

\documentclass{slides}

\usepackage[english,russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}


\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, color,  epsfig}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\phi}{\varphi}

%\newcommand{\green}{}
%\newcommand{\purple}{}
%\newcommand{\red}{}
%\newcommand{\blue}{}


\newcommand{\green}{\color[rgb]{0,0.4,0}}
\newcommand{\purple}{\color[rgb]{0.4,0,0.4}}
\newcommand{\red}{\color[rgb]{0.7,0,0}}
\newcommand{\blue}{\color{blue}}

\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}
\def\goth{\mathfrak}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
\makeatletter  
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \tiny {\it Топология, первый курс, второй семестр\scriptsize \hfil
  \tiny М. Вербицкий}}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\small\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}


\makeatother


   \setlength\paperheight {9in}%
    \setlength\paperwidth  {13.5in}
\setlength{\textwidth}{0.8\paperwidth}
\setlength{\textheight}{0.8\paperheight}

 \setlength{\pdfpageheight}{\paperheight}
 \setlength{\pdfpagewidth}{\paperwidth}
\addtolength{\topmargin}{-20mm}
\addtolength{\leftmargin}{-25mm}
\addtolength{\rightmargin}{-25mm}



\begin{document}

\setcounter{page}{0}

\ \newpage


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\Large\bf Топология, лекция 9: \\[3mm] Произведение компактов}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[14mm]

{\small Миша Вербицкий} 
\\[8mm]

{\tiny

\bf 17 марта, 2008\\
Независимый Университет}
\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage


{\bf \blue Открытые, замкнутые, собственные отображения}

{\bf \green Определение:}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение
топологических пространств. Отображение $f$ называется
{\bf \blue собственным}, если прообраз любого компакта -- компакт,
 {\bf \blue открытым}, если образ любого открытого множества открыт,
из {\bf \blue замкнутым}, если образ любого замкнутого множества
замкнут.

{\bf \green Замечание:}
Непрерывное отображение из компакта $X$ в хаусдорфово
топологическое пространство $Y$ {\bf \red собственно}.


{\bf \green Замечание:}
Непрерывное отображение из компакта $X$ в хаусдорфово
топологическое пространство $Y$ {\bf \red замкнуто}.


{\bf \green Замечание:}
Отображение проекции $\pi:\; X \times Y \arrow Y$
{\bf \red открыто}.

{\bf \green Определение:}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- непрерывное отображение.
Напомним, что для любой точки $y\in Y$, прообраз
$f^{-1}(y)$ называется {\bf \blue слоем} $f$.

\newpage

{\bf \blue Замкнутые отображения с компактными слоями}

{\bf \green Теорема:}
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- замкнутое, непрерывное отображение,
причем все слои $f$ компактны. {\bf \red Тогда $f$ -- собственное.}

{\bf \green Доказательство:}
Пусть $K\subset Y$ -- компакт.
Достаточно убедиться, что $f^{-1}(K)$ -- компакт. 
Заменив $Y$ на $K$, а $X$ на $f^{-1}(K)$, 
{\bf \purple можно считать $Y$ компактом.}

{\bf \green Шаг 1:} {\bf \purple 
Компактность $M$ равносильна такому свойству.}
Пусть $\{A_\alpha\}$ -- набор
замкнутых подмножеств $M$, такой, что любое конечное
подмножество $\{A_1, A_2, ... , A_n\} \subset \{A_\alpha\}$
имеет общую точку. Тогда все $A_\alpha$ имеют общую точку.

Действительно, отсутствие общей точки у $\{A_\alpha\}$
значит, что $\{ M \backslash A_\alpha\}$ это покрытие,
а наличие общих точек у $\{A_1, A_2, ... , A_n\}$
значит, что в $\{ M \backslash A_\alpha\}$ нет конечного
подпокрытия.


