
\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   19.04.2008}


\input{listki.tex}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для зачета по каждому листку достаточно сдать все задачи со
звездочками, либо все задачи без звездочек. Задачи с двумя
звездочками можно не сдавать. Сдавшим $k$ задач с двумя звездочками
разрешается не сдавать $2k$ задач со звездочками из того же
листочка. Задачи, обозначенные (!), следует сдавать всем.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{5}{ЛИСТОК ТОПОЛОГИЯ 5: Компактность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie} 
Пусть $M$ -- топологическое пространство.
Назовем {\bf покрытием} $M$ любой набор открытых
подмножеств $U_i\subset M$ (возможно, бесконечный,
или даже несчетный), для которого $M= \bigcup U_i$.
Пространство $M$ называется {\bf компактным}, или просто {\bf компактом},
если из каждого открытого покрытия $M$ можно выбрать конечное
подпокрытие. Подмножество $Z \subset M$ топологического пространства
$M$ называется компактным, если оно компактно в индуцированной топологии.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что отрезок $[0,1]$ компактен.
Когда компактно множество с дискретной топологией?
С кодискретной топологией? 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть в $M$ задана такая топология: 
открытые множества это дополнения к конечным подмножествам
(такая топология называется {\bf кофинитной}). 
Найдите все компактные подмножества в $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $Z$ компактно, a $Z' \subset Z$ замкнуто в $Z$.
Докажите, что $Z'$ тоже компактно. Следует ли из 
компактности подмножества его замкнутость?
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть топологическое пространство $M$ хаусдорфово, 
$Z$ -- произвольное подмножество
$M$, а $x\notin Z$ -- любая точка.
\begin{enumerate}
\итем  Докажите, что у $Z$
есть такое открытое покрытие $\{U_i\}$, что замыкание
каждого $U_i$ не содержит $x$. 

\итем[*] Приведите пример нехаусдорфова Т1-пространства, где
это не выполнено.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $M$ хаусдорфово.
Докажите, что любое компактное подмножество в $M$ замкнуто.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Даны два компактных подмножества хаусдорфова пространства.
Докажите, что у них есть непересекающиеся открытые окрестности.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Дано компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что для него выполняется условие отделимости Т4.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*]
Существует ли компактное, хаусдорфово, неметризуемое топологическое
пространство? 
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Топологическое пространство называется {\bf локально
компактным}, если у любой точки найдется окрестность,
замыкание которой компактно.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
Дано локально компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что в нем выполнено условие Т3.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
Существует ли локально компактное, хаусдорфово топологическое
пространство, в котором не выполнено первое условие счетности?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
Существует ли счетное, хаусдорфово топологическое
пространство, которое не локально компактно?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Дано хаусдорфово 
топологическое пространство $X$. Обозначим через $\widehat{X}$
множество $X \bigcup \{\infty\}$ ($X$, к которому добавили еще одну
точку, обозначенную как $\infty$) 
со следующей топологией: $U \subset \widehat{X}$
открыто либо если $\infty \in U$, а дополнение
к $U$ компактно как подмножество $X$, либо если $\infty
\not\in X$, и $U$ открыто как подмножество $X$. 
Докажите, что это действительно топология, и
пространство $\widehat{X}$ компактно.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Пространство $\widehat{X}$ называется {\bf одноточечной
    компактификацией} пространства $X$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
Всегда ли $\widehat{X}$ хаусдорфово?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть $X = \R^n$ с естественной топологией. Докажите, что
  $\widehat{X}$ гомеоморфно $n$-мерной сфере.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}
\label{_DISKR_Opredelenie_Zadacha_}
Дано топологическое пространство $M$, и подмножество
$Z$ в нем. Докажите, что следующие условия эквивалентны.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item У любой точки $z\in Z$ существует окрестность
$U\ni z$, не содержащая других точек из $Z$.

\item $M$ индуцирует на $Z$ дискретную топологию.

\item $Z$ не содержит своих предельных точек.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
Замкнутое подмножество $Z\subset M$, удовлетворяющее одному из условий
задачи \ref{_DISKR_Opredelenie_Zadacha_}, называется {\bf
дискретным}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Пусть у хаусдорфова топологического пространства $Z\subset
  M$ есть бесконечное дискретное подмножество. Докажите, что
$M$ некомпактно.
\end{zadacha}

Пусть дан набор $Z_i$ подмножеств множества $M$. Будем говорить, что
этот набор множеств {\bf монотонный},
если для любых $Z_i$, $Z_j$ из нашего набора $Z_i \subset Z_j$ или
$Z_j \subset Z_i$.

