\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}


\newcommand{\version}{version 1.0,\ \   16.02.2008}


\begin{document}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку надо сдать все задачи со звездочками,
либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя звездочками
можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками 
из того же листочка. Задачи, обозначенные (!),
следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{2}{Топология 2: Топология метрических пространств.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство, $X\subset M$
подмножество. Подмножество $X$ называется {\bf открытым}, если оно
вместе с каждой точкой содержит некоторый $\epsilon$-шар с центром в
этой точке, и {\bf замкнутым}, если дополнение к $X$ открыто.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Докажите, что $X$ открыто тогда и только тогда, когда
для каждой последовательности $\{a_i\}$, которая сходится к $x\in
X$, все $a_i$, кроме конечного числа, содержатся в $X$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что объединение любого количества
открытых множеств открыто. Докажите, что пересечение конечного числа
открытых множеств открыто.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что замкнутый шар 
$$ 
\overline B_\epsilon(x) = \{ y \in X \ \ | \ \ d(x,y)\leq \epsilon\}
$$
всегда замкнут. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что множество замкнуто тогда и только
тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Замыкание множества $A\subset M$ 
есть объединение $A$ и всех предельных точек $A$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Дано метрическое пространство, а в нем 
открытый шар $\overline B_\epsilon(x)$ и замкнутый шар
$B_\epsilon(x)$. Всегда ли $\overline B_\epsilon(x)$ -- замыкание
$B_\epsilon(x)$? Докажите, что замыкание любого 
подмножества всегда замкнуто.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} \label{_DISKRE_Zadacha_}
Пусть $A$ -- подмножество в $M$ 
не имеющее предельных точек (такое подмножество называется {\bf
дискретным}). Докажите, что $M \backslash A$ открыто.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- компактное метрическое
пространство, а $\epsilon > 0$ -- число.  Пусть $R\subset M$ таково,
что $M$ покрывается объединением всех $\epsilon$-шаров с центрами в
$R$. Тогда $R$ называется {\bf $\epsilon$-сетью}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть каждая последовательность
в $M$ имеет предельную точку. Докажите, что 
для каждого $\epsilon >0$ в $M$ найдется конечная $\epsilon$-сеть.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Пусть такой сети нет; тогда для каждого конечного множества
$R$ найдется точка $x$, отстоящая от $R$ больше, чем на $\epsilon$.
Присоединим $x$ к $R$, воспользуемся индукцией, и
мы получим бесконечное дискретное подмножество $M$.
\end{ukazanie}


\begin{opredelenie} Пусть $X\subset M$ --
подмножество, а $U_i\subset M$ -- набор открытых
подмножеств. Говорят, что $U_i$ -- {\bf покрытие $X$}, если $X
\subset \cup U_i$. Если из $\{U_i\}$ выкинуть какое-то количество
открытых множеств, и оно останется покрытием, то, что получится,
называется {\bf подпокрытие}.
\end{opredelenie}

 \begin{zadacha} \label{_shar_v_pokry_Zadacha_}
Пусть $M$ -- метрическое
  пространство, $S$ -- открытое покрытие $M$.
  Пусть каждая последовательность
  элементов $M$ имеет предельную точку.
  Докажите, что тогда существует такое
  $\epsilon>0$, что любой шар радиуса $<\epsilon$
  полностью содержится в одном из
  множеств покрытия $S$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
Пусть для каждого $\epsilon$ найдется точка $x_\epsilon$,
такая, что соответствующий $\epsilon$-шар не содержится
целиком ни в одном из множеств покрытия. Возьмем
сходящуюся к нулю последовательность $\{\epsilon_i\}$,
и пусть $x$ - предельная точка $\{x_{\epsilon_i}$.
Докажите, что $x$ не содержится ни в одном из
множеств покрытия $S$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]\label{comp.defn}
(теорема Гейне-Бореля) 
Пусть $X\subset M$ -- подмножество метрического
пространства. Докажите, что следующие условия равносильны
\begin{enumerate}
\item Каждая последовательность точек из $X$ имеет предельную точку
в $X$.

