\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   26.02.2008}


\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{3}{��������� 3: ���������-������������� ���������.}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� ���� ������������ $M$, � ������� ����� ����������� $S\subset
M$, ���������� {\bf ��������� ��������������}. ���� $(M,S)$ 
(� ����� ���� $M$) ����������
{\bf �������������� �������������}, ���� ��������� ���������
�������.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item ������ ��������� � ���� $M$ �������.

\item ����������� ������ ����� �������� ����������� �������.

\item ����������� ��������� ����� �������� ����������� �������.
\end{enumerate}
����������� $\phi:\; M \arrow M'$ �������������� �����������
���������� {\bf �����������}, ���� �������� ������� ���������
��������� ������. ����������� ����������� ����� ���������� {\bf
����������} �������������� �����������. {\bf ����������}
�������������� ����������� -- ��� ����� ������� $\phi:\; M
\arrow M'$, ��� ���������� ������� $\psi:\; M' \arrow M$, �������� �
$\phi$ (�.�. $\phi\circ \psi $ � $\psi\circ \phi $ -- �������������
��������). ���������� �������������� ����������� �����������
���������� {\bf ��������������}.

������������ $Z\subset M$ ���������� {\bf ���������}, ���� ���
���������� �������. {\bf �����������} ����� $x\in M$ -- ��� �����
�������� ������������ $M$, ������� �� ��������. {\bf �����������}
������������ $Z\subset M$ -- ��� ����� �������� ������������ $�$,
������� ��� ��������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ���������� ����������� �����������
����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ -- ��������� ���������, � $S$ -- ��������� ����
����������� $M$. ��������, ��� $S$ ������ �� $M$ ���������. ���
��������� ���������� {\bf ����������}. ������� ��������� ����
����������� ����������� �� $M$ � �������� ��������������
������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ -- ��������� ���������, � $S$ -- ��������� �� ����
����������� $M$: ������� ��������� � ������ $M$. ��������, ��� $S$
������ �� $M$ ���������.  ��� ��������� ���������� {\bf
������������}. ������� ��������� ���� ����������� ����������� �� $M$
� ������������ � ���������� ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������� ����������� ������� �������������� �����������, ������� ��
�������� ��������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���� ������������ $Z$ ��������������� ������������ $M$.
�������� ������������ � $Z$ �������� ������������� ����
$Z\cap U$, ��� $U$ ������� � $Z$. 
��������, ��� ��� ������ ��������� �� $Z$. ��������, ���
������������ �������� $Z\hookrightarrow M$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� ��������� �� $Z\subset M$ ���������� {\bf �������������� �
$M$}. ������������ ������ ��������������� ������������ �� �����
������������� ��� �������������� ������������ � ��������������
����������.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������, � $S_0$ -- ����� �����
�������� ��������, ��� ����� �������� ��������� ����� �������� ���
����������� �������� �� $S_0$. ����� $S_0$ ���������� {\bf �����}
$M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
������� ��� ���� ��� $M$ � ���������� ����������; ��� $M$ �
������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ����������� ������������.  ��������, ��� ������������
$U\subset M$ ���������� {\bf ��������}, ���� ��� ������ ����� $u\in
U$, $U$ �������� ��� ������� $\epsilon >0$ � ������� � $u$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ��� ����������� ������ ��������� �� �����������
������������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
�������������� ������������ ���������� {\bf �����������} ���� 
��� ����� �������� �� ������������ ������������ ������������� ��������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ���������� �������������� ������������ ����������, �
������������ -- ���.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� �������� ���� � ����������� ������������ $M$ �������.
��������, ��� �������� ���� ������ ���� ��������� �� $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $�$ -- �������������� ������������, � $S$, $S'$ -- ���
��������� �� $M$.  �����������, ��� ��� ������ ����� $m\in M$ �
����������� $U'\ni m$, �������� � ��������� $S'$, �������� �����������
$U\ni m$, $U\subset U'$, �������� � ��������� $S$. ��������, ���
������������� ����������� $(M, S) \overset{i}{\arrow} (M, S')$
����������. ��������� ������, �����  $i$ �� ��������
��������������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
� ����� �������� ������ ���������, ��� ���������, ��������
$S'$, {\bf �������} ���������, �������� $S$. 
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}  
���������� ������������ $\R^n$ � ������ $\nu$, ��� �
������ 1. ��� ����� ������ �������, � �������������, � ���������
�� $\R^n$. ��������� ��� ��������� ����� $S_\nu$. �����������, ���
$\nu$, $\nu'$ -- ����� ��� �����, ��� ��� �����-�� �������������
��������� $C\in \R$ ������ ����� $C^{-1} \nu'(x) <\nu(x)< C
\nu'(x)$. ��������, ��� ������������� ����������� �� $\R^n$ � ����
������ ������������ $(\R^n, S_\nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
�����������, ��� $\nu$, $\nu'$ -- ����� ��� ����� �� $\R^n$, ���
������������� ����������� �� $\R^n$ � ���� ������ ������������
$(\R^n, S_\nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$. ��������, ��� �������� �����
��������� $C$, ��� $C^{-1} \nu'(x) <\nu(x)< C \nu'(x)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $V$ -- ������������� 
��������� ������������, ���������� ������������
������������ ���������� ������ $g$. ���������� $V$ ��� �����������
������������, � �������� $d_g$, ����������� � ������ 1. 
��������� ��������������� ��������� ����� $S_g$. ��������, ���
��������� �� $V$ �� ������� �� ������ $g$, �� ���� ��� ��� ����� $g,
g'$, ������������� ����������� �� $V$ � ���� ������ ������������
$(V, S_g)\arrow (V, S_{g'})$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
����� $V$ - ������������� ������������ � ������ $\nu$.
��������, ��� ��������� $S_\nu$ �� ������� �� ������ ����� $\nu$:
������������� ����������� �� $\R^n$ � ���� ������ ������
������������ $(\R^n, S_\nu)\arrow (\R^n, S_{\nu'})$.
����� �� ���, ����� $V$ ���������������?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
���������� ������� $d$ �� $\R^n$, ��������
������ 
\[ 
|(\alpha_1, ... \alpha_n)|= \sqrt{\sum_i \alpha_i^2}.
\]
��������� �� $\R^n$, ��������� � $d$, ���������� {\bf ������������}.
{\bf ������������ ���������} �� ������������� � $\R^n$ -- ���
���������, �������������� � $\R^n$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
���������� $\R$ � ������������ ����������.  ����� $M$ ������������ �
���������� ����������, $M'$ -- ������������ � ������������
����������.  ������� ��������� ���� ����������� �����������
\begin{enumerate}
\���� �� $\R$ � $M$

