


\documentclass[11pt]{book}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd, russcorr, theorem, fancyhdr, epsfig,russlh}

\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\def\endproof{\hbox{\vrule width 5pt height 5pt depth 0pt}}

\renewcommand{\leq}{\leqslant}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}

\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   23.02.2008}

\setlength{\headheight}{15pt}
\pagestyle{fancy} \lfoot{\tiny НМУ, весна 2008} 
\cfoot{-- \thepage \ -- } \rfoot{\tiny \sc\version}
\rhead{{\small  Миша Вербицкий}}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\makeatletter
\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  listki-new.tex                     %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\def\1{\sqrt{-1}}
\def\rad{\operatorname{\sf rad}}
\def\Alt{\operatorname{\sf Alt}}
\def\Sym{\operatorname{\sf Sym}}
\def\Id{\operatorname{\sf Id}}
\def\Hom{\operatorname{Hom}}
\def\Vol{\operatorname{Vol}}
\def\Lie{\operatorname{Lie}}
\def\Map{\operatorname{Map}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\Mat}{\operatorname{Mat}}
\newcommand{\cchar}{\operatorname{\sf char}}

\def\Z{{\mathbb Z}}
\def\R{{\mathbb R}}
\def\C{{\mathbb C}}
\def\Q{{\mathbb Q}}
\def\N{{\mathbb N}}


\makeatletter
\begingroup
\gdef\th@upshape{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
%        \writevedomost{\string\mc{\thezadacha} \string & \string & \string 
%        \\ \string \hline}
   }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
   \writevedomost{\string\mc{\thezadacha ##3}  \string & \string \grd \string & \string\grp
   \string \\ \string \hline}
    }}
\endgroup

\theoremstyle{upshape}

\newtheorem{zadacha}{Задача}[chapter]

\begingroup
\gdef\th@generic{\normalfont
  \def\@begintheorem##1##2{%
        \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2.]
     }%
\def\@opargbegintheorem##1##2##3{%
   \item[\hskip\labelsep \theorem@headerfont ##1\ ##2\ (##3).]
    }}
\endgroup

\theoremstyle{generic}

\newtheorem{opredelenie}[zadacha]{Определение}
\newtheorem{ukazanie}[zadacha]{Указание}
\newtheorem{zamechanie}[zadacha]{Замечание}

\renewcommand{\labelenumi}{\ralph{enumi}.}


\newcommand{\listok}[2]{%
\setcounter{page}{1}
\renewcommand{\@oddhead}{\hfil #2 \hfil}
\renewcommand{\@evenhead}{\hfil #2 \hfil}
\section*{#2}
\refstepcounter{section}
\setcounter{section}{#1}
}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% VEDOMOST GENERATION
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newwrite\Vedomost
%\immediate\openout\Vedomost = \jobname.vdm
%\newcommand{\writevedomost}[1]{\immediate\write\Vedomost{ #1 }}
\newcommand{\writevedomost}[1]{}

\def\grd{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\dtt}}\vphantom{666}}
\def\grp{\psboxit{box .7 setgray fill}{\phantom{\pdp}}\vphantom{666}}

\makeatother



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%   Chapter                         %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



  \renewcommand{\chapter}{%
     \secdef\ChapterNumbered\ChapterStarred}

  \def\ChapterNumbered[#1]#2{%
      \addcontentsline{toc}{chapter}{\thechapter. #1}
      \refstepcounter{chapter}
      {
\vspace{\baselineskip}
\chaptermark{#2}
          { {{\noindent\bf\huge \thechapter. \ #2\par}}}
      }
    \vspace{\baselineskip}
}

  \newcommand{\ChapterStarred}[1]{%
      \refstepcounter{chapter}
      \chaptermark{#1}%
      \vspace{\baselineskip}}

  \renewcommand{\chaptermark}[1]{\markboth{#1}{#1}}
                             



\newcommand{\пример}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Пример \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\лемма}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Лемма \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\теорема}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Теорема \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}
\newcommand{\утверждение}{%
     \refstepcounter{zadacha}
     {\noindent\bf Утверждение \thechapter.\arabic{zadacha}:\ }}

