\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,epsfig,russcorr}

\input{listki.tex}


\newcommand{\version}{version 1.1,\ \   18.04.2008}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{8}{��������� 8: ��������������� ������ � ������������ ������}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{�������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������. 
��������, ��� {\bf �����} � $M$ ����������
����������� ����������� $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
� ���� ������ ���������, ��� ���� 
$\phi$ {\bf ��������� ����� $\phi(a)$ � $\phi(b)$}.
$M$ ���������� {\bf ������� �������}, ���� �����
��� ����� $M$ ����� ��������� ����� $[a, b] \stackrel \phi \arrow M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $a$, $b$, $c$ ����� � $M$, ������ 
$a$ ����� ��������� ����� � $b$, � $b$ � $c$.
��������, ��� $a$ ����� ��������� ����� � $c$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
�������� �� �����, ��� ����������� 
������� ������� ����������� $M$, ���������� 
��������� ����� $x\in M$, ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����������� ���� ������� �������
�����������, ���������� �����-�� ������������� ����� $x$, ���������� 
{\bf ����������� �������� ���������} $M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
���������� ��������� ������������ $X\subset \R^2$:
������ ������� $\sin(1/t)$, ������������ � ��������
$[(0,1), (0,-1)]$. ��������, ��� $X$ ��������
���������, ������, � �� ������� ������.
������� ���������� �������� ���������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
������� ���������� � ������� �����������
�������������� ������������, �������
����������� ���������� ��������� �������� ���������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $\{M_\alpha\}$ -- ����� �������������� �����������,
��������������� ���������� ${\mathfrak A}$.
��������� ����������� $\coprod_{\alpha \in \mathfrak A} M_\alpha$ --
��� �������������� ������������, ������� �������� �������� ���� 
$(\alpha,m) \ \ | \ \  \alpha\in {\mathfrak A}, m\in M_\alpha$,
� ���� ��������� �������� ��������� ����������� �� ���� 
$M_\alpha$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ��������� ����������� ������������  �����������
���������. ��������, ��� ������������ ��������
$\coprod_{\alpha \in \mathfrak A} M_\alpha \arrow {\mathfrak A}$
�� ${\mathfrak A}$ � ���������� ���������� ����������.
\end{zadacha}


\begin{opredelenie}
�������������� ������������ $M$
���������� �������� ������� 
(�������� ������� �������), ���� ������ 
����� $x\in M$ ���������� � �������
(������� �������) �������� ���������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
����� ���� �������������� ������������ $M$.
��������, ��� $M$ �������� ������ (�������� ������� ������)
����� � ������ �����, ����� $M$ �������������� � ����
���������� ����������� ����� ��������� ��������� (�������� ���������).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������� ������������ ������� ������
����� � ������ �����, ����� ��� �������� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� ���� �������� ������������ � $\R^n$. ��������, ��� ���
�������� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
����� $\omega$ -- ������ ������������� �������,
� $\phi:\; [0,1] \arrow \omega$ -- ��������������� �������.
����� $X \subset [0,1]\times [0,1]$ --
������������ ��������, ��������� �� ����
$x,y$ �����, ��� $\phi(x) > \phi(y)$.
��������, ��� $X$ ������. ��������, ���
������� ������� ���������� $X$ -- ����
�����, ���� �������� �������������� 
��������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������, ��� ����������� $X$ � �����
������������ �������� ����� �� ������. 
����� $V\subset [0,1]\times [0,1]$ -- �������
��������� ������������ ��������, ������������ 
� $X$. ��������, ��� $V$ ������������ � ������ ������������ 
�������� �� ����� ��� � ����� �����. 
������, $V$ ��� ������ ������������ �����������
$\gamma:\; [a,b] \arrow [0,1]$,
������, ��� $\phi(\gamma(a))< \phi(a)$.
