\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\input{listki.tex}

\newcommand{\version}{version 1.2,\ \   18.04.2008}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{7}{ЛИСТОК ТОПОЛОГИЯ 7: Связность}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Пусть дано топологическое пространство $M$.
Подмножество $W\subset M$ называется {\bf открытозамкнутым},
если оно открыто и замкнуто. $M$ называется {\bf связным},
если любое открытозамкнутое подмножество $M$
это либо $\emptyset$, либо само $M$.
Подмножество $Z\subset M$ называется
{\bf связным}, если оно связно в индуцированной
топологии.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Связно ли $\R$?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Пусть $X$, $Y$ связные. Докажите, что $X\times Y$ связно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть в $X\times Y$ есть открытозамкнутое подмножество.
Рассмотрим пересечение $U\cap X\times \{y\}$. Докажите, что
$X\times \{y\}$ (с индуцированной топологией) гомеоморфно
$X$, а $U\cap X\times \{y\}$ открытозамкнуто там.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
Связно ли $\R^n$ (с естественной топологией)?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Пусть в топологическом пространстве
$M$ любые две точки $x, y$ можно ``соединить путем'',
то есть найти такое непрерывное отображение
$[0,1] \stackrel \phi \arrow M$, что
$\phi(0)=x$, $\phi(1)=y$. Докажите, что
$M$ связно.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} В такой ситуации $M$ называется
{\bf линейно связным}. \end{zamechanie}

\begin{zadacha}
Выкинем точку из окружности или плоскости.
Докажите, что получится связное пространство.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
\begin{enumerate} \итем Выкинем конечное число точек из $\R^2$.
Докажите, что получится связное пространство.