\def\хфилл{\hfill}
\def\ноиндент{\noindent}
\def\бф{\bf}
\def\ем{\em}
\def\ит{\it}
\def\задача{\begin{zadacha}}
\def\ез{\end{zadacha}}
\def\замечание{\begin{zamechanie}}
\def\еза{\end{zamechanie}}
\def\указание{\begin{ukazanie}}
\def\еу{\end{ukazanie}}
\def\eu{\end{ukazanie}}
\def\определение{\begin{opredelenie}}
\def\ео{\end{opredelenie}}
\def\eo{\end{opredelenie}}
\def\goth{\mathfrak}
\newcommand{\g}{{\goth g}}
\def\енум{\begin{enumerate}} 
\def\ее{\end{enumerate}}
\def\ee{\end{enumerate}}
\def\итем{\item $\bullet$ %
    \writevedomost{\string & \ralph{enumi} \string &\string & \string \\ \string \hline } }

\begin{document}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\setcounter{chapter}{0}
\lhead{{\scriptsize  Лекция 1. Почти комплексные многообразия}}
\chapter{Кэлерова геометрия, лекция 1: \\Почти комплексные
многообразия}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\section{Почти комплексные многообразия}

Предполагается известным определение комплексного
многообразия, и $p,q$-разложение на дифференциальных
формах: $\Lambda^*(M,\C) = \oplus \Lambda^{p,q}(M)$.
Также разложение $TM\otimes \C \cong T^{1,0}(M)\oplus
T^{0,1}(M)$.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Пусть $M$ - гладкое многообразие, а $I:\; TM \arrow TM$ -
оператор, удовлетворяющий $I^2=-\Id$. Тогда $I$ называется
{\bf почти комплексной структурой}, а $(M,I)$ - {\bf почти
комплексным многообразием.} 
\ео

Почти комплексная структура задает разложение
\[ TM\otimes \C \cong T^{1,0}(M)\oplus T^{0,1}(M),\]
где $T^{1,0}$, $T^{0,1}$ -- собственные подпространства
для $\1$ и $-\1$. Наоборот, каждое такое разложение,
позвояет определить оператор $I$, действующий на $TM
\otimes \C$ подобным образом; он является вещественным при условии 
\[  
   \overline{T^{1,0}(M)} = T^{0,1}(M),\ \ 
    \overline{T^{0,1}(M)} = T^{1,0}(M).
\]
Поэтому каждое комплексное многообразие имеет
естественную почти комплексную структуру. 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Почти комплексная структура $I$ на многообразии
называется {\бф интегрируемой}, если $(M,I)$
получено из комплексного многообразия вышеописанным
образом.
\ео

Отметим, что в этой ситуации 
пучок голоморфных функций на многообразии
$(M,I)$  однозначно
восстанавливается по $I$. 
Действительно, функция $f$ голоморфна тогда 
и только тогда, когда $\Lie_X f=0$,
для каждого $(0,1)$-векторного поля $X$.
Здесь $\Lie_X$ обозначает производную 
$f$ вдоль $X$.

Поэтому комплексная структура на $M$ восстанавливается
из почти комплексной.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\определение
Почти комплексная структура $I$ на многообразии
называется {\бф формально интегрируемой}, если 
$[X,Y]\subset T^{0,1}M$, для любых $X, Y \in T^{0,1}M$.
\ео

\задача
Проверьте, что из интегрируемости следует 
формальная интегрируемость.
\ез

Обратное неверно в бесконечномерной ситуации
(пространство узлов в любом трехмерном многообразии 
с естественной почти комплексной структурой формально интегрируемо,
и даже кэлерово, но не интегрируемо). В ситуации,
когда $(M,I)$ гладкое и конечномерное, 
из формальной интегрируемости следует обычная
интегрируемость; эта теорема весьма трудная.
Трудоемкая часть теоремы состоит в доказательстве
вещественной аналитичности $(M,I)$; для
вещественно аналитических многообразий
равносильность интегрируемости и формальной
интегрируемости очевидна. Об этом ниже.


\определение
Комплекснозначная функция $f$ на почти комплексном многообразии
$(M,I)$ называется {\бф голоморфной}, если $\Lie_X f=0$,
для каждого $(0,1)$-векторного поля $X$.
\ео

\задача 
Пусть $(M,I)$ - почти комплексное многообразие, такое,
что пучок $\Lambda^{1,0}(M)$ локально порожден
дифференциалами от голоморфных функций. Докажите,
что $I$ интегрируемо.
\ез

\указание
Выберите комплексные карты для $(M,I)$,
пользуясь теоремой о неявной функции.
\еу

Поэтому для доказательства интегрируемости
почти комплексного многообразия, достаточно построить
на нем много голоморфных функций.

