

\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\triangle}{\vartriangle}

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   17.03.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008, первый
курс, лекция 9} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Spec{\operatorname{\sf Spec}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{8}
\lhead{{\scriptsize  Топология, лекция 9: произведение компактов}}
\chapter{Топология, лекция 9: \\Произведение компактов}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Открытые, замкнутые, собственные отображения}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение
топологических пространств. Отображение $f$ называется
{\бф собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт,
 {\бф открытым}, если образ любого открытого множества открыт,
из {\бф замкнутым}, если образ любого замкнутого множества
замкнут.
\ео


\замечание
Основной пример собственного отображения --
непрерывное отображение из компакта $X$ в хаусдорфово
топологическое пространство $Y$. Действительно, прообраз 
компактного (следовательно, замкнутого) подмножества $Y$
замкнут в $X$, то есть компактен.

Кроме того, это отображение замкнуто. Действительно,
 любое замкнутое подмножество $X$ компактно,
образ компакта компактен, а компактное
подмножество хаусдорфова пространства
замкнуто.
\еза


\замечание
Пример открытого отображения.
Для любых топологических пространств $X$ и $Y$,
проекция $X \times Y \stackrel \pi\arrow Y$ открыта. 
Для проверки этого, достаточно убедиться, что
$\pi(W)$ открыт для любого множества из базы
топологии на $X\times Y$.
Выбрав базу из множеств вида $U\times V$,
где $U, V$ открыты в $X, Y$, мы получим
что $\pi(W)=V$ открыто.
\еза


\задача
Приведите пример непрерывного отображения
хаусдорфовых пространств, которое
\итем замкнуто, но не открыто
\итем открыто, но не замкнуто
\ез

\замечание
Компактность топологического пространства $M$ равносильно
следующему свойству (докажите).
Пусть $\{A_\alpha\}$ -- набор
замкнутых подмножеств $M$, такой, что любое конечное
подмножество $A_1, A_2, ... , A_n \subset \{A_\alpha\}$
имеет общую точку. Тогда все $A_i$ имеют общую точку.
Действительно,  $\bigcap_\alpha A_\alpha=\emptyset$
тогда и только тогда, когда $\{ M\backslash A_\alpha\}$ 
-- покрытие $M$.
\еза


Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение
Напомним, что для любой точки $y\in Y$, прообраз
$f^{-1}(y)$ называется {\бф слоем} $f$.

\хфилл


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\теорема\label{_sobstve_zamknu_Teorema_}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- замкнутое, непрерывное отображение,
причем все слои $f$ компактны. Тогда $f$ -- собственное.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} 
Пусть $K\subset Y$ -- компакт.
Для доказательства \ref{_sobstve_zamknu_Teorema_},
достаточно убедиться, что $f^{-1}(K)$ -- компакт.
Заменив $Y$ на $K$, а $X$ на $f^{-1}(K)$, 
можно считать $Y$ компактом.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 1:} Пусть $\{A_\alpha\}$ --
набор замкнутых подмножеств в $X$ такой, что любое конечное
подмножество $A_1, A_2, ... , A_n \subset \{A_\alpha\}$
имеет общую точку. Добавив к $\{A_\alpha\}$
все конечные пересечения элементов $\{A_\alpha\}$,
получим набор замкнутых подмножеств $X$,
обладающий тем же свойством. Будем считать,
что $\{A_\alpha\}$ содержит все конечные
пересечения своих элементов.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 2:}
Поскольку $Y$ компактно, а все $f(A_\alpha)$
замкнуты, $\{ f(A_\alpha)\}$ имеет 
общую точку $y\in Y$ (докажите). 