��������, ��� ����� ����������� ���������.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������������� ���������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ������ �������� ����������
����������� ������������. ��������, ��� 
{\bf �������������} � $M$ ����������
����������� $[a, b] \arrow M$, �������
��������� �������. �������, ��� $M$ {\bf ������������
������}, ���� ����� ��� ����� ����� ���������
�������������. �����������, ������������
������� ������������ ������� ������.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ������ �������� ����������
����������� ������������. �������, ��� $M$
{\bf ��������� ������}, � ���������� ������� $C\geq 1$,
���� ��� ����� $x, y \in M$ � ������ $\epsilon >0$
�������� ����� ������������������ ����� $x_1=x, x_2,\dots, x_n=y$, ��� 
$d(x_i, x_{i+1})< \epsilon$, � 
$\sum_i d(x_i, x_{i+1}) \leq C d(x,y)$.
����� ������, �� ����� ���������� $n$ �����
����� $x$ � $y$ ����� �������, ��� ��� �������
���� �� ����� �� ������, ��� �� $\epsilon$,
� ����� �������, ������������ �� ���� 
�����, �� ������ $C d(x,y)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ����������� ������������
$M$ ������������ ������ $\Leftrightarrow$ 
$M$ ��������� ������, � ���������� ������� 1.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��� ������� �����-������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $(M, d)$ -- ��������� ������� ����������� ������������,
� ���������� $C$. ��������� ������� $d_h:\; M\times M \arrow \R$ ���
\[
\lim\limits_{\epsilon\arrow 0} \inf\left(\sum d(x_i, x_{i+1})\right),
\]
��� $\inf$ ������� �� ���� ����� ������������������� 
$x_1=x, x_2, \dots, x_n=y$, ��� $d(x_i, x_{i+1})< \epsilon$.
��������, ���
$d(x, y) \leq d_h(x,y) \leq Cd(x,y)$
��� ����� $x, y \in M$. ��������,
��� $d_h$ -- �������, � ��� $(M, d)$ �����������
$(M, d_h)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� 
$(�, d_h)$ ��������� �������, � ����� ����������
$C>1$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� $(�, d_h)$
������������� ������� �����-������ (� �������������,
������������ ������).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��������, ��� ����������� $[a,b]\stackrel\phi\arrow M$ 
{\bf ������������� ������� �������, � ���������� $C>0$},
���� $d(\phi(x),\phi(y)) \leq C|x-y|$, ��� �����
$x, y\in [a,b]$. ����� ������, ��� ��������� 
����������� ����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
����� $M$ -- �������� ���������� ������ ����������� ������������.
��������, ��� $M$ ��������� ������� � ���������� $C$,
����� � ������ �����,  ����� ����� ��� ����� ����� 
��������� �����, ������� ������������� ������� �������
� ��� �� ����� ����������. 
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
�������������� ���������� ������� � ������������
$d(x, y) \leq d_h(x,y) \leq Cd(x,y)$.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie}
�� ��������, ��� ��������� ������� �����������
������������ ������� ������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}  
���������� ���������� $S$ �� ���������, 
� �������������� ��������. ��������, ���
$S$ ��������� ������, � ���������� $\frac \pi 2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� $\frac \pi 2$ -- ���������� ��
��������, ��� ������� ���������� � ����� �������� 
��������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
���������� ����������� $]0, \infty[ \arrow \R^2$,
�������� � �������� ����������� ��������
$\theta = 1/x$, $r=x$ (��� �������,
������� ������������ ������ ����, � ����� $\frac 1 {2\pi n}$).
����� $X$ -- ��������� ������� ����� �����������
(���, ��������, ������� �� ����� ������� � ����).
��������, ��� $X$ ������� ������. ��������, ���
$X$ �� ��������� ������, ����� �� ��������� $C$ �� �� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $M$ -- �������� ���������� ������ ����������� ������������.
��������� ����� $S_\epsilon(x)$ ����� ������� $\epsilon$ � ������� � $x$.
��������, ��� ��������� ������� �����������.
