, имеем
\[
U_i = \Phi^{-1}([0,1]\times [0,1] \times \cdots \times ]0,1] \times [0,1]\times \cdots \subset [0,1]^{\N})
\]
{\bf \green Это множество открыто в $[0,1]^{\N}$.}

\newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 8: \\[3mm] Компакты}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 10 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newpage

{\bf \blue Компакты в хаусдорфовом пространстве.}

{\bf \green Определение:} 
Топологическое пространство $M$ называется
{\bf \blue компактным}, если каждое открытое покрытие $M$
имеет конечное подпокрытие.

{\bf \green Замечание:} 
Замкнутое подмножество компакта очевидно компактно.
Обратное, вообще говоря, неверно.

{\bf \green Утверждение:}\\
{\bf \red
Компактное подмножество хаусдорфова пространства замкнуто.}

{\bf \purple Доказательство:}
Пусть $X \subset M$ -- компактное
подмножество, а $z$ -- точка его замыкания, которая
не лежит в $Z$. Найдем у каждой точки $x\in X$ 
окрестность $U_x \ni x$, замыкание которой
$\overline{U_x}$ не содержит $z$. Выберем
из $U_x$ конечное подпокрытие. Воспользуемся
\[\overline{\bigcup_{i=1}^n U_i} = \bigcup_{i=1}^n \overline {U_i},
\]
{\bf \purple получим, что $\bigcup_{i=1}^n \overline {U_i}$
замкнуто и не содержит $z$.}

\newpage

{\bf \blue Компактность и секвенциальная компактность.}

{\bf \green Определение:}
Топологическое пространство $M$ называется
 {\bf\blueсеквенциально компактным}, если каждая последовательность
$\{x_i\}$ в $M$ имеет {\bf\blue предельную точку} (точку, в любой окрестности
которой содержится бесконечное количество членов $\{x_i\}$).

{\bf \green Замечание:}
Пусть $M$ -- компактное топологическое пространство.
Из компактности легко выводится, что {\bf \purple последовательность
вложенных, непустых, замкнутых подмножеств
\[
A_1 \supset A_2 \supset \cdots
\]
всегда имеет непустое пересечение.}

{\bf \green Замечание:} {\bf \red Из компактности
следует секвенциальная компактность.} Действительно,
пусть $\{ x_i\}$ -- последовательность точек $M$,
$R_n$ -- множество $\{x_n, x_{n+1}, x_{n+2}, ...\}$,
a $\overline{R_n}$ -- его замыкание.  Тогда пересечение 
$\bigcap_i \overline{R_i}$ непусто. Ясно, что это
пересечение состоит из предельных точек последовательности
$\{ x_i\}$.

\newpage

{\bf \blue Компактность и секвенциальная компактность (продолжение).}

{\bf \green Замечание:}{\bf \red 
Любая непрерывная функция $f:\; M \arrow \R$
на секвенциальном компакте принимает максимум и минимум.}
\[
 \boxed{ \begin{minipage}{0.19\linewidth}
{компактность}\end{minipage}} \ \Rightarrow\ 
\boxed{ \begin{minipage}{0.23\linewidth}
{секвенциальная\\ компактность}\end{minipage}} \ \Rightarrow\ 
\boxed{ \begin{minipage}{0.33\linewidth}
{непрерывные функции достигают минимума и максимума}\end{minipage} }
\]

{\bf \green Замечание:} Для метрических пространств,
секвенциальная компактность равносильна обычной
(теорема Гейне-Бореля).


\newpage

{\bf \blue Компакты и нормальные пространства}

{\bf \green Теорема:}
Пусть $M$ -- компактное, хаусдорфово
топологическое пространство. Тогда $M$ нормально.

{\bf \purple Доказательство.}\\
{\bf\green Шаг 1.} Докажем, что в $M$ выполнена аксиома Т3,
то есть для каждого замкнутого множества 
$A\subset M$, и точки $x\notin A$, существуют непересекающиеся
окрестности $A$ и $x$. 

Для всех $z\in A$, выберем окрестность
$U_z\ni z$, замыкание которой $\overline {U_z}$ не
содержит $x$. Выберем в покрытии $\{U_z\}$ конечное
подпокрытие $U_i$. {\bf \purple Замыкание $\bigcup U_i$ равно
$\bigcup \overline {U_i}$,   не содержит $z$.}

{\bf\green Шаг 2.} Тот же аргумент позволяет
вывести из T3 и компактности T4.
 Пусть $A$ и $B$ --
два непересекающихся замкнутых подмножества $M$.
У каждой точки $z\in A$ есть окрестность $U_z$, замыкание которой
не пересекается с $B$, в силу T3.  Выберем в покрытии $\{U_z\}$ конечное
подпокрытие $U_i$. {\bf \purple Замыкание $\bigcup U_i$ равно
$\bigcup \overline {U_i}$ и  не пересекается с $B$.}\\
{\bf \red Поэтому $M$ нормально.}


\newpage

{\bf \blue Вложения компактов.}

{\bf \green Чрезвычайно важное наблюдение.}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение.
Тогда образ компактного подмножества $X$ компактен. 

{\bf \green Следствие:}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное вложение
хаусдорфовых топологических пространств, причем $X$ -- компакт.
Рассмотрим образ $f(X) \subset Y$ как топологическое
пространство, с индуцированной топологией.
Тогда $f$ -- это гомеоморфизм.

{\bf \purple Доказательство:} Образ компакта компактен,
значит, образ замкнутого множества замкнут, открытого -- открыт.

{\bf \green Следствие:}
Из нормальности компакта и леммы Урысона следует, что
{\bf \red любой хаусдорфов компакт гомеоморфен
подмножеству тихоновского куба}.

\newpage


\begin{center}
\epsfig{file=Alexandrov.jpg,width=0.5\linewidth}\\
{Павел Сергеевич Александров\\
(1896 - 1982)}
\end{center}


\end{document}