\хфилл

\ноиндент
{\бф Шаг 3:} Рассмотрим слой $f^{-1}(y) \subset X$.
Пусть  $A_1, A_2, ... , A_n \subset \{A_\alpha\}$.
Любое конечное пересечение $\bigcap_i A_i$
лежит в наборе $\{A_\alpha\}$, а
$f(A_\alpha)\ni y$ для всех $\alpha$.
Значит, $\bigcap_i A_i$ пересекается с $f^{-1}(y)$.
Мы получили, что любое конечное подмножество
набора $\{A_\alpha\cap f^{-1}(y)\}$
имеет общую точку. Поскольку $f^{-1}(y)$
компактен, из этого следует, что  набор
$\{A_\alpha\cap f^{-1}(y)\}$ имеет
общую точку. Это доказывает Теорему \ref{_sobstve_zamknu_Teorema_}. 
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Конечные произведения компактов}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теорема Тихонова утверждает, что любое (даже бесконечное)
произведение компактов компактно. Для бесконечных
произведений, ее доказательство требует аксиомы выбора.
Как доказал Джон Келли (John L. Kelley) в 1950-м году,
теорема Тихонова равносильна аксиоме выбора.

Для конечных произведений, аксиома выбора не нужна,
и компактность произведения компактов можно доказать
непосредственно. К сожалению, доказательство
получается чуть более сложным.


Пусть $X$, $Y$ -- компакты, а
$\pi:\; X \times Y \arrow Y$ -- проекция.
Слои $\pi$ гомеоморфны $X$, и поэтому компактны.
Таким образом, компактность произведения $X\times Y$
вытекает из Теоремы \ref{_sobstve_zamknu_Teorema_},
и следующего утверждения.

\хфилл

\утверждение\label{_zamk_proe_Predlozhenie_}
Пусть $X$, $Y$ -- топологические пространства,
причем $X$ компактно, а $\pi:\; X \times Y \arrow Y$ --
проекция. Тогда отображение $\pi$ замкнуто.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Пусть $Z\subset X\times Y$ -- замкнутое подмножество,
а $y$ -- предельная точка множества $\pi(Z)$.
Точка $y$ лежит в $\pi(Z)$ тогда и только тогда, когда
$\pi^{-1}(y)\cap Z\neq\emptyset$.
Если $\pi(Z)$ незамкнуто, для какой-то предельной
точки имеем  $\pi^{-1}(y)\cap Z=\emptyset$.

В этом случае, у каждой точки $(x,y)\in
\pi^{-1}(y)$ есть окрестность $U_{x,y}$, не пересекающаяся с $Z$.
Выбрав $U_{x,y}$ в базе топологии, можно считать, что
$U_{x,y} = V_{x,y} \times W_{x,y}$, где $V_{x,y}\subset X$ -- окрестность
$x\in X$, а $W_{x,y}\subset Y$ - окрестность $y\in Y$.

Множество $\{U_{x,y}\}$ задает покрытие $\pi^{-1}(y)$.
Выберем у него конечное подпокрытие $\{V_i \times W_i\}$.
Тогда $\{V_i\}$ составляет покрытие $X$. Поэтому имеем
\[ X \times \bigcap_i W_i\subset \bigcup_i V_i \times W_i
\] 
(проверьте). Следовательно, множество $X \times \bigcap_i W_i$ 
не пересекает $Z$. Поэтому $y$ имеет окрестность
$\bigcap_i W_i$, не пересекающую $\pi(Z)$,
а значит, не является предельной точкой.
Мы получили, что $\pi(Z)$ замкнуто. \endproof

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=zamknu.eps,width=0.8\linewidth}\\
{\small \em Проекция с компактным слоем замкнута}
\end{center}
\end{figure}

\hfill

\замечание 
Если $X$ некомпактно, Утверждение \ref{_zamk_proe_Predlozhenie_}
неверно. Действительно, рассмотрим проекцию $\R \times \R
\arrow \R$, и гиперболу, то есть замкнутое подмножество 
$Z\subset \R \times \R$, состоящее из пар $\{ (x,y) \ |\ xy=1\}$.
Легко видеть, что $\pi(Z)$ незамкнуто (докажите).
\еза


\hfill

Сравнивая Утверждение \ref{_zamk_proe_Predlozhenie_}
и Теорему \ref{_sobstve_zamknu_Teorema_}, мы получаем,
что произведение компактных пространств компактно.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Максимальные идеалы в кольцах}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Все кольца в этой лекции предполагаются коммутативными
(с коммутативным умножением) и с единицей (элементом
$1\in R$ таким, что $1\cdot x =x $ для каждого $x$).