\���� �� $M$ � $\R$

\���� �� $M'$ � $\R$

\���� �� $\R$ � $M'$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $\phi:\; M \arrow M'$ -- ��������� ����������� ��������������
�����������.  ����� ��, ��� ���� $\phi$ ����������, �� ��������
������ ���������� ��������� �������?  ����� ��, ��� ���� ��������
������ ���������� ��������� �������, �� ����������� ����������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������� ������ ������ ������������ ����������� ��������������
�����������, ��� ����� ��������� ��������� �� ������. ���������
������ ������ ������������ ����������� �������������� �����������,
��� ����� ���������� ��������� �� �������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������, $Z\subset M$ --
������������ ������������, $\overline{Z}$ -- ����������� ����
��������� ����������� $M$, ���������� $Z$.  ����� $\overline{Z}$
���������� {\bf ����������} $Z$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� $\overline Z$ ��������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������. ��������� ������� �0-�4
���������� {\bf ��������� �����������.}
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{{\bf T\arabic{enumi}.}}
\setcounter{enumi}{-1}
\item ����� ���� ����� ��� �������������
����� $x,y \in M$, ����� �� ������� ����
  � ����� �� ��� ���� �����������, ������� �� �������� ������.

\item ����� ����� $M$ ��������.

\item 
����� ��� ��������� ����� $x$, $y\in M$ �������� �������������
$U_x$, $U_y$, ������� �� ������������.

\item � $M$ ����� �1. ����� ����,
��� ����� ����� $y\in M$, ����� ����������� $U\ni y$ ��������
�������� ����������� $U'\ni y$, ��������� ������� ���������� � $U$.