\newpage 
{\bf \blue Замкнутые отображения с компактными слоями (продолжение)}


{\bf \green Шаг 2:} Пусть $\{A_\alpha\}$ --
набор замкнутых подмножеств в $X$ такой, что любое конечное
подмножество $\{A_1, A_2, ... , A_n\} \subset \{A_\alpha\}$
имеет общую точку. Поскольку $Y$ компактно, а все $f(A_\alpha)$
замкнуты, {\bf \purple $\{ f(A_\alpha)\}$ имеет 
общую точку $y\in Y$. }


{\bf \green Шаг 3:}
Добавив к $\{A_\alpha\}$
все конечные пересечения элементов $\{A_\alpha\}$,
получим набор замкнутых подмножеств $X$,
обладающий тем же свойством. Поэтому можно считать,
что {\bf \purple $\{A_\alpha\}$ содержит все конечные
пересечения своих элементов. }

{\bf \green Шаг 4:} Пусть
$y=\bigcap_\alpha f(A_\alpha)$. Любое конечное пересечение 
$\bigcap_i A_i$ лежит в $\{A_\alpha\}$, значит, пересекается
с $f^{-1}(y)$. В силу компактности $f^{-1}(y)$, из этого следует,
что {\bf \purple $\{A_\alpha\cap f^{-1}(y)\}$ имеет общую точку. }

{\bf \red Мы доказали, что $X$ компактен.}

\newpage

{\bf \blue Конечные произведения компактов}

{\bf \green Теорема:} Пусть $X$, $Y$ -- компакты.
Тогда $X \times Y$ -- компакт.

{\bf \green Замечание:} Эта теорема есть частный случай
теоремы Тихонова о компактности произвольных произведений
компактов. 

{\bf \green Замечание:} Произведение секвенциальных компактов компактно.


Легко видеть, что слои проекции $\pi:\; X \times Y \arrow Y$ 
компактны. Таким образом, {\bf \red компактность произведения $X\times Y$
вытекает из следующего утверждения.}

{\bf \green Утверждение:} \\ 
Пусть $\pi:\; X \times Y \arrow Y$ --
отображение проекции, причем $X$ компактно. 
Тогда $\pi$ замкнуто.

{\bf \green Замечание:} Если $X$ некомпактно, это утверждение
неверно. Рассмотрим проекцию $\R \times \R
\arrow \R$, и гиперболу $Z:= \{ (x,y) \ |\ xy=1\}$.
Тогда $\pi(Z)$ незамкнуто.

\newpage

{\bf \blue Замкнутость отображение проекции
(доказательство)}

{\bf \green Шаг 1.}
Пусть $Z\subset X\times Y$ -- замкнутое подмножество.
Если $\pi(Z)$ незамкнуто, для какой-то предельной
точки $\pi(Z)$ имеем  $\pi^{-1}(y)\cap Z=\emptyset$.

{\bf \green Шаг 2.}
У каждой точки $(x,y)\in
\pi^{-1}(y)$ есть окрестность 
$U_{x,y}= V_{x,y} \times W_{x,y}$, не пересекающаяся с $Z$.

{\bf \green Шаг 3.} Поскольку $\pi^{-1}(y)$ компактно, 
можем выбрать конечное покрытие $\{V_i \times W_i\}$
множества $\pi^{-1}(y)$,
не пересекающееся с $Z$.

\begin{center}
\epsfig{file=zamknu.png,width=0.38\linewidth}
\end{center}

{\bf \green Шаг 4.} Множество $X \times (\bigcap_i W_i)$ 
не пересекает $Z$, значит, $y$ не предельная точка
$\pi(Z).$

\newpage

{\bf \blue Идеалы в кольцах}

Все кольца в этой лекции предполагаются коммутативными
(с коммутативным умножением) и с единицей.

{\bf \green Определение:} {\bf \blue Идеалом} в кольце $R$ называется
подмножество $I\subset R$, которое является подгруппой
по сложению, и к тому же удовлетворяет следующему.
Для каждого $x\in R, \gamma\in I,$ произведение 
$x\gamma$ также лежит в $I$. Это свойство
записывается так: $RI \subset I$.