\определение
Антиголоморфной функцией на комплексном многообразии
называется такая функция $f$, что $\bar f$ голоморфно.
Отображение $\phi:\; M \arrow M$ называется
{\бф антикомплексным}, если оно переводит голоморфные
функции в антиголоморфные.
\ео

\определение
Пусть $M_\C$ - комплексное многообразие, наделенное
антикомплексной инволюцией $\iota:\; M_\C \arrow M_\C$.
Множество $M_\R$ неподвижных точек $\iota$ называется
вещественно аналитическим многообразием.
В этой ситуации $M_\C$ называется его
{\бф комплексификацией}.
\ео

\задача
Докажите, что в такой ситуации 
множество неподвижных точек $\iota$ 
гладко, и $\dim_\R M_\R = \dim_\C M_\C$.
Постройте естественный изоморфизм 
$TM_\C \restrict{M_\R}\cong TM_\R \otimes \C$ 
\ез

\определение
Пусть $M$ - вещественно-аналитическое многообразие,
$M_\C$ его комплексификация
а $I:\; TM \arrow TM$ - почти комплексная структура
на $M$. Оператор $I$ называется {\бф вещественно
аналитичным}, если на $M_\C$ задан голоморфный
оператор $I_\C :\; TM_\C \arrow TM_\C$, 
удовлетворяющий $I_\C^2=-1$, и при естественном
изоморфизме $TM_\C \restrict{M_\R}\cong TM_\R \otimes \C$,
$I_\C$ соответствует $I$.
\ео

Рассмотрим разложение \[ TM_\C \cong T^{1,0}M_\C\oplus T^{0,1}M_\C\]
в собственные пространства $I_\C$. В силу принципа
аналитического продолжения, формальная интегрируемость
$I$ влечет $[X,Y]\subset T^{0,1}M$, для любых $X, Y \in T^{0,1}M_\C$.
Поэтому распределение $T^{1,0}M_\C$ интегрируемо.
Аналогичный аргумент доказывает, что $T^{0,1}M_\C$
тоже интегрируемо. Локально в окрестности любой точки
получаем $M_\C = M^{1,0}\times M^{0,1}$, с естественными
проекциями, идущими вдоль листов слоений $T^{1,0}M_\C$,
$T^{0,1}M_\C$. 

\задача
Выведите из теоремы о неявной
функции, что ограничение проекции $\pi:\; M_\C \arrow M^{1,0}$
на $M \subset M_\C$ является изоморфизмом, локально в окрестности
каждой точки $M$.
\ез


Поскольку $M^{1,0}$ комплексное многообразие,
полученное выше отображение задает комплексную структуру
на $M$. Она согласована с $I$, поскольку любая функция,
которая постоянна на листах слоения $T^{0,1}M_\C$,
удовлетворяет $\Lie_X f=0$ для любого $X \in T^{0,1}M$,
следовательно, голоморфна. И в самом деле,
голоморфные функции на $M_\C$, которые
постоянны вдоль слоев $T^{0,1}M_\C$, задают
голоморфные функции на $(M,I)$.

В дальнейшем
мы будем называть "комплексным многообразием"
почти комплексное многообразие с интегрируемой
почти комплексной структурой

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Связность Леви-Чивита}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $\nabla:\; TM  \arrow TM \otimes \Lambda^1M$ --
связность на $TM$. С этой связностью, как обычно, можно
ассоциировать связность на любом тензорном расслоении
над $M$. Обозначим за 
\[ \bigwedge:\; \Lambda^i(M) \otimes 
\Lambda^1(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)
\]
отображение внешнего умножения.

\определение
Тензором кручения связности 
$\nabla:\; TM  \arrow TM \otimes \Lambda^1M$ назовем
отображение $T_\nabla(X,Y) := \nabla_XY-\nabla_YX -[X,Y]$,
где $X,Y$ - векторные поля. 
\ео

\задача Докажите, что это тензор.
\ез

Будем рассматривать $T_\nabla$
как элемент $\Lambda^2M \otimes TM$.