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item $M$ ��������� �������, � ���������� $C$

\item ��� ����� $x, y \in M$ � ����� $r_1, r_2 >0$, ��� ������� $r_1 + r_2 \leq 1$,
���������� ����� ������� $S_{dr_1}(x)$, $S_{dr_2}(y)$
�� ������ $C d (1 - r_1 - r_2)$, ��� $d= d(x,y)$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}


\begin{ukazanie}
����� ������� �� ���������� ��������� 
(ii), ��������� ����� $x, y$ ������ �������. 
�� (ii) ��������� ��������� ������� ���������������.
���������� �� ����� $x$ �� ����� $S_{d(1-C^{-1}\epsilon)}(y)$
�� ������ $\epsilon$; ������� � �������� $x_2$
����� �����, ����������� ��� ���������� (���
��������, ��������� �����, �� ������� �����-������, 
���������) � �������� ��������.
\end{ukazanie}

\begin{zamechanie} 
��������, ��� ������� �����-������ 
(� ����� �� ������) ������� � ���, ���
���������� ����� ������� $S_{dr_1}(x)$, $S_{dr_2}(y)$
����� $d(1 - r_1 - r_2)$.  
\end{zamechanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������������ ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $(M, x)$ -- �������������� ������������ � ����������
������. ���������� ��������� $\Omega(M, x)$ �����
$[0, 1] \stackrel \phi \arrow M$, $\phi(0) = \phi(1) = x$,
� �������-���������� ���������� (�������� ���� ��������� -
��������� $U(K, W)$ �����������, �����������
�������� ������� $K\subset [0,1]$ � ��������
�������� ��������� $W\subset M$). 
����� $\Omega(M, x)$ ���������� 
{\bf ������������� ������} ��� $(M,x)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ ����������. ��������, ��� 
$\Omega(M, x)$ ���� ����������, � �������
�������� �� ������� 
\[ d(\gamma, \gamma') = \sup_{x\in[0,1]}d(\gamma(x),
\gamma'(x)).
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $(M, x)$ -- ������������ � ���������� ������,
$M_0$ -- ���������� ��������� ���������� ����� $x$, � $M_1$ -- ����������
�������� ��������� $x$. ��������, ���
$\Omega(M, x)=\Omega(M_0, x)=\Omega(M_1, x)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $X, Y$ -- ��������, � $\cal W$  - ������������
����������� �� $X$ � $M$, ���������� �������-���������� ����������.
��������� ������� ����� ������������ �������������
�� $Y$ � $\cal W$ � ������������ �������������
$X \times Y \arrow M$.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[!]
����� $\gamma, \gamma'\in \Omega(M,x)$ -- ����� �
������������ ������. ��������� ������� ����� ����������
�����������:
\begin{enumerate}
\renewcommand{\labelenumi}{(\roman{enumi})}
\item ���� $\Gamma:\; [0, 1] \arrow \Omega(M,x)$,
����������� $\gamma$ � $\gamma'$.

\item ����������� ����������� $\Psi$ �� ��������
$[0,1]\times [0,1]$ � $M$, ����������� $\{1\}\times [0,1]$
� $x$, � �����, ��� 
$\Psi\restrict{[0,1]\times \{0\}} = \gamma$,
$\Psi\restrict{[0,1]\times \{1\}} = \gamma'$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
���� $\gamma, \gamma'\in \Omega(M,x)$, ���
������� ����� ����������� 
$\Psi:\; [0,1]\times [0,1]\arrow M$ ����������,
���������� {\bf �����������}, � $\Psi$ -- ����������� �� 
{\bf ����������}.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ��������� ���� ������, ����������
$\gamma\in \Omega(M,x)$ -- ��� ���������� ��������
��������� $\gamma\in \Omega(M,x)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ��������� ������ �������� ����������
���������������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie} 
���������� ����� ����� �������� {\bf �������������
��������������}.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
����� $(M, x)$ ������� ������. ��������� ������� 
�������������� ��\-��\-��\-����\-����� ������ ������������
����� $\pi_1(M, x)$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
����� $M\subset \R^2$ -- ����������� ������� 
$[(0,1), (0,-1)]$ � ��������� ����������� ��������
$3, 4, 5, \dots$, ����������� $(0,1)$ � $(0,-1)$.