\begin{zadacha}\label{cap.1}
Докажите, что если топологическое пространство $M$ компактно, то 
любой монотонный набор непустых замкнутых
подможеств $Z_i \subset M$ имеет непустое пересечение $\cap_i Z_i$.
\end{zadacha}



\begin{zadacha}\label{diskr}
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство
со счетной базой.
Докажите, что $M$ компактно тогда и только тогда,
когда у $M$ нет бесконечных дискретных подмножеств.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Если $M$ содержит бесконечное
дискретное подмножество, из задачи \ref{cap.1}
следует, что $M$ некомпактно. Если, наоборот,
$M$ некомпактно, то у $M$ есть счетное покрытие
$S= \{U_i\}$, такое, что никакое конечное подмножество
$S$ не покрывает $M$. Заменив $U_i$ на объединение
всех $U_j, j\geq i$, можно считать, что
$U_1 \subset U_2\subset U_3 \subset ...$, причем
ни один из $U_i$ не содержит $M$. Взяв дополнения
получаем набор замкнутых подмножеств
$A_1\supset A_2\supset ...$, с нулевым
пересечением. Возьмите в каждом $A_i$
точку, докажите, что получится 
дискретное множество.
\end{ukazanie}


\begin{zadacha}[!]
Пусть $M$ -- хаусдорфово топологическое пространство со счетной
базой. Докажите, что $M$ компактно тогда и только тогда,
когда любая последовательность точек из $M$
имеет предельную точку.
\end{zadacha}

\замечание
Это свойство называется {\бф слабой секвенциальной
  компактностью}.
\еза

\задача[**] Существует ли слабо секвенциально компактное,
некомпактное хаусдорфово пространство?
\ез 

\begin{zadacha}[*]
Дано топологическое пространство $M$, не обязательно хаусдорфово.
\begin{enumerate}
\item Может ли компактное подмножество $M$ содержать бесконечное
дискретное подмножество?

\item Может ли существовать ли некомпактное подмножество $M$,
не содержащее бесконечных дискретных подмножеств?

\item\doublesttr{} Пусть $M$ хаусдорфово.
Существует ли некомпактное подмножество $M$,
не содержащее бесконечных дискретных 
подмножеств?

\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- непрерывное отображение
топологических пространств.
Докажите, что для любого компактного подмножества
$Z\subset M$, $f(Z)$ всегда компактно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть дано подмножество $Z\subset\R$.
\begin{enumerate}
\item Докажите, что $Z$ компактно тогда
и только тогда, когда оно замкнуто и ограничено
(ограничено - значит содержится в некотором 
отрезке $[a, b]$).

\item 
Докажите, что $Z$ компактно тогда и только
тогда, когда любое его подмножество имеет супремум
и инфимум в $Z$. 

\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $f:\; M \arrow \R$ --
непрерывное отображение топологических прос\-т\-р\-анств. 
Докажите, что $f$ достигает максимума и минимума
на любом компактном подмножестве $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано некомпактное 
хаусдорфово топологическое пространство
со счетной базой, которое удовлетворяет 
свойству отделимости Т4.
Постройте непрерывную функцию $f:\; M \arrow \R$,
которая не достигает максимума.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $\{x_i\}$ -- счетное дискретное подмножество 
$M$. Воспользовавшись свойством Т4, постройте
набор таких окрестностей $U_i\supset x_i$,
что замыкание $U_i$ не пересекается с 
замыканием $\bigcup_{j\neq i} U_j$.
Теперь примените лемму Урысона к замкнутым
множествам $\{x_i\}$, $M\backslash 
U_i$, и просуммируйте полученные функции Урысона 
$f_i$ с правильно подобранными коэффициентами.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- непрерывное отображение
топологических пространств, $M$ компактно,
а $N$ хаусдорфово. Докажите, что 
$f$ переводит замкнутые множества
в замкнутые.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть $f:\; M \arrow N$ -- непрерывное отображение
топологических пространств, $M$ компактно,
а $N$ хаусдорфово. Предположим, что $f$
взаимно однозначно. Докажите, что $f$ --
гомеоморфизм.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Придумайте такое непрерывное взаимно однозначное
отображение топологических пространств 
$f:\; M \arrow N$, что $M$
компактно, но $f$ -- не гомеоморфизм.
($N$ не хаусдорфово).
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Компакты и произведения}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Непрерывное отображение $f:X \to Y$ топологических пространств называется
{\bf собственным}, если для каждого компактного $K \subset Y$ прообраз
$f^{-1}(K) \subset X$ компактен.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
Пусть пространство $Y$ хаусдорфово и имеет счетную базу
  окрестностей в точке. Докажите, 
что любое собственное отображение $f:X \to Y$ переводит замкнутые 
подмножества $X$ в замкнутые подмножества $Y$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть есть замкнутое $Z \subset Y$, образ которого не замкнут. Выберите
последовательность точек $y_i \in f(Z)$, которая сходится к точке
$y \in Y$, не лежащей в $f(Z)$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[**]
Верно ли утверждение предыдущей задачи без предположения счетной базы?
\end{zadacha}