\задача
Пусть $\nabla:\; TM  \arrow TM \otimes \Lambda^1M$
связность на $TM$, где $M$ -- гладкое многообразие.
Докажите, что следующие условия равносильны
\begin{itemize}
\item связность $\nabla:\; TM  \arrow TM \otimes \Lambda^1M$
не имеет кручения (т.е. $T_\nabla=0$).
\item Индуцированная $\nabla$ связность на $\Lambda^i(M)$
удовлетворяет $\bigwedge \otimes \nabla = d$, где
$d:\;  \Lambda^i(M)\arrow \Lambda^{i+1}(M)$ -- дифференциал
де Рама.
\end{itemize}
\ез


\определение 
Пусть $(M,g)$ - риманово многообразие,
$g\in S^2(M)$ - его тензор Римана. Связность $\nabla$
называется {\бф ортогональной}, если $\nabla g=0$. 
Она называется
{\бф связностью Леви-Чивита}, если
$\nabla g=0$ и $T_\nabla=0$.
\ео

Пусть $\nabla_1, \nabla_2$ - две ортогональные связности.
Тогда $\nabla_1-\nabla_2$ -- 1-форма с коэффициентами
в $\goth{so}(TM)$, и, наоборот, любая ортогональная
связность получается таким образом (докажите это).
Поэтому множество ортогональных связностей есть
аффинное пространство, с линеаризацией, изоморфной
$\Lambda^1(M) \otimes \goth{so}(TM)$.

Обозначим за $\Alt^{12}$ операцию альтернирования
тензора по первым двум аргументам. Тогда для любой
1-формы $A\in \Lambda^1(M) \otimes \goth{so}(TM)$,
и связностей $\nabla_1, \nabla_2$, $\nabla_1-\nabla_2=A$,
имеем
\[
T_{\nabla_1}-T_{\nabla_2} = \Alt^{12}(A).
\]

\задача
Докажите, что 
\[
 \Alt^{12}:\; \Lambda^1(M) \otimes \goth{so}(TM)\arrow
 \Lambda^2M\otimes TM 
\]
изоморфизм
\ез

\указание
Воспользуйтесь изоморфизмом $\goth{so}(TM)\cong
\Lambda^2M$.
\еу


Пусть $\nabla_1$ - произвольная ортогональная связность,
а $A\in  \Lambda^1(M) \otimes \goth{so}(TM)$
Связность $\nabla_2 = \nabla_1-A$ не имеет кручения
тогда и только тогда, когда $\Alt^{12}(A) = Т_{\nabla_1}$.
Воспользовавшись предыдущей задачей, убедитесь,
что такое $A$ существует и единственно. Мы получили
{\бф основную теорему дифференциальной геометрии}:
{\ем связность Леви-Чивита существует и единственна
на каждом римановом многообразии.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кэлеровы многообразия}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $(M, I)$ - почти комплексное многообразие,
а $g\in S^2 TM$ - риманова форма. Форма $g$
называется {\бф эрмитовой структурой}, еслу
$g(I\cdot, I\cdot)= g(\cdot,\cdot)$.
В этой ситуации, $g(\cdot, I\cdot)$
это $(1,1)$-форма на $M$ (проверьте).
Она называется {\бф эрмитовой
формой для $g$}.
\ео

\определение
Комплексное, эрмитово многообразие $(M,I,g)$
называется {\бф кэлеровым}, если соответствующая
эрмитова форма $\omega:=g(\cdot, I\cdot)$ замкнута.
\ео

Следующая теорема является кэлеровым аналогом
"основной теоремы дифференциальной геометрии.

\хфилл

\теорема
\label{_Kahler_conne_Theorem_}
Пусть $(M,I,g)$ - почти комплексное, эрмитово многообразие.
Тогда следующие условия равносильны.

1. $(M,I,g)$ -- кэлерово.

2. $\nabla I=0$, где $\nabla$ -- связность Леви-Чивита.


\хфилл

Доказательство ниже.