{\bf \green Определение:} {\bf \blue Гомоморфизмом колец}
называется отображение $R_1\stackrel \phi \arrow R_2$, которое
переводит 1 в 1, 0 в 0, и согласовано со сложением
(то есть удовлетворяет $\phi(x+y) = \phi(x) + \phi(y)$,
$\phi(xy) = \phi(x) \phi(y)$).

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Ядром гомоморфизма} $R_1\stackrel \phi \arrow R_2$
называется множество всех элементов $R_1$, переходящих в 0.

{\bf \green Замечание:} Легко видеть, 
что {\bf \red ядро гомоморфизма -- идеал.}
Для каждого идеала $I \subset R$, факторгруппа $R/I$
наделяется естественной структурой кольца.
Таким образом, {\bf \red идеалы в кольце -- подмножества, которые
могут быть ядром гомоморфизма $R \arrow R_1$.}

\newpage

{\bf \blue Идеалы в кольце (продолжение) }

{\bf \green Определение:}
Пусть $R$ -- кольцо, а $S\subset R$ -- набор элементов
$R$. Рассмотрим множество $I\subset R$, состоящее
из всех линейных комбинаций вида 
\[ \sum_{i=1}^n \lambda_i s_i,\]
где $s_i \in S$, а $\lambda_i \in R$.
Легко видеть, что $I$ это идеал.
Этот идеал называеся {\bf \blue идеалом,
порожденным элементами $S$.}

{\bf \green Замечание:} 
Пусть $r\in R$ -- любой элемент, а $r R$ -- порожденное
им подмножество $R$. Легко видеть, что {\bf \red $rR\neq R$ 
тогда и только тогда, когда когда $r$ не 
обратим.} 

Из этого немедленно получаем

{\bf \green Утверждение:}\\
{\bf \red Kольцо $R$, в котором любой идеал
равен $R$ либо 0, является полем.}


\newpage

{\bf \blue Максимальные и простые идеалы }

{\bf \green Определение:}
Пусть $R$ -- кольцо, а $I\subsetneqq R$ -- идеал.
Идеал $I$ называется {\bf \blue максимальным}, 
если не существует идеала $I_1$ с 
$I \subsetneqq I_1 \subsetneqq R$.

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \red Идеал $I\subset R$ максимален тогда и только тогда,
когда факторкольцо $R/I$ -- поле.}


{\bf \green Определение:}
Пусть $R$ -- кольцо, а $I\subsetneqq R$ -- идеал.
Идеал $I$ называется {\bf \blue простым}, 
если для любых $x, y\in R$, из
$xy\in I$ следует, что $x\in I$ либо $y\in I$.

{\bf \green Определение:}
Пусть  $x, y\in R$ ненулевые элементы кольца $R$, такие,
что $xy=0$. Тогда $x,y$ называются {\bf \blue делителями нуля}.

{\bf \green Утверждение:}
{\bf \purple Идеал $I\subset R$ прост тогда и только тогда,
когда факторкольцо $R/I$ не имеет делителей нуля.}

{\bf \green Следствие:} 
{\bf \red  Любой максимальный идеал прост.}

\newpage

{\bf \blue Лемма Цорна }

{\bf \green Определение:}
Набор подмножеств $S_1 \subset 2^M$
называется  {\bf \blue монотонным}, или {\bf \blue вложенным}, если для любых
$p, q \in S_1$, либо $p\subset q$,
либо $q \subset p$. 

{\bf \green Определение:}
{\bf \blue Максимальным
элементом} набора подмножеств $S \subset 2^M$
называется такой  элемент $s\in S$, что для любого 
$r\in S$, из $r \supset s$ следует 
$r=s$.

{\bf \green Лемма Цорна:} 
Пусть $S=\{S_\alpha\}\subset 2^M$ -- набор подмножеств множества $M$,
которые удовлетворяют такому свойству: для любого
монотонного поднабора $\{S_\beta\}\subset S$, объединение
$\bigcup_\beta S_\beta$ тоже лежит в $S$. Тогда в $S$
есть максимальный элемент.