\NewVedomost


\begin{zadacha}[!]
Пусть $X$, $Y$ -- компактные топологические пространства. Докажите,
что произведение $X \times Y$ компактно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользовавшись тем, что множества вида $U \times V$, $U$ 
открыто в $X$, $V$ открыто в $Y$ задают базу топологии на 
$X \times Y$, докажите сначала, что достаточно рассматривать 
покрытия $X \times Y$ множествами такого вида. Затем для каждой 
точки $y \in Y$ выберите конечное подпокрытие подмножества
$X \times \{y\} \subset X \times Y$, состоящее из каких-то
множеств $U_i \times V_i$, и заметьте, что множества 
$V_y = \cap V_i$ образуют открытое покрытие
пространства $Y$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Дано подмножество $X\subset \R^n$. Докажите, что 
следующие свойства равносильны
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $X$ компактно

\item $X$ замкнуто и ограниченно (т.е. содержится
в каком-то шаре).
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\определение
Непрерывное отображение $f:\; X\arrow Y$
называется {\бф открытым}, если образ любого
открытого множества открыт.
\ео

\задача[*]
Пусть $f:\; X \arrow Y$ -- открытое отображение,
а слои $f^{-1}(y), y\in Y$ компактны. Всегда ли $f$
собственное?
\ез

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Теорема Тихонова}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}
Пусть дана последовательность $a_i(n)$ отображений из $\N$
в $[0,1]$. Докажите, что можно выбрать
такую подпоследовательность $a_{i_1}, a_{i_2}, a_{i_3}, \dots$, 
что $\{a_{i_k}(n)\}$ сходится для любого $n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Выведите из этого, что тихоновский куб $[0,1]^\N$
компактен.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Дано топологическое пространство $M$.
Пусть задано такое (возможно, несчетное) множество $\{ V_{\alpha}\}$
покрытий $M$,
что каждое $V_{\alpha}$ 
содержит $V_{\alpha'}$ либо содержится в нем
(иначе говоря, $\{ V_{\alpha}\}$ -- набор
покрытий, получающихся друг из друга присоединением
каких-то элементов). Пусть из каждого $V_{\alpha}$ 
нельзя выбрать конечное подпокрытие.
Докажите, что из объединения всех
$V_{\alpha}$ тоже нельзя выбрать 
конечное подпокрытие.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] 
Используя лемму Цорна,
докажите, что у всякого некомпактного подмножества
$X\subset M$ найдется покрытие $\{ V_{\alpha}\}$, 
из которого нельзя выбрать конечного подпокрытия,
а если добавить к $\{ V_{\alpha}\}$ любое не содержащееся
в нем открытое множество, то из полученного покрытия
можно будет выбрать конечное подпокрытие.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

Мы будем называть такие покрытия {\bf максимальными}.

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано максимальное покрытие 
$\{V_{\alpha}\}$ некомпактного топологического
  пространства $M$. Докажите, что если
  открытые множества $U_1$, $U_2$ не лежат в 
$\{V_{\alpha}\}$, и их пересечение непусто, то оно
  тоже не лежит в $\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что
  любое непустое конечное пересечение
  открытых множеств, не лежащих в 
$\{V_{\alpha}\}$, тоже не принадлежит $\{ V_{\alpha}\}$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть в топологическом пространстве $M$ задана
предбаза топологии $R$. Пусть дано некомпактное подмножество
$X\subset M$ и максимальное покрытие
$\{ V_{\alpha}\}$. Докажите, что в 
$\{ V_{\alpha}\}$ можно выбрать 
подпокрытие из $R$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
Мы получили следующую теорему
(теорема Александера о предбазе).
Пусть в топологическом пространстве $M$ задана
предбаза топологии $S$. Тогда подмножество
$X\subset M$ компактно тогда и только тогда,
когда из любого покрытия $X$ элементами из
$S$ можно выбрать конечное подпокрытие.
Теорема Александера использует аксиому выбора
и (как показал Кэли) эквивалентна ей.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
Выведите из этого, что
тихоновский куб $[0,1]^I$
компактен для любого множества $I$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Рассмотрите предбазу для топологии на 
тихоновском кубе, составленную из 
подмножеств вида 
$[0,1]\times [0,1]\times \dots \times ]a,b[ \times [0,1]\times \dots$
(на одном месте стоит открытый интервал).
Воспользуйтесь теоремой Александера.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
Компактность тихоновского куба эквивалентна такому
утверждению. Рассмотрим пространство $\Map(I, [0,1])$  отображений
из множества $I$ в отрезок $[0,1]$, с топологией
поточечной сходимости. Тогда  $\Map(I, [0,1])$ компактно.
В частности, из любой последовательности $\{a_{i}(x)\}$
отображений можно выбрать такую подпоследовательность $\{a_{i_k}(x)\}$, 
что $\{a_{i_k}(x)\}$ сходится в любом $x\in I$.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
Пусть $M$ -- топологическое пространство,
$I$ -- некоторое множество, а $M^I$ -- пространство
отображений из $I$ в $M$, то есть произведение $I$ копий
$M$. Для $x\in I$ и открытого множества
$U\subset M$ рассмотрим подмножество
$U(x)\subset M^I$, состоящее из всех
отображений, переводящих $x$ в $U$.  
Определим на $M^I$ топологию с предбазой,
состоящей из всех $U(x)$. Такая топология
называется {\bf тихоновской} (также {\bf слабой}
или {\bf топологией поточечной сходимости}).
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $M$ компактно. Выведите из
теоремы Александера, что $M^I$ с 
тихоновской топологией компактно.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Основная теорема алгебры}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $P(x)= x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dots + a_0 $ --
полином 
положительной степени с комплексными коэффициентами. 
Мы рассматриваем $P$ как функцию из
$\C$ в $\C$. Как топологическое пространство, $\C$
отождествляется с $\R^2$. Мы хотим доказать, что
$P(x)=0$, для какого-то $x\in \C$.