Напомним, что {\бф идеалом} в кольце $R$ называется
подмножество $I\subset R$, которое является подгруппой
по сложению, и к тому же удовлетворяет следующему.
Для каждого $x\in R, \gamma\in I,$ произведение 
$x\gamma$ также лежит в $I$. Это свойство
записывается так: $RI \subset I$.

Напомним, что {\бф гомоморфизмом колец}
называется отображение $R_1\stackrel \phi \arrow R_2$, которое
переводит 1 в 1, 0 в 0, и согласовано со сложением
(то есть удовлетворяет $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$,
$\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$).

{\бф Ядром гомоморфизма} $R_1\stackrel \phi \arrow R_2$
называется множество всех элементов $R_1$, переходящих в 0.

Легко видеть, что ядро гомоморфизма -- идеал (проверьте).
Для каждого идеала $I \subset R$, факторгруппа $R/I$
наделяется естественной структурой кольца (проверьте).
Таким образом, идеалы в кольце -- подмножества, которые
могут быть ядром гомоморфизма $R \arrow R_1$.


\определение
Пусть $R$ -- кольцо, а $S\subset R$ -- набор элементов
$R$. Рассмотрим множество $I\subset R$, состоящее
из всех линейных комбинаций вида 
\[
\sum_{i=1}^n \lambda_i s_i,
\]
где $s_i \in S$, а $\lambda_i \in R$.
Легко видеть, что $I$ это идеал.
Этот идеал называеся {\бф идеалом,
порожденным элементами $S$.}
\ео

\замечание \label{_bez_idea_pole_Zamechanie_}
Пусть $r\in R$ -- любой элемент, а $r R$ -- порожденное
им подмножество $R$. Легко видеть, что $rR\neq R$ 
тогда и только тогда, когда когда $r$ не 
обратим\footnote{Напомним, что $r\in R$ называется
{\бф обратимым в кольце $R$}, если $rr_1 =1$, для
какого-то $r_1 \in R$.} в $R$ (проверьте это).

Поэтому любое кольцо $R$, в котором любой идеал
равен $R$ либо 0, является полем (докажите).
\еза

\определение
Пусть $R$ -- кольцо, а $I\subsetneqq R$ -- идеал.
Идеал $I$ называется {\бф максимальным}, 
если не существует идеала $I_1$ с 
$I \subsetneqq I_1 \subsetneqq R$.
\ео

\утверждение
Идеал $I\subset R$ максимален тогда и только тогда,
когда факторкольцо $R/I$ -- поле.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} Легко видеть, что идеалы 
$I_1 \supset I$ находятся во вза\-им\-но-\-од\-нозначном
соответствии с идеалами кольца $R/I$ (проверьте это). 
Отсутствие идеалов  $I \subsetneqq I_1 \subsetneqq R$
равносильно тому, что в  $R/I$ любой
идеал равен 0 либо $R$. В силу 
Замечания \ref{_bez_idea_pole_Zamechanie_},
это равносильно тому, что $R/I$ -- поле.
\endproof


\определение
Напомним, что идеал $I \subset R$ кольца $R$ называется 
{\бф простым}, если для любых $x, y\in R$, из
$xy\in I$ следует, что $x\in I$ либо $y\in I$.
\ео

\задача
Докажите, что любой максимальный идеал -- простой.
\ез


Напомним, что набор подмножеств $S_1 \subset 2^M$
называется  {\бф монотонным}, или {\бф вложенным}, если для любых
$p, q \in S_1$, либо $p\subset q$,
либо $q \subset p$. {\бф Максимальным
элементом} набора подмножеств $S \subset 2^M$
называется такой  элемент $s\in S$, что для любого 
$r\in S$, из $r \supset s$ следует 
$r=s$.

Напомним, что лемма Цорна (Zorn's Lemma) -- следующее
утверждение теории множеств, равносильное аксиоме выбора.
Пусть $S=\{S_\alpha\}\subset 2^M$ -- набор подмножеств множества $M$,
которые удовлетворяют такому свойству: для любого
монотонного поднабора $\{S_\beta\}\subset S$, объединение
$\bigcup_\beta S_\beta$ тоже лежит в $S$. Тогда в $S$
есть максимальный элемент.

Из леммы Цорна немедленно следует существование
максимальных идеалов.