Отметим, что из $\nabla I=0$ сразу следует кэлеровость.
Действительно, из этого сразу вытекает $\nabla_X Y \in T^{1,0}(M)$
для любых векторных полей $X,Y$, при условии $Y\in T^{1,0}(M)$. По формуле
\begin{equation}\label{_torsion_via_comm_Equation_}
T_\nabla(X,Y) = \nabla_X Y - \nabla_Y X - [X,Y]
\end{equation}
из этого следует, что $[X,Y]\in T^{1,0}(M)$ для
$X, Y \in T^{1,0}(M)$. Поэтому $(M,I,g)$ 
формально интегрируема. С другой стороны,
$\nabla \omega=0$, поскольку $\nabla I = \nabla g=0$,
но $\bigwedge\nabla \omega=d\omega$, потому что
$\nabla$ без кручения.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Связности с кососимметрическим кручением}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $M$ -- риманово многообразие,  
$\nabla$ -- ортогональная связность 
на $TM$, а $T_\nabla\in \Lambda^2(M) \otimes TM$
ее кручение. Обозначим за $T^\sharp_\nabla\in \Lambda^2(M) \otimes \Lambda^1(M)$
тензор, полученный из $T_\nabla$ посредством изоморфизма
$TM \cong \Lambda^1(M)$, полученного из метрики.
Говорится, что $\nabla$ -- {\bf связность с тотально
антисимметричным кручением,} если $T^\sharp_\nabla$
лежит в $\Lambda^3(M)\subset \Lambda^2(M) \otimes \Lambda^1(M)$.
\ео

\теорема
\label{_Bismut_exi_Theorem_}
Пусть $(M,I,\nabla)$ -- комплексное эрмитово многообразие,
а $\omega$ -- эрмитова форма. Тогда на $TM$ существует и единственна
ортогональная связность $\nabla$ такая, что $\nabla I=0$,
а кручение $\nabla$ тотально антисимметрично.
Более того, в этой ситуации $T^\sharp_\nabla= I d\omega$.

\hfill

Когда $(M,I,\nabla)$ кэлерово, из этой теоремы
следует, что связность $\nabla$ -- без кручения.
В силу единственности связности Леви-Чивита,
это значит, что $\nabla$ и есть Леви-Чивита.
Поэтому из Теоремы \ref{_Bismut_exi_Theorem_}
следует Теорема \ref{_Kahler_conne_Theorem_}.

Пусть $\nabla$ - связность, сохраняющая
$I$ и $g$. Такая связность всегда существует (докажите).
Если $\nabla, \nabla_1$ - две такие связности,
то $\nabla-\nabla_1$ это  1-форма со значениями в 
$\goth{u}(TM)$. И наоборот, для каждой такой 1-формы
$A$,  связность $\nabla +A$ также сохраняет $I$ и $g$.
Поэтому связности - это аффинное пространство,
с линеаризацией, изоморфной $\Lambda^1(M)\otimes \goth{u}(TM)$.
Как и выше,
отображение $\nabla \arrow T_\nabla$ действует
на этом аффинном пространстве по формуле
\[
T_{\nabla+A} = T_\nabla + \Alt^{12}(A).
\]
Расслоение $\goth{u}(TM)$ отождествляется с $\Lambda^{1,1}(M)$
обычным образом. Обозначим соответствующий
изоморфизм 
\[ \Lambda^1(M)\otimes \goth{u}(TM)\arrow \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^{1,1}(M)
\]
за $A\arrow A^\sharp$. Получаем
\[
T_{\nabla+A}^\sharp = T_\nabla^\sharp + \Alt^{12}(A^\sharp).
\]

Пусть $\nabla$ -- связность, которая сохраняет комплексную
структуру, а 
\begin{equation}\label{_T_nabla_Hodge_Equation_}
  T_\nabla\in \Lambda^{1,1}(M) \otimes TM \oplus 
  \Lambda^{2,0}(M) \otimes T^{1,0}M \oplus 
  \Lambda^{0,2}(M) \otimes T^{0,1}M
\end{equation}
разложение Ходжа для ее кручения.
Компоненты $\Lambda^{2,0}(M) \otimes T^{0,1}M$
и $\Lambda^{0,2}(M) \otimes T^{1,0}M$
отсутствуют в силу формулы \eqref{_torsion_via_comm_Equation_}.
Из \eqref{_T_nabla_Hodge_Equation_} получаем
\begin{align*}
T_\nabla^\sharp& \in \Lambda^{1,1}(M) \otimes \Lambda^1(M) \oplus 
  \Lambda^{2,0}(M) \otimes \Lambda^{0,1}(M) \oplus 
  \Lambda^{0,2}(M) \otimes \Lambda^{1,0}(M) \\ \ & = 
  \Lambda^{1,1}(M) \otimes \Lambda^1(M) \oplus
  \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M).
\end{align*}
Поэтому линеаризация отображения
$\nabla \arrow T_\nabla^\sharp$ равна
\[
\Alt^{12}:\; \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^{1,1}(M)
\arrow   \Lambda^{1,1}(M) \otimes \Lambda^1(M) \oplus
  \Lambda^{2,1}(M) \oplus \Lambda^{1,2}(M).
\]
Образ этого отображения не пересекается с пространством
тотально кососимметричных тензоров, и ему дополнителен,
по соображениям размерности. Действительно, отображение
\[
\Alt^{12}:\; \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^2(M) \arrow
\Lambda^1(M)\otimes \Lambda^2(M) 
\]
это изоморфизм (см. выше), значит, $\Alt^{12}(\eta)$
тотально кососимметричен, только если $\eta$
кососимметричен, а элемент 
$\Lambda^1(M)\otimes \Lambda^{1,1}(M)$
не может быть тотально кососимметричен,
что ясно из рассмотрения его ходжевых компонент.