 
{\purple <<The Axiom of Choice is obviously true, the well-ordering
principle obviously false, and who can tell about Zorn's
lemma?>> (шутка)}

\newpage

{\bf \blue Существование максимальных идеалов}

{\bf \green Теорема:} 
{\bf \red Пусть $I \subsetneqq R$ -- идеал в кольце.
Тогда существует максимальный идеал $I_1 \supset I$.}

{\bf \green Доказательство:} Пусть $S \subset 2^R$ - множество
идеалов, содержащих $I$, и не равных $R$. 

{\bf \green Шаг 1:} Для вложенного набора идеалов
$\{I_\alpha\}\subset S$,
{\bf \purple объединение $\bigcup_\alpha I_\alpha$ -- идеал, не равный $R$. }
Действительно, объединение $\bigcup_\alpha I_\alpha$ это
снова идеал; он равен $R$, только если $1$ лежит 
в каком-то из $I_\alpha$.

{\bf \green Шаг 2:} Применив к $S$ лемму Цорна, получим
максимальный элемент $S$. {\bf \purple Он будет максимальным идеалом.}

\newpage 

\begin{center}
\epsfig{file=Zorn.jpg,width=0.40\linewidth}\\
{Max August Zorn\\
(1906 - 1993)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Характеристические функции}

{\bf \green Определение:}
Пусть $\nu \subset M$ - подмножество
$M$. Рассмотрим функцию $\chi_\nu:\; M \arrow \{0,1\}$,
ставящую в соответствие точке $x\in \nu$ 1, а $x\notin \nu$ -- 0.
Эта функция называется {\bf \blue характеристической функцией}
подмножества $\nu\subset M$.  Отождествив $\{0,1\}$
с полем ${\Bbb F}_2$ остатков по модулю 2, можно
считать, что $\chi_\nu$ -- функция со значениями в ${\Bbb F}_2$.

{\bf \green Замечание:} 
Эта конструкция отождествляет $2^M$ с множеством
 функций $M \arrow {\Bbb F}_2$.


{\bf \green Определение:} 
Пусть $A, B\subset M$ -- подмножества $M$.
Определим {\bf \blue симметрическую разность}
$A \triangle B$ формулой
\[
A \triangle B := (A \cup B) \backslash (A \cap B).
\]

{\bf \green Утверждение:} При отождествлении
подмножества с его характеристической функцией, {\bf \red произведение
переходит в пересечение, сумма в симметрическую разность.}
Для любых $\nu, \rho \subset M$, имеем
\[
\chi_\nu + \chi_\rho = \chi_{\nu\triangle \rho}, \ \ \ \ 
\chi_\nu \cdot \chi_\rho = \chi_{\nu\cap \rho},
\]


\newpage

{\bf \blue Кольцо подмножеств}


{\bf \green Определение:}
Пусть $S \subset 2^M$ -- набор подмножеств $M$.
Говорится, что $S$ {\bf \blue замкнут относительно
конечных пересечений и симметрических разностей},
если пересечение и симметрическая разность любых
элементов $S$ снова лежит в $S$.

{\bf \green Определение:} Если $S$ 
замкнуто относительно конечных пересечений и
симметрических разностей, и к тому же 
содержит $M$, мы говорим, что $S$ --
{\bf \blue кольцо подмножеств} $M$.

Пусть $S \subset 2^M$ -- набор подмножеств $M$.
Для каждого $a\in S$, рассмотрим его характеристическую
функцию $\chi_a:\; M \arrow {\Bbb F}_2$.
Такие функции можно складывать и умножать
почленно. 

{\bf \green Утверждение:}
Mножество функций \[ R_S:= \{ \chi_a:\; M \arrow {\Bbb F}_2\ | \  a\in S \}\]
{\bf \red образует кольцо относительно поточечного
сложения и умножения тогда и только тогда, когда 
$S$ -- кольцо подмножеств $M$.}

\newpage

{\bf \blue Максимальные идеалы в кольце подмножеств:}

{\bf \green Утверждение:} 
Пусть $S\subset 2^M$ -- кольцо подмножеств,
а $I\subset S$ -- максимальный идеал. Тогда $S/I$ это поле
${\Bbb F}_2$.