\hfill

\теорема
Пусть $I \subsetneqq R$ -- идеал в кольце.
Тогда существует максимальный идеал $I_1 \supset I$.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} Пусть $S \subset 2^R$ - множество
идеалов, содержащих $I$, и не равных $R$. Легко видеть,
что для вложенного набора идеалов $\{I_\alpha\}\subset S$,
объединение $\bigcup_\alpha I_\alpha$ -- идеал,
не равный $R$. Действительно, объединение
любого набора вложенных идеалов - снова идеал 
(проверьте это). Объединение $\bigcup_\alpha I_\alpha$
равно $R$, если $1\in R$ лежит в каком-то из
$I_\alpha$, но это невозможно, потому что
$I_\alpha \subsetneqq R$. Применив
лемму Цорна к $S \subset 2^R$,
получим, что в $S$ существует
максимальный элемент. Он и будет
максимальным идеалом, содержащим $I$.
\endproof


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Zorn.eps,width=0.53\linewidth}\\
{Max August Zorn\\
(1906 - 1993)}
\end{center}
\end{figure}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Лемма Цорна: история, замечания}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Лемма Цорна была доказана Максом Цорном в 1935-м году.
Цорн был алгебраистом, учеником Эмиля Артина (Emil
Artin). Абстрактная
алгебра в 1930-е годы развивалась весьма бурно 
(трудами Эмми Нетер, Эмиля Артина и Бартеля
Ван дер Вардена, среди прочих), но для строгих 
доказательств приходилось постоянно прибегать к теории
множеств. К тому времени эта наука
была немало дискредитирована парадоксами.
Примерно тогда же, Гедель доказал, что невозможно
доказать ее непротиворечивость, и теория
множеств оказалась неожиданно шатким
фундаментом для математики. 

Для доказательства существования
максимальных идеалов до Цорна использовалась
теорема Цермело о существовании
полного порядка на любом множестве 
(в англоязычной литературе
эта теорема известна как "well-ordering principle").
К теореме Цермело математики традиционно
относятся с большим недоверием.
("The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering
principle obviously false, and who can tell about Zorn's
lemma?" -- шутка, приписываемая Джерри Бонэ).

Цорн предложил строить абстрактную алгебру
аксиоматически, не прибегая к сложным
конструкциям вроде теоремы Цермело, 
и предложил лемму Цорна
(которую он называл "принципом максимума")
в качестве одной из аксиом. Основным
(практически единственным) применением
этой леммы в алгебре является теорема
о существовании максимальных идеалов.

Впрочем, нетрудно доказать, что 
теорема о существовании максимальных идеалов
равносильна аксиоме выбора.

Название "лемма Цорна" впервые
использовано американским математиком
Джоном Тьюки (John Tukey).

Помимо алгебры, Цорн занимался теорией чисел и
функциональным анализом. Среди прочего, ему
принадлежит аксиоматическое построение
алгебры октав ("octonions", "Cayley numbers"), 
и доказательство того, что квадрат любого 
бесконечного множества равномощен этому множеству.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кольцо подмножеств и ультрафильтры}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\определение
Пусть $A, B\subset M$ -- подмножества $M$.
Определим {\бф симметрическую разность}
$A \triangle B$ формулой
\[
A \triangle B := (A \cup B) \backslash (A \cap B).
\]
\ео

\определение
Пусть $S \subset 2^M$ -- набор подмножеств $M$.
Мы говорим, что $S$ {\бф замкнут относительно
конечных пересечений и симметрических разностей},
если пересечение и симметрическая разность любых
элементов $S$ снова лежит в $S$. Если $S$ 
замкнуто относительно конечных пересечений и
симметрических разностей, и к тому же 
содержит $M$, мы говорим, что $S$ --
{\бф кольцо подмножеств} $M$.
\ео

\замечание
Лего видеть, что $2^M$ является кольцом.
\еза


\определение
Пусть $\nu \subset M$ - подмножество
$M$. Рассмотрим функцию $\chi_\nu:\; M \arrow \{0,1\}$,
ставящую в соответствие точке $x\in \nu$ 1, а $x\notin \nu$ -- 0.
Эта функция называется {\бф характеристической функцией}
подмножества $\nu\subset M$.  Отождествив $\{0,1\}$
с полем ${\Bbb F}_2$ остатков по модулю 2, можно
считать, что $\chi_\nu$ -- функция со значениями в ${\Bbb F}_2$.