\item  � $M$ ����� �1. ����� ����,
��� ������ ���������� ������������ $Z\subset M$, ����� �����������
$U\supset Z$ �������� �������� ����������� $U'\supset Z$, ���������
������� ���������� � $U$.
\end{enumerate}
������� �2 �������� ��� {\bf ������� ���������}. ��������������
������������, ��������������� ������� �2, ���������� {\bf
������������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� �1 ������������ ����������: ��� ����� ����
������������� ����� $x, y\in M$, �������� ����������� $y$, ��
���������� $x$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� �4 ������������ ����������: 
 � ����� ����
���������������� ��������� �������� $X, Y\subset M$, ��������
���������������� �����������.
\end{zadacha}


\begin{zadacha} ����� $M$ -- �������������� ������������. ���������
  �� $M$ ��������� ��������������� ��������� �������: $x$
  ������������ $y$ ����� � ������ �����, ����� $x \in
  \overline{\{y\}}$ � $y \in \overline{\{x\}}$. ��������� ���������
  ������� ��������������� ����� $M'$.
\begin{enumerate}
\���� ���������, ��� ��� ������������� ��������� ���������������.
��������, ��� $M$ ������������� ������� T0 ����� � ������ �����,
����� $M=M'$.

\���� ������, ��� ������������ $U \subset M'$ ������� ����� � ������
�����, ����� ������ ��� �������� ��� ����������� $M \to
M'$. ��������, ��� ��� ������ ��������� �� $M'$. ������������� ��
��� ������� T0?

\���� ��������, ��� �������� ������������ � $M$ -- ��� � ��������
  ��������� �������� ����������� � $M'$.

\���� ����� ��������� �� $M$ ������������. ���� ����� $M'$?
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����������� �� ������� �0-�4 � ������������ � ���������� ����������?
� ������������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� �0-�4 ����������� � $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� T0 ������� �� T1, a �1 ������� �� �2.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������� ������ ������������, �� ���������������� �������
�1. ��������� ������ ������������� ������������, ��� ��� �����
��������.
\end{zadacha}

\NewVedomost

\begin{zadacha}[*]
��������� ������ ������������, ���������������� �1, � ������, ���
����� ��� �������� �������� ��������� ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� �� �3 ������� �2.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������ ������������, ��� ����������� �3, �� �� �����������
�4.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���� ����������� �������������� ������������. ��������, ��� � ���
��������� ������� �1, �2, �3.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
���� ����������� �������������� ������������. ��������, ��� � ���
��������� ������� �4.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ��������� $�$ �������.
\begin{enumerate}
\���� ������� ��� ��������� �� $M$, ��������������� ������� T1?
\���� ������ �� �� $M$ ���������, ������� �� ������������� T1, ��
  ������������� T0?
\����[**] ����� $M$ ������� �� $n$ �����.
������� ������ ��������� �� $M$? ������� �� ���
������������� T0?
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��������� $M$ ���������� {\bf ��������-�������������}, ���� �� ���
������ ��������� $x \le y$ (``$x$ ������ ���� ����� $y$) � �����
����������:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{\arabic{enumi}.}
\item ���� $x \le y$, � $y \le z$, �� $x \le z$.
\item ���� $x \le y$ � $y \le x$, �� $x=y$.
\end{enumerate}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
\begin{enumerate}
\���� ����� $�$ -- ��������-������������� ���������; ����� ��������,
  ��� ������������ $S \subset M$ �������, ���� ������ � �����
  ��������� $x \in S$ ��� �������� ��� $y \in M$, ��� ������� $y \le
  x$. ��������, ��� ��� ������ ��������� �� $M$. ����� ��� ���������
  ������������� �������� T0? � �������� T1?
\���� ����� $M$ -- �������� ���������, � �� ��� ������ ���������,
  �������������� �������� T0. ��������, ��� ��� ���������� ��
  ������-�� ���������� ������� �� $M$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $Z\subset M$ -- ������������ � �������������� ������������.
������������ $Z$ ���������� {\bf �������}, ���� $Z$ ������������ �
������ �������� �������� ������������� $M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� $Z$ ������ ����� � ������ �����, ����� ���������
$\overline{Z}$ ���� ��� $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������� ��� ������� ������������ � ������������ � ����������
����������; � ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� $\Q$ ������ � $\R$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
������������ $Z$ � �������������� ������������ $M$ ���������� {\bf
����� �� �������}, ���� ��� ������ ��������� ������������ $U\subset
M$, ������������ $Z\cap U$ �� ������ � $U$. ��������, ��� $Z$ �����
�� ������ ����� � ������ �����, ����� $M\backslash \overline{Z}$
������ � $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
��������� ������������� ����� �� ������� ������������ � �������
$[0, 1]$ � ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
������� ��� ����� �� ������� ������������ � ����������� � ����������
����������; � ������������ � ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������, $x\in M$ -- ������������
�����. ���� ������������ $x$ -- ��� ����� ����� $B$ ������������
$x$, ��� ����� ����������� $U\ni x$ �������� �����-�� ����������� ��
$B$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� � �������������� ������������ $M$ ����� ����� ����� ��������
����������� $B$, ��� ��� ����� ����� $x\in M$, ������������ ����
$U\in B$, ���������� $x$, �������� ���� ������������ $x$.  
��������, ��� $B$ -- ���� ��������� $M$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������. �� $M$ ����� �������� ���
������� ���������. ���� � ������ ����� $M$ �������� ������� ����
������������, �� �������, ��� � $M$ {\bf ����������� ������ �������
���������}. ���� � $M$ �������� ������� ���� �������� ��������, ��
�������, ��� ��� $M$ ����������� {\bf ������ ������� ���������},
���� ��� $M$ -- {\bf ������������ �� ������� �����}. ���� � $M$
�������� ������� ������� ���������, �� �������, ��� $M$ {\bf
������������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
���� ������������ $M$ � ���������� ����������.  ��������, ��� � $M$
����������� ������ ������� ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� �������������� ������������ $M$ ����� ������� ����.  ��������,
��� ��� ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� ����������� �������������� ������������ $M$ 
������������. ��������, ��� $M$ �����
������� ����. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
���� ����������� �������������� ������������.  ��������, ��� ���
����� ������� ���� ������������ � ������ �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������� ��������������� ����������� �������������� ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
��������� ������ �������� ����������� ������������ ��� ������� ����.
\end{zadacha}