\item Каждое покрытие $X$ открытыми множествами имеет конечное
подпокрытие.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Чтобы вывести (а) из (б), воспользуйтесь
задачей \ref{_DISKRE_Zadacha_}. 
Чтобы вывести (б) из (а), возьмем любое 
покрытие $S$, число $\epsilon$ из задачи
\ref{_shar_v_pokry_Zadacha_} и конечную
$\epsilon$-сеть. Каждый из шаров
$\epsilon$-сети содержится в каком-то
из элементов $U_i\in S$. Докажите,
что $\{U_i\}$ - конечное подпокрытие.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $M$, $M'$ -- метрические пространства,
а $f:\; M \to M'$ -- функция. Функция $f$ называется {\bf
непрерывной}, если $f$ переводит любую последовательность,
сходящуюся к $x$, в последовательность, сходящуюся к $f(x)$,
для каждого $x\in M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $X$ -- любое подмножество в $M$.
Докажите, что функция $f:\; M \to \R$, $x \overset f \mapsto
d(\{x\}, X)$, непрерывна, где $d(\{x\}, X)$ (расстояние
от $x$ до $X$) определяется как
$d(\{x\}, X):=\inf_{x'\in X}d(x, x')$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство, $X\subset M$
-- подмножество. Говорят, что подмножество $X$ {\bf компакт}, или
{\bf компактное множество}, если выполнено любое из условий
задачи~\ref{comp.defn}. Заметим, что это условия не зависит
от вложения $X\hookrightarrow M$, а зависит только от метрики 
на $X$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Рассмотрим пополнение $\Z$ относительно
нормы $\nu_p$, определенное выше (оно называется ``кольцо целых
$p$-адических чисел'' и обозначается $\Z_p$). Докажите, что оно
компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что любое $p$-адическое число
можно представить в форме $\sum a_i p^i$, где $a_i$ целое число от 0
до $p-1$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Докажите, что компактное 
подмножество $M$ всегда замкнуто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Докажите, что оно содержит все свои предельные
точки.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} Докажите, что замкнутое подмножество компакта всегда
компактно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Докажите, что объединение конечного числа компактных
подмножеств компактно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] Пусть $f:\; X \to \R$ -- непрерывная функция
на компакте. Докажите, что $f$ достигает максимума.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $X$, $Y$ -- два подмножества
метрического пространства. Обозначим через $d(X, Y)$ число
$\inf_{x\in X, y \in Y}(d(x,y))$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $X$, $Y$ -- два компактных подмножества
метрического пространства. Докажите, что в $X, Y$ есть такие точки
$x, y$, что $d(x,y) = d(X,Y)$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Подмножество $Z\subset M$ называется
ограниченным, если оно содежится в шаре $B_r(x)$ для каких-то
$r\in\R, x\in M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} Пусть $Z\subset M$ компактно.
Докажите, что оно ограниченно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство,
а $X\subset M$ -- его подмножество. Объединение всех открытых
$\epsilon$-шаров с центрами во всех точках $X$ называется {\bf
$\epsilon$-окрестностью} $X$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство, а $X$ и $Y$
-- ограниченные его подмножества. {\bf Расстояние Хаусдорфа}
$d_{H}(X,Y)$ есть инфимум всех $\epsilon$ таких, что $Y$ содержится
в $\epsilon$-окрестности $X$, а $X$ содержится в
$\epsilon$-окрестности $Y$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Докажите, что расстояние Хаусдорфа
задает метрику на множестве $\cal M$ всех замкнутых ограниченных
подмножеств $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $X$, $Y$ -- ограниченные подмножества $M$,
а $x\in X$. Докажите, что всегда $d_{H}(X, Y) \geq d(x, Y)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- полное метрическое
пространство. Докажите, что $\cal M$ тоже полно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Рассмотрим последовательность Коши
$\{ X_i\}$ подмножеств $M$. Пусть $\mathfrak S$ -- множество всех
последовательностей Коши $\{x_i\}$ с $x_i \in X_i$. Пусть $X$
множество предельных точек последовательностей из $\mathfrak
S$. Докажите, что $\{X_i\}$ сходится к $X$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $\{ X_i\}$ -- последовательность Коши
компактных подмножеств в полном метрическом
