\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}

\input{listki.tex}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   16.04.2008}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Экзамен по курсу "Основы кэлеровой геометрии",
весна 2008. Для сдачи экзамена нужно решить любые 9 из
19-ти задач.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{1}{Основы кэлеровой геометрии: задачи для экзамена}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\задача
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие
размерности $n$, а
\[
e^f \omega^n = (\omega + dd^c\phi)^n
\]
решение уравнения Монжа-Ампера. Докажите, что 
$\omega +dd^c\phi$ кэлерово. 
\ез


\задача
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное кэлерово многообразие
размерности $n$. Рассмотрим уравнение  
\[
e^f \omega^n = (\omega + dd^c\phi)^{n-i}\omega^i
\]
Докажите, что решение единственно.
\ез

\определение
{\бф Распределение} на многообразии -- это $\C^\infty
M$-инвариантный подпучок в касательном пространстве $TM$.
Распределение $F$ называется {\бф интегрируемым}, 
если задано замкнутое подмножество меры нуль $Z\subset M$ 
приче, $M \backslash Z$ допускает открытое покрытие 
$\{U_i\}$, а каждое $U_i$ представляется в виде
произведения $U_i = V_i \times W_i$, причем
$F\restrict{U_i}$ --  ядро дифференциала 
проекции $U_i \stackrel {\pi_i} \arrow W_i$. {\бф Листом слоения}
называется иммерсия $X \stackrel j \arrow M$ из связного
многообразия $X$ в $M$ такая, что 
\[ j(X) \cap U_i = \pi_i^{-1}(S),\]
где $S\subset W_i$ счетно. Слоение называется
{\бф голоморфным}, если $M$ комплексное многообразие,
а $U_i \stackrel {\pi_i} \arrow W_i$ комплексно аналитично.
\ео

\задача
Пусть $М$ -- комплексное многообразие, а
$F \subset TM$ -- когерентный подпучок. Предположим,
что коммутатор любых векторных полей $f_1, f_1\in F$
удовлетворяет $[f_1,f_2]\in F$. Докажите, что
соответствующее распределение интегрируемо и голоморфно.
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, а
$\omega \in \Lambda^{1,1}(M)$ -- вещественно аналитическая
форма, удовлетворяющая $\omega(x, Ix)\geq 0$ для любого
$x\in TM$.
Рассмотрим подпучок $F\subset TM$, состоящий
из всех $x$ таких, что $\omega(x, Ix)=0$
(такой подпучок называется {\бф нуль-пространством}
$\omega$). Докажите, что $F$ интегрируемо и все его
слои -- комплексные подмногообразия.
Всегда ли оно голоморфно?
\ез


\задача
Пусть $(M,I)$ -- комплексное многообразие, $\dim_\C M=n$,
$U\subset M$ -- плотное, открытое подмножество, а 
а $\Omega \in \Lambda^{n,0}(U)$ -- 
невырожденная $(n,0)$-форма. Предположим, что $\Omega$
замкнута. Докажите, что почти комплексная структура
$I$ интегрируема.
\ез

\задача
Пусть $(M, I,\omega)$ -- эрмитово почти комплексное
многообразие, а $\nabla$ -- связность с тотально
антисимметричным кручением, сохраняющая $I, \omega$.
Следует ли из существования такой связности
интегрируемость $I$?
\ез

\задача
В условиях предыдущей задачи, следует ли из
существования такой связности
интегрируемость $I$, если $d\omega=0$?
\ез

\определение
Пусть $M$ - вещественное многообразие, 
$\dim M = 2n-1$. Форма $\theta \in \Lambda^1 M$
называется {\бф контактной}, если 
$\theta \wedge (d\theta)^{n-1}\in \Lambda^{2n-1}M$
нигде не обращается в 0.
\ео

\определение
Функция $\phi:\; M \arrow \R$ на комплексном многообразии
называется {\бф строго плюрисубгармонической}, если
$dd^c\phi$ кэлерова.
\ео

\задача 
Пусть $\phi:\; M \arrow \R$ -- строго плюрисубгармоническая
функция на комплексном многообразии, а $c\in \R$ -- такое число,
что множество уровня $X_c := \phi^{-1}(c)\subset M$ гладко. Докажите, что 
$d^c\phi$ -- контактная форма на $X_c$.
\ез

\задача
Пусть $M$ компактное комплексное многообразие, а
$\omega \in \Lambda^{1,1}(M)$ -- замкнутая 
$(1,1)$-форма, удовлетворяющая $\omega(x, Ix)\geq 0$ для любого
$x\in TM$.
Предположим, что $\omega$ невырождена вне конечного
набора точек. Докажите, что $M$ кэлерово (допускает
кэлерову форму).
\ез

\определение
Пусть $A:\; \C^n \arrow\C^n$ -- линейный оператор,
все собственные значения которого удовлетворяют
$|\alpha_i| >1$. Рассмотрим циклическую группу 
$\langle A\rangle\subset \Aut(\C^n)$, 
порожденную $A$, и пусть $H_A= (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$.
Это комплексное многообразие называется {\бф линейное
многообразие Хопфа}.
\ео

\задача 
Докажите, что линейное
многообразие Хопфа $H_A$ некэлерово для любого $n>1$.
\ез

\задача
Докажите, что $H_A$ содержит эллиптическую кривую.
\ез

\задача Пусть $H_A$ -- двумерное многообразие.
Докажите, что каноническое расслоение
$K(H_A)$ не изоморфно тривиальному расслоению ${\cal O}_{H_A}$
(структурному пучку). Докажите, что $K(H_A)$ тривиально
как топологическое расслоение.
\ез

\задача
Пусть $H$ -- трехмерная группа Гейзенберга, то есть группа
вещественных верхнетреугольных матриц 3 на 3. Обозначим за 
$H_\Z\subset H$ подгруппу, состоящую из матриц с целыми
коэффициентами. Постройте комплексную структуру
на компактном 4-мерном многообразии $H/H_\Z \times S^1$. 
Может ли оно быть кэлеровым?
\ез


\задача
Пусть $M$ -- риччи-плоское, компактное многообразие,
а $\theta$ -- гармоническая 1-форма на $M$. Докажите, что
$\nabla\theta=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита.
\ез

\задача
Пусть $M$ -- компактное риманово многообразие.
Докажите, что группа изометрий $M$ компактна.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- компактное многообразие Калаби-Яу.
Докажите, что группа комплексно-аналитических
автоморфизмов $M$ компактна.
\ез

\задача
Пусть $(M,I)$ комплексное многообразие, снабженное
связностью без кручения $\nabla$, причем $\nabla I=0$,
а $X\in TM$ -- векторное поле. Докажите, что $X$ голоморфно
тогда и только тогда, когда $\nabla X\in \Lambda^1(M) \otimes TM$,
рассмотренное как эндоморфизм $TM$, комплексно линейно.
\ез


\задача
Пусть $M$ -- псевдориманово многообразие сигнатуры $(p,q)$ 
(многообразие с невырожденной билинейной симметрической
формой $g$ сигнатуры $(p,q)$). Докажите, что на $M$ существует
и единственна связность без кручения, сохраняющая $g$
(такая связность называется {\бф связность Леви-Чивита}).
\ез

\задача
Пусть $M$ -- псевдориманово многообразие сигнатуры $(p,q)$,
$p\neq q$, а голономия связности Леви-Чивита приводима.
Докажите, что $M$ локально разлагается в произведение
псевдоримановых многообразий меньшей размерности.
\ез





\end{document}