\begin{center}
\epsfig{file=geom10b.eps,width=0.5\linewidth}
\end{center}
��������, ��� $M$ ������� ������. ��������, ��� ��� ������ $x\in M$
$\Omega(M,x)$ �� �������� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*] \label{_edi_geode_Zadacha_}
����� $(M,d)$ -- ����� ������������ ������� 
�������� ���������� ����������� ������������,
��� ��� ���������� $\delta >0$ � �����
����� $x, y\in M$, $d(x,y)<\delta$, 
�������������, ����������� $x$ � $y$, �����������.
����� $\Delta_\delta\subset M\times M$ --
��������� ��� $x, y\in M$, $d(x,y)<\delta$.
���������� ����������� $\Delta_\delta\arrow M$,
�������� ���� ����� �������� �����������
�� �������������. ��������, ��� ��� ����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� $\{(x_i, y_i)\}$ -- ������������������ �����
���, ���������� � $(x,y)$, � 
$\{z_i\}$ -- ������������������ ������� �������������.
� ���� ��������� ������������, � $\{z_i\}$
���� ���������� ����� � ��� ����������� 
���������� �����������. ����� ���������� ����� 
$\{z_i\}$ ����� ��������� �������������,
����������� $x$ � $y$. �������������, � 
$\{z_i\}$ ���� ������������ ���������� �����.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
���������� ����������� 
$\Delta_\delta\otimes [0,1] \stackrel \Psi \arrow M$, 
�������� ���� ����� $x, y\in M$, $d(x,y)=d$, 
� $t\in [0,1]$ � ������������ �����
$\gamma_{x,y}\left(\frac t d\right)$,
��� $\gamma_{x,y}$ -- �������������,
����������� $x$ � $y$ (���� ��� ����� 
���������, ������� $\Psi(x,y,t)=x$).
��������, ��� ��� ����������� ����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� ������� � ������������
������������� ��� ������� ������� ��������,
������� ����������� � ��������������
������� �����-������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ����������� ������������.
���� $\gamma:\; [0,1] \arrow M$ 
���������� {\bf �������-�������������},
���� ������� $[0,1]$ ������ �� ����������
$[0, a_1]$, $[a_1, a_2]$, $\ldots$, $[a_n, 1]$,
� �� ������ �� ���� �������� $\gamma$
������������� $d (\gamma(x), \gamma(y)) = \lambda_i|x-y|$,
��� �����-�� ��������� $\lambda_i$

����� ������, ������� ������������� ���� ������������
����� �������, ������ ������� ������� --
������������� (� ��������� �� �������� ������ ����������).
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie}
���� $M$ -- �������� ������������ � $\R^n$,
� ������������ ��������, �� �������������,
��� ���� �������� � ������ 4, ��� ������� ������.
����� �������, ������� �������������
���� -- ��� �������. ����� ����������� �����
���������� {\bf �������-���������}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ������ \ref{_edi_geode_Zadacha_},
���������� $\Omega(M,x)$ ��� �����������
������������ (� $\sup$-��������). 
��������, ��� ����� ����� $\gamma\in\Omega(M,x)$
��������� ������� �������������, ������ 
��������� ����� ������� � ����� $\epsilon$-�����������
$B_\epsilon(\gamma)\subset \Omega(M,x)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
�������� �� �����, ��� $\Omega(M,x)$
�������� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
� ����� ��������, $\pi_1(M, x)$ -- ���������
������� ��������� $\Omega(M, x)$.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
����� $M$ -- �������� ������������ � $\R^n$.
��������, ��� $\Omega(M, x)$ �������� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������, ��� ����� ����� ����� ����������������� (� 
����������� ����� $\epsilon$-�����������) � �������
��������.
\end{ukazanie}

\NewVedomost


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{��������������� ������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}\label{_proizvede_Zadacha_}
����� ���� ����� $\gamma_1, \gamma_2 \in \Omega(M, x)$.