{\bf \green Доказательство.}\\  {\bf \green Шаг 1:}
Легко видеть, что все элементы $R_S$ удовлетворяют
$a^2=a$ (такие элементы называются {\bf \blue идемпотентами}.
Поэтому {\bf \purple все элементы $k$ -- тоже
идемпотенты.}

{\bf \green Шаг 2:} Теорема Безу утверждает, что
многочлен $P(x)$ степени $i$ 
имеет не больше $i$ корней в поле $k$. {\bf \purple Поскольку все элементы $k$
являются корнями квадратного многочлена $x^2-x=0$,
$k$ -- поле из двух элементов. }

\newpage

{\bf \blue Ультрафильтры}

{\bf \green Следствие:} Пусть 
$I \subset  2^M$ -- максимальный идеал, а  $A\subset M$ -- любое
подмножество. Тогда {\bf \red либо $A$, либо $M \backslash A$ принадлежат 
$I$. }

{\bf \green Доказательство:}
Пусть $I \subset R$ идеал в кольце такой, что
$R/I \cong {\Bbb F}_2$. Тогда для каждого $x\in R$,
либо $x$, либо $1+x$ лежат в $I$.
Теперь воспользуемся $M \backslash A = M \triangle A = 1+A.$

{\bf \green Определение:}
Пусть $M$ -- множество, $2^M$ -- кольцо всех подмножеств $M$,
а $I$ -- максимальный идеал в $2^M$. {\bf \blue Ультрафильтром} на $M$
называется множество всех $X\subset M$, не лежащих в $I$.

{\bf \green Аксиоматическое определение ультрафильтра.}\\
Набор подмножеств ${\cal U} \subset 2^M$ является
ультрафильтром тогда и только тогда, когда выполнено следующее

{ \purple 1. если $A\subset B$, $A\in {\cal U}$, то $B \in {\cal U}$.

2. Для любого $A \subset M$, либо $A$, либо
$M\backslash A$ лежат в ${\cal U}$ (но не одновременно).

3. Если $A, B \in {\cal U}$, то $A \cap B\in {\cal U}$.
}
\newpage

\begin{center}
\epsfig{file=Henri_Cartan.jpg,width=0.35\linewidth}\\ \ \\
{\small Henri Cartan, 1996 \\
(род. 8 июля 1904)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Покрытия и идеалы}

{\bf \green Утверждение:}
Пусть $M$ -- топологическое пространство,
а ${\cal V}\subset 2^M$ -- покрытие $M$.
Рассмотрим идеал $I$ в $2^M$,
порожденный ${\cal V}$. Тогда
следующие утверждения равносильны.

{\bf \purple
1. Из ${\cal V}$ можно выбрать конечное
подпокрытие 

2. $I=2^M$.}

{\bf \green Доказательство:} 
Если $U_1, ... U_n$ -- конечное подпокрытие,
то объединение $\bigcup U_i=M$ выражается
через пересечения и симметрические разности,
значит, $M \in I$.

Если же $I=2^M$, имеем $1 = \sum_{i=1}^n \lambda_i U_i,$
где $\lambda_i\in 2^M$, a $U_i \in {\cal V}$. Поэтому
\[
M = (\lambda_1 \cap U_1) \triangle (\lambda_2 \cap U_2) \triangle ... \triangle (\lambda_n
 \cap U_n) \subset \bigcup_{i=1}^n U_i,
\]
значит, в ${\cal V}$ найдется конечное подпокрытие.


\newpage

{\bf \blue Теорема Александера о предбазе}

{\bf \green Теорема Александера о предбазе:}
Пусть $M$ -- топологическое пространство с предбазой
$\{U_\alpha\}$. Предположим, что любое покрытие $M$
элементами $\{U_\alpha\}$ имеет конечное подпокрытие.
Тогда $M$ компактно.