Эта конструкция отождествляет $2^M$ с множеством
 функций \[ M \arrow \{0,1\}.\] В дальнейшем, мы будем
отождествлять подмножества и соответствующие им
характеристические функции.
\ео


Пусть $S \subset 2^M$ -- набор подмножеств $M$.
Для каждого $a\in S$, рассмотрим его характеристическую
функцию $\chi_а:\; M \arrow {\Bbb F}_2$.
Такие функции можно складывать и умножать
почленно. 

\хфилл

\утверждение
Mножество функций \[ R_S:= \{ \chi_а:\; M \arrow {\Bbb F}_2\ | \  a\in S \}\]
образует кольцо относительно почленного
сложения и умножения тогда и только тогда, когда 
$S$ -- кольцо подмножеств $M$.

\хфилл

\ноиндент 
{\бф Доказательство:}
Для любых $\nu, \rho \subset M$, имеем
\[
\chi_\nu + \chi_\rho = \chi_{\nu\triangle \rho}, \ \ 
\chi_\nu \cdot \chi_\rho = \chi_{\nu\cap \rho},
\]
поэтому замкнутость $S$ относительно 
конечных пересечений и симметрических разностей
равносильна замкнутости $R_S$ относительно
сложения и умножения. Наличие в этом множестве
нуля очевидно, потому что $X \triangle X = \emptyset$,
а $\chi_\emptyset$ равно нулю. Наличие в
этом множестве единицы следует из того,
что $M \in S$, а $\chi_M =1$.
\endproof

\хфилл

Мы построили арифметические операции (сложение,
умножение) на любом кольце подмножеств $S \subset 2^M$.

\хфилл

\замечание
Теорема о существовании максимальных идеалов,
будучи примененной к кольцу подмножеств, дает сюрьективный
гомоморфизм колец $R_S \arrow k$, где $k$ -- некоторое
поле. Легко видеть, что все элементы $R_S$ удовлетворяют
$a^2=a$ (такие элементы называются {\бф идемпотентами}.
Поэтому все элементы $k$ -- тоже идемпотенты.
Согласно теореме Безу, многочлен $P(x)$ степени $i$ 
имеет не больше $i$ корней в поле $k$ (докажите это). Поскольку все элементы $k$
являются корнями квадратного многочлена $x^2-x=0$,
$k$ -- поле из двух элементов.
\еза

\hfill

\замечание\label{_dop_ultrafilter_Zamechanie_}
Пусть $I \subset R\subset 2^M$ -- максимальный идеал
в кольце подмножеств, $\phi:\; R \arrow {\Bbb F}_2$ --
проекция $R \arrow R/I$, а $A \in R$ -- какой-то элемент.
Поскольку $\chi_M=1$, $A$ либо $M\backslash A$ принадлежит $I$.
Действительно, если $A$ не принадлежит $I$, то
$\phi(A)=1$, а значит \[ \phi(M\backslash A) = 1 - \phi(A)=0.\]
\еза

\определение
Пусть $M$ -- множество, $2^M$ -- кольцо всех подмножеств $M$,
а $I$ -- максимальный идеал в $2^M$. {\бф Ультрафильтром} на $M$
называется множество всех $X\subset M$, не лежащих в $I$.
\ео





\определение
Пусть $x\in M$ -- точка. Рассмотрим гомоморфизм 
$2^M \arrow {\Bbb F}_2$, ставящий функции $\chi:\; M \arrow {\Bbb F}_2$
ее значение $\chi(x)$. Ядро этого отображения, очевидно,
максимальный идеал. Дополнение к такому идеалу называется
{\бф главным ультрафильтром}. 
Главный ультрафильтр состоит из множества всех
$X\subset M$, содержащих $x$:
\[
\bigcap_{B\notin I} B = \{x\}, \ \ \bigcap_{A\in I} A = М
\backslash \{x\}
\]
(последнее равенство следует из того, что 
$A \in I \Leftrightarrow (M \backslash A) \notin I$,
что ясно из Замечания \ref{_dop_ultrafilter_Zamechanie_}).
\ео

\замечание
Многие математики считают, что понятие ультрафильтра
парадоксально, и использовать ультрафильтры не следует,
наравне с теоремой Цермело и другими экзотическими
следствиями аксиомы выбора.
Действительно, ультрафильтры, кроме главных,
невозможно построить явно. Если у вас понятие 
ультрафильтра вызывает отторжение, пропустите
конец этого раздела, и забудьте про ультрафильтры.
\еза


Ультрафильтры можно определить аксиоматически,
что видно из следующей задачи.