���������� ����� $\gamma_1 \gamma_2\in \Omega(M, x)$, 
������� �������� ��������� �������:
\[
\gamma_1 \gamma_2(\lambda) = 
\begin{cases}
\gamma_1(2\lambda) &\qquad \lambda\in [0, 1/2],\\
\gamma_2(2\lambda-1) &\qquad \lambda\in [1/2,1].
\end{cases}
\]
��������, ��� ����� ��������� $\gamma_1\gamma_2$ �������
������ �� ������� ��������� $\gamma_1$, $\gamma_2$: ���� 
$\gamma_1\sim\gamma_1'$, $\gamma_2\sim\gamma_2'$,
�� $\gamma_1\gamma_1'\sim \gamma_2\gamma_2'$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� $(\gamma_1\gamma_2)\gamma_3$ ���������
$\gamma_1 (\gamma_2\gamma_3)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� ���� ����� $\gamma \in \Omega(M, x)$.
��������� ����� $\gamma^{-1}$ ����� $\gamma^{-1}(x) = \gamma(1-x)$.
��������, ��� ����� $\gamma \gamma^{-1}$ � $\gamma^{-1} \gamma$
��������� ����������� ����� $[0,1]\arrow x$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�����, ������� ��������� ����������� �����, ����������
{\bf ����������� ����}.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� �������� $\gamma_1, \gamma_2\arrow \gamma_1\gamma_2$
������ �� $\pi_1(M, x)$ ��������� ������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
��� ������ ���������� {\bf ��������������� �������} $M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $X\stackrel f \arrow Y$ -- ����������� �����������
������� ������� �����������,
� $x\in X$ -- ������������ �����. 
���������� ��������������� �����������
$$
\Omega(X, x) \overset{\check{f}}{\arrow} \Omega(Y, f(y)),
\qquad \gamma \mapsto \gamma\circ f.
$$
��������, ��� $\check f$ ���������
���������� ���� � ����������,
� ���������� ����������� ��������������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- ������� ������� 
�������������� ������������, � $x, y \in M$ -- ��� �����.
���������� ������������ $\Omega(M, x, y)$
����� $[0,1]\arrow M$, �����������
$x$ � $y$, � �������-���������� ����������.
��� � ����, ���� ���������� �����������
(������������� ��������������)
���� ��� ����� � ����� ���������� ��������
��������� $\Omega(M, x, y)$.
��������� ��������
$\Omega(M, x, y) \times \Omega(M, y, z)\arrow \Omega(M,x, z)$,
$\gamma_1, \gamma_2 \mapsto \gamma_1\gamma_2$
��� �� ��������, ������� ���������� � ������
\ref{_proizvede_Zadacha_}. ��������, ���
��� ����������� ����������, � ���������
���������� ���� � ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $x, y \in M$, � $\gamma_{xy}[0,1] \arrow M$ --
����, ����������� $x$ � $y$. ���������
$\gamma_{xy}^{-1}$ �������� 
$\gamma_{xy}^{-1}(\lambda) = \gamma_{xy}(1-\lambda).$
���������� ����������� $\Omega(M,x) \arrow \Omega(M, y)$, 
$\gamma \mapsto \gamma_{xy}^{-1}\gamma \gamma_{xy}$
� $\Omega(M,y) \arrow \Omega(M, x)$, 
$\gamma \mapsto \gamma_{xy}\gamma \gamma_{xy}^{-1}$.
��������, ��� ��� ����������� ��������� ���������� ����
� ����������. ����� $f$, $g$ -- ���������������
����������� �� ��������������� �������.
��������, ��� $f$ � $g$ ������� �������, 
� ���������� ���������� ����� 
$\pi_1(M, x)\stackrel{\phi_{\gamma_{xy}}}\arrow \pi_1(M, y)$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� ����� �� ��������� ������, ���� $\pi_1(M)$ �� �������, ��
���������� ���������� $\pi_1(M, x)\cong \pi_1(M, y)$
������������ ������� �� ������ ���� $\gamma_{xy}$.