\итем Выкинем точку из интервала. 
Докажите, что получится несвязное пространство.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что следующие пространства попарно
негомеоморфны: $\R$, $\R^2$, окружность.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Докажите, что
отрезок, интервал и полуинтервал попарно негомеоморфны.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Дано непрерывное отображение
$f:\; X \arrow Y$. Пусть $X$ связно.
Докажите, что образ $f$ связен.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Дано связное подмножество в отрезке $[0,1]$.
Докажите, что это интервал, полуинтервал или отрезок.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Дано непрерывное отображение
$f:\; X \arrow \R$. Пусть $X$ связно,
а $f$ принимает и положительные, и отрицательные
значения. Докажите, что $f$ где-то зануляется.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано метризуемое
счетное связное пространство $M$. Докажите,
что $M$ это точка.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} Пусть даны связные 
подмножества топологического пространства $M$, 
пересечение которых непусто.
Докажите, что их объединение связно.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[!]
Пусть $x\in M$ -- точка в топологическом пространстве,
а $W$ -- объединение всех связных подмножеств, которые
ее содержат. Докажите, что $W$ связно.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
В такой ситуации, $W$ называется {\bf компонентой
связности} точки $x$ (или просто {\bf компонентой связности}).
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что связное подмножество $W\subset M$ есть компонента
связности тогда и только тогда, когда любое связное
подмножество, содержащее $W$, с ним совпадает.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что $M$ разбивается в объединение
непересекающихся компонент связности.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
Докажите, что все компоненты связности $M$ замкнуты.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{Вполне несвязные пространства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
Топологическое пространство $M$ называется {\bf вполне несвязным},
если любая компонента связности $M$ состоит из одной точки.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
Докажите, что множество рациональных чисел
(с топологией, индуцированной с $\R$) вполне несвязно.
Докажите, что оно не дискретно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что пространство $p$-адических чисел
вполне несвязно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Докажите, что произведение вполне несвязных
пространств вполне несвязно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть дано хаусдорфово топологическое пространство с предбазой $S$.
Пусть все элементы $S$ открытозамкнуты. Докажите, что
$S$ вполне несвязно.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
Рассмотрим множество $\{0, 1\}$
с дискретной топологией, и пусть $\{0, 1\}^I$ --
произведение $I$ копий $\{0, 1\}$ с тихоновской
топологией, где $I$ -- произвольный набор индексов.
Докажите, что $\{0, 1\}^I$ вполне несвязно.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Воспользуйтесь предыдущей задачей.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано компактное, хаусдорфово
топологическое пространство $M$,  пусть $М_1$ --
множество компонент связности $M$, а
$M\overset{\pi}{\arrow} M_1$ -- естественная проекция (точка
переходит в свою компоненту связности).
Введем на $М_1$ такую топологию --
подмножество $U\subset M_1$ открыто, если $\pi^{-1}(U) \subset M$
открыто.
Докажите, что $M_1$ вполне несвязно.
Докажите, что любое непрерывное отображение
$M\overset{\pi_2}{\arrow} M_2$
из $M$ во вполне несвязное пространство $M_2$
раскладывается в композицию непрерывных отображений
$M\overset{\pi}{\arrow} M_1 \arrow  M_2$
(в таком случае говорится, что
``отображение $\pi_2$ пропускается через $\pi$'').
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
Пусть дано открытое подмножество компактного 
пространства $U$ и набор замкнутых
подмножеств $\{K_i\}$, пересечение которых содержится в $U$.
Докажите, что из $\{K_i\}$ можно выбрать конечный
поднабор, пересечение элементов которого содержится в $U$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] Пусть дано
вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$.
Докажите, что каждая точка $x\in M$ является пересечением
всех открытозамкнутых подмножеств $M$, которые
ее содержат.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
Пусть $P$ -- пересечение всех открытозамкнутых подмножеств
$M$, которые содержат $x$. Очевидно, что оно
замкнуто. Докажите, что оно равно $\{x\}$ либо несвязно.
Если оно несвязно, $P$
распадается в объединение двух непустых непересекающихся замкнутых
подмножеств $P_1$, $P_2$. Воспользовавшись тем,
что в компактном хаусдорфовом пространстве выполняется Т4
(докажите это), найдем у $P_1$, $P_2$ непересекающиеся
открытые окрестности $U_1$, $U_2$.
Выведите из предыдущей задачи, что в $U_1 \cup U_2$
содержится открытозамкнутое подмножество $W\subset M$,
содержащее $x$.
Докажите, что $W\cap U_i$ открытозамкнуты, и 
выведите из этого, что $P$ это $\{x\}$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$. Докажите, что
открытозамкнутые множества образуют 
базу топологии $M$.
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
Пусть дано открытое подмножество $U\subset M$ и в нем
точка $x$. Возьмем у каждой точки $M\backslash U$
открытозамкную окрестность, не содержащую $x$
(докажите, что это можно сделать).
Мы получим покрытие $\{U_\alpha\}$ 
множества $M\backslash U$.
Поскольку  $M\backslash U$ компактно, 
из $\{U_\alpha\}$ можно выбрать конечное
подпокрытие $U_1, ... U_n$. Докажите, что
дополнение к $\cup U_i$ открытозамкнуто,
содержит $x$ и содержится в $U$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$, и пусть $x, y \in M$ -- две различные
точки. Докажите, что $M$ допускает непрерывное отображение
в $\{0, 1\}$ (с дискретной топологией) такое, чтo
$x$ переходит в $0$, а $y$ -- в $1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть дано вполне несвязное компактное хаусдорфово
топологическое пространство $M$, и пусть $I$ -- множество
всех непрерывных отображений $M$ в $\{0, 1\}$.
Определите естественное отображение
$M \arrow \{0, 1\}^I$. Докажите, что
это непрерывное вложение, и что образ $M$ замкнут.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
Пусть $M$ - компактное хаусдорфово топологическое пространство.
Докажите, что следующие утверждения равносильны
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $M$ вполне несвязно 

\item $М$ может быть вложено в $\{0, 1\}^I$
для какого-то множества индексов $I$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
Напомним, что если компакт $M$ допускает непрерывное инъективное отображение 
$f:M \to X$ в хаусдорфово пространство $X$, то $f$ есть гомеоморфизм
между $M$ и $f(M) \subset X$ с индуцированной топологией.
\end{zamechanie}

\end{document}