пространстве $M$, а $X$ -- ее предел. Докажите, что $X$
компактен.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Перейдя к подпоследовательности v $\{X_i\}$,
можно предположить, что $d_H(X_i, X_j)< 2^{-\min(i,j)}$.  Пусть
$\{x_i\}$ -- последовательность точек из $X$. Для каждого $X_j$
найдите такую последовательность $\{x_i(j)\in X_j\}$, что $d(x_i(j),
x_i)= d(x_i, X_j)$. Поскольку $X_j$ компактен, эта
последовательность всегда имеет предельную точку.  Выберем в
$\{x_i(0)\}$ предельную точку $x(0)$, и заменим $\{x_i\}$ на такую
его подпоследовательность, что $\{x_i(0)\}$ сходится к $x(0)$.
Потом заменим $\{x_i\}, i>0$ на такую подпоследовательность, чтобы
$\{x_i(1)\}$ сходилось к $x(1)$. На $k$-м шаге мы заменяем $\{x_i\},
i>k$ на подпоследовательность таким образом, чтобы $\{x_i(k)\}$
сходилось к $x(k)$. Докажите, что в результате получится такая
последовательность $\{x_i\}$, что $\{x_i(k)\}$ сходится к $x(k)$ для
всех $k$. Докажите, что эту операцию можно провести таким образом,
что $d(x_i(k), x(k)) < 2^{-i}$. Используя приведенную выше оценку
$d_H(X_i, X_j)< 2^{-\min(i,j)}$, докажите, что $d(x_i(k), x_i)<
2^{-\min(k,j)+2}$. Выведите из этого, что $\{x_i\}$ --
последовательность Коши.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] $M$ компактно, $X\subset М$ --
любое подмножество. Докажите, что для каждого $\epsilon >0$ в $M$
найдется конечное множество $R$ такое, что $d_H(R, X)<\epsilon$.
(Это утверждение можно выразить так: ``$X$ допускает аппроксимацию
конечными множествами, с заданной наперед точностью'')
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Найдите в $X$ конечную $\epsilon$-сеть.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $M$ компактно. Докажите, что 
$\cal M$ тоже компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $M$ -- метрическое пространство.
Говорят, что $M$ {\bf локально компактно}, если для любой точки
$x\in M$ существует такое число $\epsilon>0$, что замкнутый шар
$\overline{B}_\epsilon(x)$ компактен.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}  Пусть $M$ -- локально компактное
метрическое пространство, $\overline{B}_\epsilon(x)$ -- замкнутый
шар, который компактен. Докажите, что $\overline{B}_\epsilon(x)$
содержится в открытом множестве $Z$, замыкание которого компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Покройте $\overline B_\epsilon(x)$ шарами,
замыкание которых компактно, и выберите конечное подпокрытие.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] В условиях предыдущей задачи
докажите, что для какого-то $\epsilon'> 0$ замыкание
  открытого шара
${B}_{\epsilon+\epsilon'}(x)$ компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Возьмите $Z$ такое, как в предыдущей задаче. Возьмите
$\epsilon' = d (M \backslash Z, \overline B_\epsilon(x))$.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} Пусть $(M, d)$ -- метрическое пространство.
Мы говорим, что $M$ {\bf удовлетворяет условию Хопфа-Ринова}, если
для любых двух точек $x, y\in M$ и таких чисел $r_1, r_2 >0$, что
$r_1+r_2 < d(x,y)$, имеем
$$
d(B_{r_1}(x), B_{r_2}(y)) = d(x,y) - r_1-r_2.
$$
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- полное локально компактное 
метрическое пространство, удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова,
$x\in M$ -- точка, а $\epsilon>0$ -- такое число, что $\overline
B_{\epsilon'}(x)$ компактен для всех $\epsilon'<\epsilon$.
Докажите, что шар $\overline B_{\epsilon}(x)$ компактен.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Пусть $\epsilon_i<\epsilon$ -- последовательность,
которая сходится к $\epsilon$. Пользуясь условием Хопфа-Ринова,
докажите, что $\{\overline B_{\epsilon_i}(x)\}$ -- последовательность
Коши в смысле метрики Хаусдорфа, и сходится к $\overline
B_{\epsilon}(x)$.  Воспользуйтесь тем, что, как доказано выше,
предел такой последовательности компактен.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] \label{_Hopf_Rinow_1_Zadacha_}
(Теорема Хопфа-Ринова, I)
Пусть $M$ -- полное локально компактное метрическое пространство,
удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова. Докажите, что каждый замкнутый
шар $\overline B_{\epsilon}(x)$ в $M$ компактен.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*]
Придумайте пример полного 
локально компактного метрическое пространства, в котором
есть некомпактный замкнутый шар $\overline B_{\epsilon}(x)$.
\end{zadacha}