��� �� �����, ����� ����������� �� ����������
����� �� �����, ��������������� ������ $M$ ����������
������ $\pi_1(M)$. ��� ����������� �� ������
���������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
� �������� ���������� ������,
����� $x=y$, � $\gamma_{xx}$ -- ��������� ����. 
��������, ��� ���������� ���� 
���������� $\pi_1(M, x)\stackrel{\phi_{\gamma_{xx}}}\arrow \pi_1(M, x)$
���������� ����� $\gamma_{xx}$ ���:
$\gamma \arrow \gamma_{xx} \gamma \gamma_{xx}^{-1}$.
\end{zadacha}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{����������� ������������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ������� ������� ��������������
������������. �������, ��� $M$ {\bf ����������},
���� ��� ����� �� $M$ ����������, �.�. 
���� $\pi_1(M) = \{1\}$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} ��������, ��� $\R^n$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $(M, x)$ -- �������������� ������������ � ���������� ������,
� $M \times [0,1] \stackrel \phi\arrow M$ -- ����� ����������� �����������, 
��� $\phi(M\times \{1\}) = \{x\}$,
� $\phi \restrict{M\times \{0\}}$
������ ������������� �����������
�� $M= M\times \{0\}$ � $M$. ����� $(M,x)$
���������� {\bf �����������}.
� ����� ��������, ���������, ���
$\phi$ {\bf ������ ��������� ����� �������������
������������ � ��������� $M\arrow \{x\}$.}
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $(M, x)$ ������� ������ � ����������.
��������, ��� ��� �����
����� $y\in M$ ������������ $(M, y)$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
����� $M \times [0,1] \stackrel \phi\arrow M$ --
��������� ����� ������������� ������������ 
� ��������� � $\{x\}$, � $[1,0]\stackrel\gamma\arrow M$ --
����, ����������� $x$ � $y$. �������� 
$M \times [0,1] \overset{\phi_1}{\arrow} M$,
������������ $(m, t)$ � $\phi(m, 2t)$
��� $t\in [0,1/2]$ � $(m, t)$ �
$\gamma(2t-1)$ ��� $t\in [1/2,0]$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
��������, ��� ����������� �������������� ������������ ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�� ���� ��������������� ����� ����, ���
������������� $(M, x)$ �� ������� ��
������ $x$. � ���������� �� �����
�������� ������ ``$M$ ����������''.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ����������� ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $V\subset \R^n$ -- {\bf ���������� ������������}
$(\R^n, x)$, �� ���� ����� �����������, ��� ����� ������, ����������
����� $x\in \R^n$, ������������ � $V$ �� �������� ���������,
� $x\in V$. ��������, ��� $V$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $V\subset \R^n$ -- �������� ������������.
��������, ��� ��� ����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $N\subset M$ -- �������������� ������������
� ��� ������������. {\bf �������������� ����������}
(��� ������ {\bf ����������})
$M$ � $N$ ���������� ����� ����������� �����������
$M \times [0,1] \stackrel \phi\arrow M$,
��� $\phi(M\times \{1\}) \subset N$,
������ ����������� ����� ����������� �� $N$
�������������,  � $\phi \restrict{M\times \{0\}}$
������ ������������� �����������. � ���� ������
$N$ ���������� {\bf ���������} $M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $N\subset M$ -- �������, $n\in N$ -- ����� � $N$.
��������, ��� ������������ ����������� 
$\pi_1(N, n)\arrow \pi_1(M, n)$ --
����������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- �������������� ������������, 
� $\sim$ -- ����������� ���������������. 
��������� ������� ��������������� ������������,
��� ������, ����� $M/\sim$. 
�� $M/\sim$ �������� {\bf ��������� �������}:
�������� ������������
$M/\sim$ - ��� ����� ������������, ��������
������� � $M$ ������.
� ���������, ���� �� $M$ ��������� ������ $G$, �� ���������
������������ ��������� ���������������: $x \sim y$ ����
������������ ����� $g \in G$, ��� $g \cdot x = y$.