\begin{zadacha}
Докажите, что $P$ непрерывен.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что есть $C$ такое, что для всех $|x| > C$, имеем
$\frac{|P(x)-x^n|}{|x^n|} <1/2$. 
\end{zadacha}

\указание
Возьмите $|x|> 2\max \left(1, \sum |a_i|\right)$.
\еу

\begin{zadacha}
Докажите, что есть $C$ такое, что для всех $|x| > C$
то $|P(x)| > R^n$.
\end{zadacha}

\указание
Возьмите
$|x|> 2R \max \left(1, \sum |a_i|\right)$,
\еу

\begin{zadacha}
Выведите из этого, что $|P|$ достигает 
локального минимума в точке $a\in \C$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Мы приблизили многочлен $|P|$ многочленом $x^n$,
скорость роста которого нам известна.
Из этого мы вывели, что $|P(x)|>  R^n$,
когда $|x|$ достаточно велик.
Поэтому минимум $|P|$ на круге $|x|\leq R$
достигается внутри круга, а не на
его границе.
\end{ukazanie}

Для упрощения обозначений, мы будем в дальнейшем
предполагать, что минимум $|P|$ достигается в нуле.
Мы хотим доказать,
  что минимум $|P|$ равен нулю. Пусть это не
  так. Пусть $k$ -- самое маленькое число
  среди $1, 2, 3, \dots, n$, для которого $a_k\neq 0$.
  Домножив $P$ на $a_0^{-1}$, и сделав замену
  $x=z\sqrt[k]{a_k^{-1}}$, мы получим многочлен вида
 \[ Q(z) = 1 + z^k + b_{k+1} z^{k+1} + b_{k+2} z^{k+2} + \dots \]

\begin{zadacha}
       Докажите, что для любого
       комплексного $z$, такого, что $|z|< 1$, выполняется
       \[
       |Q(z)-1 - z^k| < |z^{k+1}|(\sum |b_i|).
       \]
       \end{zadacha}

       \begin{zadacha}
       Докажите, что существует $\epsilon >0$ такой, что для любого
$z\in \C$, $|z|<\epsilon$, имеем
       \[
       \frac{|Q(z)-1 - z^k| }{|z^{k}|}<\frac 1 2.
       \]
       \end{zadacha}

\указание
Возьмите 
$|z|< \frac 1 2 \max \left(1, \sum |b_i|\right)^{-1}$
\еу

       \begin{zadacha}
       Выведите из этого, что для любого положительного
       вещественного $c< \epsilon$ 
       и любого комплексного $z$, для которого $z^k=-c$, выполняется
       \[
       \left|Q(z)-1 +c\right|< c/2.
       \]
       \end{zadacha}

  \begin{zamechanie} В окрестности нуля, мы
  приблизили $Q$ многочленом $1+ z^k$. Пользуясь этим приближением,
мы находим, что
  $|Q(\sqrt[k]{-\epsilon})|<|Q(0)|(1-\frac 1 2 \epsilon)$ для
  достаточно малых $\epsilon$. Следовательно, локальный минимум
многочлена это всегда 0.
\end{zamechanie}

       \begin{zadacha}[!]
       Докажите Основную Теорему Алгебры:
       каждый многочлен $P$ положительной степени имеет
       корень в $\C$.
       \end{zadacha}

\end{document}