Поэтому, для каждой связности $\nabla$,
найдется единственная форма $A \in \Lambda^1(M)\otimes \goth{u}(TM)$
такая, что тензор
\[
T_{\nabla-A}^\sharp = T_\nabla^\sharp + \Alt^{12}(A^\sharp)
\]
тотально кососимметричен. Чтобы доказать, 
$T^\sharp_\nabla= I d\omega$,
отметим, что в силу 
$\bigwedge \otimes \nabla = d$,
имеем $T_\nabla(\omega) = d\omega$,
но $T_\nabla(\omega)= I(T^\sharp_\nabla)$
(проверьте). Мы закончили доказывать
Теорему \ref{_Bismut_exi_Theorem_}
и Теорему \ref{_Kahler_conne_Theorem_}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кручение $G$-структур}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\определение
Пусть $G$ - группа Ли, $P$ гладкое многообразие,
а $G$ гладко действует на $P$. Расслоение
$P\arrow М$ называется {\бф главным $G$-расслоением},
если $G$ действует на $P$ свободно, а $P/G=M$.
\ео

\определение
Пусть $G_1 \subset G$ -- подгруппа группы Ли $G$,
$P \arrow M$ -- главное $G$-расслоение,
а $P_1\subset P$ -- гладкое подмногообразие $P$,
которое сохраняется подгруппой $G_1\subset G$.
Если $P_1 \arrow M$ является главным
$G_1$-расслоением, оно называется 
{\бф редукцией главного $G$-\-рас\-сло\-ения\\
$P\arrow М$ к подгруппе $G_1 \subset G$.}
\ео

\задача
Докажите, что в такой ситуации
$P = P_1 \otimes G/G_1$,
где фактор берется по диагональному
действию $G_1$.
\ез

Отметим, что на каждом $n$-мерном многообразии 
задано каноническое $GL(n, \R)$-расслоение, точки которого
соответствуют реперам в $TM$.

\определение
Пусть $M$ - $n$-мерное многообразие, 
а $G$ - подгруппа $GL(n, \R)$. 
{\бф $G$-структурой} на многообразии
называется редукция расслоения 
реперов к $G$.
\ео

По теореме Шевалле, каждая группа Ли
определяется системой тензорных инвариантов.

Те $G$-структуры, которые встречаются в дифференциальной
геометрии, в большинстве случаев задаются явно своими
тензорными инвариантами. А делается это так.

Пусть $M$ - $n$-мерное многообразие, 
а $T_1, ... T_k$ - набор тензоров (сечений
расслоения $TM^{\otimes^\rho} \otimes \Lambda^1M^{\otimes^\mu}$,
для каких-то $\rho$ и $\mu$). Предположим, что
локально по $M$ существует тривиализация $TM$,
такая, что $T_1, ... T_k$ постоянные сечения.
Такую тривиализацию можно всегда задать
плоской связностью $\nabla$; постоянство $T_1, ... T_k$
относительно тривиализации значит, что $\nabla T_i=0$.

В основном случае, который нас интересует, $T_1$
это почти комплексная структура, а $T_2$ это
эрмитова метрика. Ясно, что локально 
$T_xM$ допускает отождествление с $\C^{n/2}$,
причем эрмитова метрика переходит в 
обычную евклидову.