������ $M$ �� ����� ��������� ��������������� ����������
{\bf ������������������� $M$ �� �������� $G$}, � ������������
$M/G$. ������ ��������������� ���������� {\bf $G$-��������}
� $M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}\label{_hausdo_kone_Zadacha_}
����� $M$ -- ����������� �������������� ������������,
� $\{x_1, \dots, x_n\} \subset M$ � $\{y_1, \dots, y_m\} \subset M$ 
-- ��� ���������������� �������� ������������. ��������, ��� � 
����������� $\{x_1, \dots, x_n\}$ �  $\{y_1,\dots, y_m\}$ ��������
����������������
�����������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ -- �����������  �������������� ������������, � 
$G$ -- �������� ������, ������� ��������� �� $M$
���������������. ����������
������������������ $M/G$ � ����������
�������. ��������, ��� $M/G$ �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
����� $x,y$ -- ��� �����, �� �������������
����� � ��� �� $G$-������. ������� � $x$, $y$
���������������� $G$-������������ �����������. ��� �����
��������� \ref{_hausdo_kone_Zadacha_} � �������
$Gx$, $Gy$, �������� ����������� $U$, $U'$,
� �������� $\bigcap_{g\in G} gU$, $\bigcap_{g\in G} gU'$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������,
����� $M$ �����������, � $M/G$ 
������������� (� ������, ��������������, �� �������).
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $\Gamma$ -- ��������� ����, �� ����
����� ������ ���� ``��������� ������'' $\{\cal V\}$,
``��������� �����'' $\{\cal R\}$, � �������� � ���,
����� ������� �������� ������� ����� �����.
\begin{center}
\epsfig{file=geom10a.eps,width=0.5\linewidth}
\end{center}
����� ������, $\Gamma$ ����� ���������� ��� ���� ��������
${\cal V}$, $\cal R$ � ������������ �����������
$\{\cal R\}\times\{0,1\} \stackrel\Gamma\arrow \{\cal V\}$. 
������ �� $\{\cal R\}\times [0,1]$,
��������� ���������������, ����������� ���������:
����� ���� ����� ������������, ���� ��� ���������
� ����� � ��� �� �������. ��� ��������� 
��������������� ��������� ����� �����, 
����������� � ����� � ��� �� �������.
������  $\{\cal R\}\times [0,1]$ �� �����
��������� ��������������� ����������
{\bf �������������� ������������� �����}. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
��������, ��� �������������� ������������ ������
����� �����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
���� ���������� {\bf �������}, ���� ����� ������� ���������
� ����� ������ �������� �������� �����. ��������, ��� �������������� 
������������ �������� ����� ������� ������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[**]
����� ��� ����  � ����������� ���������� ������.
��������, ��� � ����� �������� ����������� ������������
������, ������� ����������� �������, ���� ����������� ������������
������, ������� �������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\Gamma$ -- ������� ����, � ��������
$n$ ������ � $n-1$ ����� (����� ���� ���������� {\bf �������}).
\begin{center}
\epsfig{file=geom10c.eps,width=0.5\linewidth}
\end{center}
��������, ��� ��� �������������� ������������ $M_\Gamma$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $\Gamma$ -- ����� �����������  ������� ����, ��� ����� ������� ��������
������� $\Gamma$ -- ������. ��������, ��� $\pi_1(M_\Gamma)=\{1\}$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $S^n$ -- $n$-������ ����� ($n> 1$). ��������, ���
$S^n$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� � ������������� ���������.
\end{ukazanie}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
����������� ����������� �������������� �����������.
����������� $\pi$ ���������� {\bf ���������}, ����
� ������ ����� ���� ����� ����������� $U$,
��� $\pi^{-1}(U)$ ��������� ������������
$U$ � ����������� ��������������� ������������ 
$K$, ������ ����������� �����������
$\pi^{-1}(U)\stackrel \pi \arrow U$
��������� � ������������ ���������
$\pi^{-1}(U) = U \times K \arrow U$.
� ���� ������ ����� ���������, ���
$\tilde M$ {\bf ���������} $M$.