\задача
Пусть $M$ -- множество, а ${\cal U} \subset 2^M$ -- набор
его подмножеств. Докажите, что следующие утверждения
равносильны.
\begin{description}
 \item[(i)] ${\cal U}$ это ультрафильтр.
\item[(ii)] Выполнены следующие свойства.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf \Alph{enumi}.}}
\item если $A\subset B$, $A\in {\cal U}$, то $B \in {\cal U}$.
\item Для любого $A \subset M$, либо $A$, либо
$M\backslash A$ лежат в ${\cal U}$ (но не одновременно).
\item Если $A, B \in {\cal U}$, то $A \cap B\in {\cal U}$.
\end{enumerate}
\end{description}
\ез

Ультрафильтры были введены в 1937-м году
Анри Картаном, одним из основателей Бурбаки,
и широко использовались в трактатах Николя Бурбаки.

\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Henri_Cartan.eps,width=0.40\linewidth}\\
{\small Henri Cartan, 1996 \\
(род. 8 июля 1904)}
\end{center}
\end{figure}



\замечание\label{_ideal_podmno_Zamechanie_}
Пусть $S\subset 2^M$ -- набор подмножеств.
Рассмотрим идеал в $2^M$, порожденный $S$.
Он равен $2^M$ тогда и только тогда, когда 
$M$ можно получить как объединение конечного 
поднабора в $S$ (докажите).
\еза


Пусть теперь $S=\{X_\alpha\}\subset 2^M$ -- набор подмножеств
$M$ таких, что $\bigcup_\alpha X_\alpha = M$, но никакое конечное
подмножество $S$ не дает в объединении $M$. Так, к
примеру, если $M= \Z$, можно взять в качестве $S$
множество всех конечных подмножеств $\Z$.



Идеал, порожденный $S$, не равен $M$ в силу 
Замечания \ref{_ideal_podmno_Zamechanie_}.
Поэтому он содержится в некотором максимальном
идеале $I$. Поскольку 
\[ 
 \bigcup_{A\in I} A \subset \bigcup_\alpha X_\alpha = M,
\]
этот ультрафильтр не главный.



\определение
{\бф Аддитивной мерой} на кольце множеств 
$S\subset 2^M$ называется отображение
$\mu:\; S \arrow \R^{\geq 0}$ такое, что 
$\mu (A \cup B) = \mu(A) + \mu(B)$ для любых
непересекающихся множеств $A, B \in S$.
\ео

\задача
Пусть ${\cal U} \subset 2^M$ -- некоторое подмножество. 
Рассмотрим отображение $\mu:\; 2^M \arrow \{0,1\}$,
переводящее $A$ в 1, если $A\in {\cal U}$, и в 0,
если $A\notin {\cal U}$. Докажите, что 
$\mu$ является аддитивной мерой тогда и только
тогда, когда ${\cal U}$ -- ультрафильтр.
\ез


Ультрафильтры придумал Анри Картан, в 1937-м году,
следуя идеям Клода Шевалле, хотя Шевалле впоследствии отказался
от всех прав на это изобретение. Учебники Бурбаки по основам 
топологии (в целом, весьма неудачные) используют ультрафильтры
и многие другие экзотические конструкции, после них 
практически не употреблявшиеся. В отличие от других
изобретений Бурбаки, которые вообще никому не
понадобились, понятие ультрафильтра оказалось
полезно в логике, общей топологии и некоторых 
разделах алгебры.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Александера о предбазе}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\утверждение
Пусть $M$ -- топологическое пространство,
а ${\cal V}\subset 2^M$ -- покрытие $M$.
Рассмотрим идеал $I$ в $2^M$,
порожденный ${\cal V}$. Тогда
следующие утверждения равносильны.
\begin{description}
\item[(i)] Из ${\cal V}$ можно выбрать конечное
подпокрытие 

\item[(ii)] $I=2^M$.
\end{description}

\noindent
{\bf Доказательство:} Если $U_1, ... U_n$ -- конечное подпокрытие,
то объединение $\bigcup U_i=M$ выражается
через пересечения и симметрические разности,
а значит, принадлежит $I$. Мы получаем $1\in I$,
что влечет $I=2^M$.