Зафиксируем тензоры $\tau_1, ..., \tau_k$
на векторном пространстве $V\cong \R^n$,
которые соответствуют $T_1, ... T_k$
после какой-то тривиализации.
В ситуации, описанной выше, $T_1$ это
комплексная структура на $\C^{n/2}$,
a $Т_2$ -- обычное (евклидово) скалярное
произведение

Рассмотрим расслоенное пространство,
слои которого (в каждой точке $x\in M$)
состоят из изоморфизмов $T_x M \cong V$,
переводящих $T_i$ в $\tau_i$.
Легко видеть, что это главное
$G$-расслоение, где $G$ это стабилизатор
$\tau_1, ..., \tau_k$. 
Поскольку (по теореме Шевалле) задание тензоров 
$\tau_1, ..., \tau_k$ равносильно заданию $G$-структуры,
можно считать это определением $G$-структуры.

Примерам этого несть числа 
(римановы, комплексные, эрмитовы, кватернионно
эрмитовы многообразия, и так далее).

\определение
В этих условиях, говорится, что 
связность $\nabla$ {\бф согласована с $G$-структурой},
если $\nabla\tau_i=0$.
\ео

\задача
Пусть $P\stackrel\pi\arrow M$ -- главное расслоение, ассоциированное
с $G$-структурой, а $T_\pi P$ - вертикальное касательное пространство,
состоящее из всех векторов таких, что $d\pi(x)=0$.
Докажите, что связности, согласованные с $G$-структурой,
находятся во взаимно однозначном соответствии с $G$-инвариантными
подрасслоениями $T_{hor}P \subset TP$ такими,
что $T_{hor}P\oplus T_\pi P = TP$.
\ез

\замечание
Из этой задачи сразу вытекает существование
связности, согласованной с $G$-структурой.
\еза


Обозначим за $\g(TM)$ расслоение алгебр Ли,
состоящее из эндоморфизмов $v\in \End(TM)$, которые
удовлетворяют $[v, \tau_i]=0$.
Связности, согласованные с $G$-структурой,
образуют аффинное пространство, с линеаризацией
$\Lambda^1\otimes \g(TM)$.

Отображение $\nabla \arrow T_\nabla$ -- аффинное, с линеаризацией
\[
\Alt^{12}:\; \Lambda^1\otimes \g(TM) \arrow \Lambda^2\otimes TM.
\]

\определение
Коядро 
\[ {\goth T}:= \frac{\Lambda^2\otimes TM}{\im \Alt^{12}(\Lambda^1\otimes \g(TM))}
\]
называется {\бф пространством кручения} $G$-структуры.
Для любой связности $\nabla$, согласованной с $G$-структурой,
представитель $T_\nabla$ в ${\goth T}$ называется
{\бф кручением $G$-структуры}. 
\ео

\задача Докажите, что кручение $G$-структуры не зависит
от выбора $\nabla$. Докажите, что кручение
$G$-структуры нулевое тогда и только тогда,
когда существует связность без кручения,
которая сохраняет $G$-структуру.
\ез

\замечание
Если $G$ компактна, $G$ сохраняет какую-то метрику,
следовательно, лежит в $SO(TM)$. В этом случае,
\[
\Alt^{12}:\; \Lambda^1\otimes \g(TM) \arrow \Lambda^2\otimes TM.
\]
вложение, как было показано выше, а значит связность
без кручения единственна.
\еза

\замечание
Кручение $G$-структуры определил Эли Картан.
Он доказал, что кручение является
единственным инвариантом первого порядка.
\еза

\замечание
В теореме \ref{_Kahler_conne_Theorem_} 
мы доказали, что $d\omega=0$ влечет
отсутствие кручения для $G$-структуры,
заданной тензорами $I$ и $g$.
Доказательство состояло в явном вычислении
кручения для этой $G$-структуры,
в предположении, что $I$ интегрируемо.
\еза


\задача
Найдите кручение $G$-структуры, определенной
следующими инвариантными тензорами.

\итем Почти комплексная структура

\итем Невырожденная 1-форма 

\итем  2-форма постоянного ранга

\итем Нигде не зануляющееся векторное поле

\итем Оператор $I:\; TM \arrow TM$, удовлетворяющий
$I^2=1$, и с собственными пространствами постоянного
ранга.
\ез







\end{document}