\end{opredelenie}

�� ������������� ����������
$S^1$ ��� ������ $S^1 = \R/\Z$.
��� ������ ������������ ��������� ��������� �� $S^1$.

\begin{zadacha} 
����� $n$ -- ��������� ����� �����.
���������� ������������
����������� $S^1 \arrow S^1$, $t \arrow nt$.
��������, ��� ��� ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ������������ ��������
$\R \arrow  S^1 = \R/\Z$ -- ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� ������������ ��������
$\R^n \arrow (S^1)^n$ ��� ��������
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���������� ������
$S^n \arrow S^n/\{\pm 1\}= \R P^n$
����� �� ����������� ���������, � 
������������ ���������� (�������� ��������� -
��� �����, �������� ������� ������). ��������, ���
��� ��������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $\tilde M'\subset \tilde M$ -- ���������������,
������� ���� ��������� $M$. ��������, ���
$\tilde M'$ ������� � �������� � $\tilde M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $M$ �������� ������� ������. ��������, ���
$\tilde M$ �������� ������� ������. ��������, ��� 
����� ���������� �������� ��������� � $\tilde M$
��������� $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] \label{_nakry_line_svya_Zadacha_}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $M$ �������� ������� ������. ��������,
��� $\tilde M$ ������ ����� � ������ �����, ����� ���
������� ������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} 
����� $\gamma:\; [a, b] \arrow M$ -- ���������
����, � $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
�������� $M$. ����������� 
$\tilde \gamma:\; [a, b] \arrow \tilde M$
���������� {\bf ��������� $\gamma$}, ����
$\tilde \gamma\circ \pi = \gamma$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $\gamma:\; [a, b] \arrow M$ --
����, ����������� $x$ � $y$.
��������, ��� ��� ������� $\tilde x\in \pi^{-1}(\{x\})$,
���������� � ����������� �������� $\tilde \gamma$,
����������� $a$  � $\tilde x$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!] \label{_konec_puti_Zadacha_}
��������, ��� ���������� ���� ����������� 
�� ���������� �����, � $\tilde \gamma(y)\in \pi^{-1}(\{y\})$
���������� ������������ ������� ��������� $\gamma$ �
$\Omega(M, x, y)$ � ������ $\tilde x$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��������� ����� $\pi_1(M, x, y)$ ��������� �������
��������� ����� �� $x$ � $y$. �� �������� ����������� 
\[ \pi^{-1}(\{x\})\times \pi_1(M, x, y) \stackrel \Psi\arrow \pi^{-1}(\{y\})
\]
\end{zamechanie}


\begin{opredelenie}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $M$ ������� ������. ������������ $\tilde M$ ����������
{\bf ������������� ���������}, ���� ��� ������ � ����������.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} 
������������� ���� ���������� ������ ��� �������
������� �����������. �� ��� ������ �� ������, ���������
�� ������ \ref{_nakry_line_svya_Zadacha_} 
�������, ��� $\tilde M$ ������� ������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M\stackrel \pi  \arrow M$ --
������������� ��������. �����������
$x\in M$ � $\tilde x\in \pi^{-1}(\{x\})$.
���������� ����������� 
$\pi_1(M, x) \stackrel \psi \arrow \pi^{-1}(\{x\})$,
����������� � \ref{_konec_puti_Zadacha_},
$\psi(\gamma) = \Psi(\tilde x, \gamma)$.
��������, ��� ��� �������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
��������, ��� $\pi_1(S^1) = \Z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} ��������, ��� $\pi_1((S^1)^n) = \Z^n$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������, ��� ��� ($n>1$) ����� $\pi_1(\R P^n)= \Z/2\Z$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
������� ��������������� ������ ���� ���� 
�������� ��������, ����� ``�'' � ``�''
(������, ������, ��������������� �� ���� ������).
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��� �������� ������� ����, � ��������
$n$ ����� � $n$ ������. ����� $M$ -- ��� ��������������
������������. ��������, ��� $\pi_1(M)=\Z$.
\end{zadacha}

\end{document}