Если же $I=2^M$, имеем
\[
1 = \sum_{i=1}^n \lambda_i U_i,
\]
где $\lambda_i\in 2^M$, a $U_i \in {\cal V}$.
На языке множеств это равенство переписывается
\[
M = (\lambda_1 \cap U_1) \triangle (\lambda_2 \cap U_2) \triangle ... \triangle (\lambda_n \cap U_n)
\]
Поскольку $A \triangle B\subset A \cup B$, имеем
\[
M = (\lambda_1 \cap U_1) \triangle (\lambda_2 \cap U_2) \triangle ... \triangle (\lambda_n \cap U_n) \subset \bigcup_{i=1}^n U_i,
\]
значит, в ${\cal V}$ найдется конечное подпокрытие.
\endproof

\хфилл

\теорема
(теорема Александера о предбазе, ``Alexander subbase theorem'')
Пусть $M$ -- топологическое пространство с предбазой
$\{U_\alpha\}$. Предположим, что любое покрытие $M$
элементами $\{U_\alpha\}$ имеет конечное подпокрытие.
Тогда $M$ компактно.

\хфилл

\ноиндент
{\бф Доказательство:} 
Пусть $M$ некомпактно,
и пусть ${\cal P}$ -- покрытие $M$, не допускающее конечного
подпокрытия. Рассмотрим идеал $I$ в $2^M$, порожденный
${\cal P}$. Абзацем выше доказано, что $I\neq 2^M$.
Пусть $I_m\subset 2^M$ -- максимальный идеал, содержащий $I$.

\хфилл

\ноиндент 
{\бф Шаг 1.} 
Обозначим за ${\cal U}$ множество элементов 
предбазы $\{U_\alpha\}$, содержащихся в $I_m$.
Докажем, что ${\cal U}$ -- это покрытие $M$.
Поскольку $I_m$ это идеал, вместе с любым
 множеством $I_m$ содержит все
его подмножества. По условию,
$I_m$ содержит открытое покрытие $M$.
Поэтому для  для каждой точки $x\in M$, и каждой базы
топологии на $M$ найдется элемент базы,
который содержит $x$ и содержится в  $I_m$.
Взяв в качестве базы конечные
пересечения $U_\alpha$, мы получим
\[
x \in \bigcap_i U_i \in I_m,
\]
где $U_i$ лежат в предбазе.
Получаем $\bigcap_i U_i\in I_m$.
Поскольку $I_m$ максимальный идеал, 
$I_m$ -- простой идеал. Значит,
из $\bigcap_i U_i\in I_m$  следует,
что хотя бы один из $U_i$ лежит в $I_m$.
Мы получили, что $x\in U_i \in {\cal U}$.
Значит, ${\cal U}$ -- покрытие.


\хфилл

\ноиндент 
{\бф Шаг 2.}
На предыдущем шаге,
мы получили, что ${\cal U}$ -- 
покрытие $M$ элементами предбазы.
Поскольку $I_m\neq 2^M$, а ${\cal U}\subset I_m$.
никакой конечный набор элементов
${\cal U}$ не дает в объединении $M$.
Мы пришли к противоречию с условиями теоремы
Александера о предбазе. Следовательно, $M$ компактно.
\endproof



\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Alexander.eps,width=0.43\linewidth}\\
{James Waddell Alexander\\
(1888 - 1971)}
\end{center}
\end{figure}

\замечание
Отметим, что теорема Александера о предбазе влечет
теорему Тихонова о компактности произведения
(об этом ниже). Поэтому она равносильна аксиоме выбора.
\еза


Американский математик Джеймс Александер прославился
в основном как один из основателей современной алгебраической
топологии. Ему принадлежит изобретение симплициальных пространств
и когомологий. Кроме того, Александер изучал
теорию узлов, и немало ее развил. Он изобрел группу
кос, и определил инвариант узлов, который сейчас
называется его именем (инвариант Александера).