\замечание
Разумеется, такое пространство не может 
удовлетворять условию Хопфа-Ринова (Задача \ref{_Hopf_Rinow_1_Zadacha_}).
\еза


\begin{zadacha} Пусть $M$ -- такое метрическое пространство, что
каждый замкнутый шар $\overline B_{\epsilon}(x)$ в $M$
компактен. Докажите, что $M$ полно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $M$ -- локально компактное
полное метрическое пространство, удовлетворяющее условию
Хопфа-Ринова, $x, y\in M$.  Докажите, что есть такая точка $z\in M$,
что $d(x,z) = d (y, z)= \frac 1 2 d(x,y)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $S$ -- множество всех рациональных 
чисел вида $\frac{n}{2^k}$, $n\in \Z$ на отрезке $[0,1]$. В условиях
предыдущей задачи, докажите, что существует такое отображение
$S\overset \xi\to M$, что $d(\xi(a), \xi(b)) = |a-b| d(x,y)$,
причем $\xi(0)=x$, а $\xi(1)=y$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] (Теорема Хопфа-Ринова, II)
Пусть $M$ -- локально компактное полное метрическое пространство,
удовлетворяющее условию Хопфа-Ринова, $x, y\in M$. Докажите, что
отображение $\xi$ можно естественно продолжить на пополнение $S$
относительно стандартной метрики, получив такое отображение
$[0,1]\overset {\overline\xi}\to M$, что $\overline\xi(0)=x$,
$\overline\xi(1)=y$, и для всякой пары вещественных числа $a,b\in
[0,1]$ имеем $d((\overline\xi(a), \overline\xi(b)) = |a-b| d(x,y)$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} Такое отображение называется {\bf
геодезическим}. Теорему Хопфа-Ринова можно сформулировать так -- для
любых двух точек в полном метрическом локально компактном
пространстве, удовлетворяющим условию Хопфа-Ринова, найдется
геодезическая, которая их соединяет.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie} 
Такое пространство называется {\bf геодезически связным}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*] Приведите пример метрического пространства,
которое не локально компактно, но тем не менее геодезически связно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть $V= \R^n$ -- векторное пространство со стандартной 
(евклидовой) метрикой. Докажите, что геодезические в $V$ -- это отрезки
(множества вида $a x + (1-a) y$, где $a$ пробегает отрезок $[0, 1]
\subset \R$, a $x, y \in V$).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $d$ -- метрика на $\R^n$, ассоциированная
с нормой $(x_1, x_2, ... ) \mapsto \max |x_i|$. Докажите, что она
удовлетворяет условию Хопфа-Ринова. Докажите, что $\R^n$ с такой
метрикой геодезически связно. Опишите геодезические.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть $d$ -- метрика на $\R^n$, ассоциированная
с нормой $(x_1, x_2, ... ) \mapsto \sum |x_i|$. Докажите, что она
удовлетворяет условию Хопфа-Ринова. Докажите, что $\R^n$ с такой
метрикой геодезически связно. Опишите геодезические.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Верно ли, что метрика $d$, определенная 
нормой, всегда удовлетворяет условию Хопфа-Ринова?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} Пусть $X$ -- метрическое пространство,
а $0<k<1$ -- вещественное число. Отображение $f:\; X \to X$
называется {\bf сжимающим с коэффициентом $k$}, если $k d(x,y) \geq 
d(f(x), f(y))$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] Пусть $X$ -- метрическое пространство,
а $f:\; X \to X$ -- сжимающее отображение. Докажите, что для каждого
$x \in X$ последовательность $\{a_i\}$, $a_0 :=x, a_1:=f(x),
a_2:=f(f(x)), a_3:=f(f(f(x))), ...$ -- последовательность Коши.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Воспользуйтесь тем, что $d(a_i, a_{i+1}) = k^i d(x, f(x))$,
и выведите из этого сходимость ряда $\sum d(a_i, a_{i+1})$
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!] (Теорема о сжимающих отображениях)
Пусть $X$ -- полное метрическое пространство, а $f:\; X \to X$ --
сжимающее отображение. Докажите, что $f$ имеет неподвижную точку
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} Возьмите предел последовательности 
$x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \ldots$.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}