\subsection{��������� � ����������}

�������������� ������������ ���� ���������� ��� ����, �� �������
������ �������� � ����������� ��������. � ������ 2 ��
���������� ����������� ������� ��� �������, ����������� �������
���������� �������������������. � ��������� ����� ��������� �
��������������� ����� ������, ����������� ����, ���� � ����� ������
�������������� ��������, ��������� ��������� �� ������������
����������� ������� ������ ���������� �������������������, �
����������� ����������� -- ��� �����������, ����������� �������.

������ ������ � ��������� (��� ���� ��� ��������� �������������)
������������� �� ���������-������������� ��������� -- ���� � �����
������������ ��� ������� ����, ���������� ������������ ���������
�������������� ���������� ��������������������. � ���������� ��
����� �������� � �������� � ������������� �� ������� �����
������������ �����, � � ����� �������� ������ ������ ����������
��������� � ������������� ����� ������� �������������������.

\begin{opredelenie} 
����� $M$ -- �������������� ������������, $Z\subset M$ --
����������� ������������. ����� $x\in M$ ���������� {\bf ����������
������} ��� $Z$, ���� � ������ ����������� $x$ ���������� $z\in
Z$. {\bf ��������} ������������������ $\{ x_i\}$ ���������� �����
����� $x$, ��� � ����� ����������� $x$ ���������� ����� ��� $x_i$.
������������������ ���������� {\bf ����������}, ���� � ��� ����
������. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
������� ��� ���������� ������������������ � ������������ �
���������� ����������. � ������������ � ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- �����������. ��������, ��� � ����� ������������������
 ���� �� ����� ������ �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� �� �������� (�.�. �������� �� �������������� �� ��������������
�������)?  � ���� � $M$ ���� ������� ���� ������������ �����? 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� � $M$ ������ ����� ������������������ �����������. ��������,
��� � $M$ ��������� ������� ����������� �1.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� ������ ����������� ����������� $f:\; M \arrow M'$ � ���������
������������ $Z\subset M$. ��������, ��� $f$ ��������� ����������
����� $Z$ � ���������� ����� $f(Z)$.  ��������, ��� $f$ ���������
������� � �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� ����������� ��������� ���������� ����� ������ 
��������� � ���������� ����� ��� ������. ��������, ��� ��� ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� ���� ������������ $M$ � ������� ����� ������������ � ������
�����.  ���������� ������������ ������������ $Z\subset M$.
��������, ��� ��������� $Z$ ���� ��������� �������� ����
������������������� �� $Z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{lim.seq}
����� ���� ������������ $M$, $M'$ �� ������� ����� ������������ �
������ �����, � ����������� $f:\; M \arrow M'$, ����������� �������
�������������������. ��������, ��� $f$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*] 
� ���, ���� � ���������� ������ �� ��������� ������� ����
������������ ����� ��� $M$? ��� $M'$?

\end{zadacha}


\end{document}