Александер происходил из очень влиятельной
американской семьи и был миллионером. Несмотря 
на это, он был чрезвычайно левых взглядов. Когда 
в 1950-х годах в Америке начались гонения на социалистов,
Александер стал одной из громких жертв преследований; в 1951-м году
Александеру пришлось уйти из Принстонского Университета
и Institute of Advanced Studies, где он работал.
Александер дожил до 1971-го года фактическим
отшельником, не появляясь на людях. Единственное
публичное выступление Александера случилось в 1954-м году -
он подписал открытое письмо в защиту физика Роберта
Оппенгеймера, директора Манхэттенского проекта,
которого в 1954-м году выгнали с работы за 
политику.

Также Александер был знаменитым альпинистом.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Тихонова о компактности}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор множеств.
Рассмотрим объединение всех этих множеств
(которые считаются непересекающимися).
Оно обозначается \\ $\coprod M_\alpha$.


\определение
Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор топологических пространств, 
проиндексированный множеством индексов ${\goth I}$. 
Напомним, что {\бф произведение $M_\alpha$} 
это множество отображений из ${\goth I}$ в $\coprod
M_\alpha$, ставящих в соответствие каждому индексу
$\alpha \in {\goth I}$ точку пространства $M_\alpha$.
На $\prod_\alpha M_\alpha$ вводится {\бф тихоновская топология},
заданная следующей предбазой. Для каждой пары
$\alpha \in {\goth I}$, и открытого множества
$U \subset M_\alpha$, рассмотрим
подмножество 
\[
M_{\alpha_1} \times ... \times U_\alpha \times ... \subset 
M_{\alpha_1} \times ... \times M_\alpha \times ...
\]
(произведение набора $\{M_\alpha\}$, где
элемент $M_\alpha$ заменили на $U_\alpha$,
а все остальные оставили как есть).
Обозначим это подмножество за ${\cal F}_{\alpha, U}$.
Топология, заданная такой предбазой,
называется {\бф тихоновской топологией},
или {\бф топологией произведения}.
\ео

\теорема 
(теорема Тихонова о компактности)
Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор компактных 
топологических пространств. Тогда $\prod_\alpha M_\alpha$
тоже компактно.

\хфилл


\begin{figure}[ht]
\begin{center}\ \\
\epsfig{file=pokry-subbase.eps,width=0.65\linewidth}\\
{\small \em Элементы предбазы, покрывающие часть
произведения $M_1\times M_2$}
\end{center}
\end{figure}


\ноиндент
{\бф Доказательство:}
Теорема Тихонова сразу следует из теоремы Александера о
предбазе. Пусть $\{ {\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, \xi}}\}$ --
набор элементов предбазы. Легко видеть, что
\[
\bigcup_{\alpha, \xi} {\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, \xi}} =
\bigcup_\alpha  {\cal F}_{\alpha, W_\alpha},
\]
где $W_\alpha= \bigcup_\xi U_{\alpha, \xi}$.
Если для всех $\alpha$, $W_\alpha \neq M_\alpha$,
выберем точку $x_\alpha \in M_\alpha\backslash W_\alpha$.
Очевидно, точка $\prod_\alpha x_\alpha$ не лежит в 
$\bigcup_\alpha  {\cal F}_{\alpha, W_\alpha}$.




Мы получаем, что $\{ {\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, \xi}}\}$
является покрытием, если и только если $\bigcup_\xi U_{\alpha, \xi}= M_\alpha$,
для какого-то $\alpha$. Это значит, что $U_{\alpha, \xi}$
является открытым покрытием $M_\alpha$. Поскольку
$M_\alpha$ компактно, в $U_{\alpha, \xi}$ есть
конечное подпокрытие $U_{\alpha, i}$.
Тогда ${\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, i}}$
будет конечным покрытием $\prod_\alpha M_\alpha$.
Мы доказали, что из любого покрытия $\prod_\alpha M_\alpha$
элементами предбазы можно выбрать конечное подпокрытие.
Теперь из теоремы Александера вытекает, что $\prod_\alpha M_\alpha$
компактно. \endproof


\end{document}