{\bf \green Доказательство:}
Пусть $M$ некомпактно,
и пусть ${\cal P}$ -- покрытие $M$, не допускающее конечного
подпокрытия. Рассмотрим идеал $I$ в $2^M$, порожденный
${\cal P}$. {\bf\red Пусть $I_m\subset 2^M$ -- максимальный идеал, 
содержащий $I$.}

{\bf \green Шаг 1:} Обозначим за ${\cal U}$ множество элементов 
предбазы $\{U_\alpha\}$, содержащихся в $I_m$.
{\bf \red Докажем, что ${\cal U}$ -- это покрытие $M$.}
По условию,
$I_m$ содержит открытое покрытие $M$.
Поэтому для  для каждой точки $x\in M$, и каждой базы
топологии на $M$ найдется элемент базы,
который содержит $x$ и содержится в  $I_m$. Получаем
$x \in \bigcap_i U_i \in I_m,$
где $U_i$ лежат в предбазе.
Поскольку $I_m$ простой идеал, из этого
следует, что хотя бы один из $U_i$ лежит в $I_m$.
Мы получили $x\in U_i \in {\cal U}$.

{\bf \green Шаг 2:}
Поскольку $I_m\neq 2^M$, а ${\cal U}\subset I_m$,
{\bf \red никакой конечный набор элементов
${\cal U}$ не дает в объединении $M$.} Противоречие с
условием теоремы!

\newpage


\begin{center}\ \\
\epsfig{file=Alexander.jpg,width=0.43\linewidth}\\
{James Waddell Alexander\\
(1888 - 1971)}
\end{center}

\newpage

{\bf \blue Тихоновская топология на произведении}

Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор множеств.
Рассмотрим объединение всех этих множеств
(которые считаются непересекающимися).
Оно обозначается $\coprod M_\alpha$.

{\bf \green Определение:} 
Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор топологических пространств, 
проиндексированный множеством индексов ${\goth I}$. 
{\bf \blue Произведение $M_\alpha$} 
это множество отображений из ${\goth I}$ в $\coprod
M_\alpha$, ставящих в соответствие каждому индексу
$\alpha \in {\goth I}$ точку пространства $M_\alpha$.
Оно обозначается $\prod_\alpha M_\alpha$

{\bf \green Определение:} 
На $\prod_\alpha M_\alpha$ вводится {\bf \blue тихоновская топология},
заданная следующей предбазой. Для каждой пары
$\alpha \in {\goth I}$, и открытого множества
$U \subset M_\alpha$, рассмотрим
подмножество 
\[
M_{\alpha_1} \times ... \times U_\alpha \times ... \subset 
M_{\alpha_1} \times ... \times M_\alpha \times ...
\]
(произведение набора $\{M_\alpha\}$, где
элемент $M_\alpha$ заменили на $U_\alpha$,
а все остальные оставили как есть).
Обозначим это подмножество за ${\cal F}_{\alpha, U}$.
Топология, заданная такой предбазой,
называется {\bf \blue тихоновской топологией},
или {\bf \blue топологией произведения}.

\newpage 


{\bf \blue Теорема Тихонова о компактности}

{\bf \green Теорема Тихонова о компактности:}\\
Пусть $\{M_\alpha\}$ -- набор компактных 
топологических пространств. Тогда $\prod_\alpha M_\alpha$
тоже компактно.


{\bf \green Доказательство:} 
Применим теорему Александера о предбазе.

\begin{center}
\epsfig{file=pokry-subbase.png,width=0.25\linewidth}
\end{center}

Пусть $\{ {\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, \xi}}\}$ --
набор элементов предбазы. Легко видеть, что
\[ \bigcup_{\alpha, \xi} {\cal F}_{\alpha, U_{\alpha, \xi}} =
\bigcup_\alpha  {\cal F}_{\alpha, W_\alpha},\]
где $W_\alpha= \bigcup_\xi U_{\alpha, \xi}$.
Поэтому для какого-то $\alpha$, $W_\alpha= M_\alpha$.
Выбрав из $U_{\alpha, \xi}$ конечное подпокрытие $U_i$,
получим, что ${\cal F}_{\alpha, U_i}$ - конечное покрытие
$\prod_\alpha M_\alpha$.



\end{document}



