\documentclass[12pt]{article}

\usepackage{theorem,amsmath,amssymb,russcorr}

\def\Mor{\operatorname{Mor}}
\def\Gal{\operatorname{Gal}}
\def\Aut{\operatorname{Aut}}

\input{listki.tex}


\newcommand{\version}{version 2.0,\ \   19.04.2008}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

��� ������ �� ������� ������ ���������� ����� ��� ������ ��
�����������, ���� ��� ������ ��� ���������. ������ � �����
����������� ����� �� �������. ������� $k$ ����� � ����� �����������
����������� �� ������� $2k$ ����� �� ����������� �� ���� ��
��������. ������, ������������ (!), ������� ������� ����.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\listok{9}{��������� 9: �������� �����}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

����� � ��������� �����, ��� �������
�������������� � ���� ������, ������ ������
�� ������ ����� �������������� ���������� �����.
��� �� ��������. � ��������������
��������� ������ ��������� � ���������������� 
��������� ����������� � �������� �������������� 
� ���������-�������� �������. 

��������� ��������� ���������������
������ ��������������� ����������� 
����� �������, ��� ������ �����
� ��������������� ������ ���������������
������������ ��������� �������� ��������
����� ����� �����������. ��� ��������
�������� � ���������� �����, � ����� 
��������������� ������ � ������ �����, 
����� ������� ������� � ������, ��� 
��� ������� ����. 

��� �������������� ������������ � ����
������ �������������� ������������� � �������� ��������.


\begin{zadacha}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, � $M_1$ -- ������� ���������� $\tilde M$.
��������, ��� $\pi(M_1)$ -- ������� ���������� � $M$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������, ������ $\tilde M$ �  $M$ ������ � �������,
� $\pi$ ����������. ��������, ��� $\pi$ --
������������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$, 
$\tilde M'\stackrel {\pi'} \arrow M$ -- ��������.
{\bf ��������� ��������}
���������� ����������� ����������� 
$\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$,
������������� � ��������� � $M$ -- ����� ������, �����, ���
$\phi\circ \pi' = \pi$.
��������� ��������� ����� ���������� ������������ $\Mor(\tilde M, \tilde M')$.
������������ �������� ���������� �������,
������� �������, ������ ����� �������,
��� $\phi^{-1}\circ \phi=\Id$, $\phi\circ \phi^{-1}=\Id$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$ --
������� ��������. ��������, ��� 
$\phi:\; \tilde M\arrow \tilde M'$ --
��������.
\end{zadacha}

\������
����� $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- ����������� �����������.
\����
\���� ����� $\pi$ -- ��������
��������, ��� � ������ ����� $x\in \tilde M$ ���� �����������
$U$ �����, ��� �������� $\pi:\; U \arrow \pi(U)$ -- ������������.
\����[!] ����� � ������ ����� $x\in \tilde M$ ���� �����������
$U$ �����, ��� �������� $\pi:\; U \arrow \pi(U)$ -- ������������.
������ �� $\pi$ -- ��������?
\��
\��

\begin{zadacha} 
����� $M$ �������� ������, � $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������. ��������, ��� $\tilde M$ �������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$,
$\tilde M' \stackrel {\pi'} \arrow M$ -- ��������,
� $\tilde M'\coprod \tilde M$ -- �� ���������
�����. ��������, ��� ��� ���� �������� $M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ ������, � $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
��������. ��������, ��� 
$\tilde M\cong \coprod_{\alpha\in I} \tilde M_\alpha$,
��� $\{\tilde M_\alpha\}$ -- ��������� ��������� ���������
$\tilde M$, ������������� ��� �������� $M$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
{\bf ������������} �������� 
$\tilde M \stackrel \pi \arrow M$
���������� ���������� $\tilde M$ � ��������
���� $\tilde M \cong V \times M$, ��� 
$V$ -- ��������� � ���������� ����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
�����  $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
�������� �������� ������������ $M$. ��������, ���
$\pi$ ������������ ����� � ������ �����, �����
��� ������� ���������� $\tilde M$ ��������� $M$.
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{�������� �����}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}[!]
����� $M_1 \stackrel {\pi_1} \arrow M$,
$M_2 \stackrel {\pi_2} \arrow M$ -- ��������.
���������� ��������� ������������ � $M_1\times M_2$
\[ M_1\times_M M_2:= 
\{ (m_1, m_2)\in M_1\times M_2 \ \ | \ \ \pi_1(m_1)= \pi_2(m_2)\}
\]
�� ������������� $M_1\times_M M_2$ ��� ��������������
������������ (� ����������, �������������� �� $M_1\times M_2$).
��������, ��� ������������ ����������� 
$M_1\times_M M_2\arrow M$ --
��� ��������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
������������ $M_1\times_M M_2$ ������ � ������������ ������������
� $M$ ���������� {\bf �������������
�������� $M_1$, $M_2$}. ����������� ������� 
������������ ������������ ������ ��������� ����� ��������.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie}
���� ������������ ��������� ����� ������������
����� � ����������, ��������� ����������� ��������
������������� ������ ����� �����������
��������� �����, � ������������ -
��������� �������������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha} 
����� $M_1$, $M_2$, $M_3$ -- �������� $M$. ��������, ���
�������� �� $M_3$ � $M_1\times M_2$
������� ���������� �������������
����� ���������  $\phi_1:\; M_3\arrow M_1$, 
$\phi_2:\; M_2\arrow M_1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
���������� $\R$ ��� �������� $S^1$.
������� ������� ��������� � $\R\times_{S^1}\R$?
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M_1\stackrel\phi\arrow M_2$ -- ������� ����� ����� ���������� $�$.
��������� {\bf ������ $\phi$}
��� ������������ � $M_1\times_M M_2$,
��������� �� ��� ���� $(m, \phi(m))$
��� ���� $m\in M_1$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] 
����� $M_1\stackrel\phi\arrow M_2$ -- �������
����� ����� ���������� $�$, � $\Gamma_\phi$ -- ��� ������.
��������, ��� $\Gamma_\phi$ ������� � �������� � 
$M_1\stackrel\phi\arrow M_2$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $[\tilde M:M]$ -- ��������, ������
$M$ � $\tilde M$ ������ (����� �������� ���������� {\bf �������}). 
����� $X\subset \tilde M\times_M\tilde M$ -
������� ����������. ��������,  ��� $X$ ����� � ������ �����
�������� �������� ������������ 
$\nu:\; \tilde M \arrow \tilde M$, 
����� �������� �� ������ ���������� ������ ����������
$X\cong \tilde M$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]\label{_Mor_v_pro_Zadacha_}
����� $[\tilde M:M]$ -- ������� ��������.
���������� �������� (�� ������� ���������)
$\tilde M\times_M\tilde M \arrow \tilde M$ ��� ��������
$\tilde M$. ��������� ������� ����������� ������������
�����  $\Mor_{\tilde M}(\tilde M, \tilde M\times_M\tilde M)$
� ���������� ������������� $\tilde M$ ��� $M$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} 
����� $[\tilde M:M]$ -- ��������, ������
$M$ � $\tilde M$ ������. �����
$[\tilde M:M]$ ���������� {\bf ��������� �����},
���� �������� $\tilde M\times_M\tilde M \arrow \tilde M$
������������. � ����� �������� ������ �������������
 $\tilde M$ ��� $M$ ���������� {\bf ������� �����
�������� $[\tilde M:M]$} (������������ 
$\Gal([\tilde M:M])$). ������ ������ �����
�������� ���������� {\bf ������� ����������},
� ��-��������� -- {\bf deck transform group}
(������ �������������� ������).
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ ������, � $[\tilde M:M]$ -- ����� �������� �����, 
��� � ������ ����� $M$ ���� ����� $n$ ����������
(����� �������� ���������� $n$-�������). ��������, ��� 
� ������ ����� $[\tilde M:M]$ ����� $n$ ���������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������, ��� $[\tilde M\times_M\tilde M:\tilde M]$
���� $n$-�������, � �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{opredelenie} ����� ������ $G$ ��������� 
�� ��������� $S$. �������� ���������� {\bf ���������},
���� ��� ����� $g\in G$,  $s\in S$, $s\neq gs$, ���� 
$g\neq 1$. �������� ���������� {\bf ������������},
���� ��� ����� ���� $s_1$, $s_2\in S$, �������� $g\in G$
�����, ��� $g(s_1)=s_2$. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ --
��������, � $G=\Aut_M(\tilde M)$ -- ���
������ �������������. �����������, ��� $M$ ������.
��������, ��� ��� ������ $x\in M$ ������ $G$ ��������� ��������
�� $\pi^{-1}(x)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ --
�������� �����, � $x\in M$ -- ����� �����.
��������, ��� $\Gal([\tilde M:M])$
��������� �� $\pi^{-1}(x)$ �������� � �����������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
���������� ������� ����������� 
������������ ����� $\pi^{-1}(X)$
� ���������� ������� ���������
$\tilde M\times_M\tilde M$ � ���������
������ \ref{_Mor_v_pro_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]\label{_transi_na_sloe_Zadacha_}
����� $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ --
��������, � $x\in M$ -- ����� �����. 
��������, ��� $\Aut_M(\tilde M)$
����� � ������ ����� ����������� ��������� �� $\pi^{-1}(x)$,
����� $[\tilde M: M]$ -- �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
���������� ��������
$\R^n \arrow \R^n/\Z^n \cong (S^1)^n$.
��������, ��� ��� �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����������� $n\in \Z$
���������� $n$-������� ��������
$S^1 \arrow S^1$, $t \mapsto nt$.
��������, ��� ��� �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie} ����� $M$ -- �������������� ������������, �
$G$ -- ������, ����������� �� $M$ ������������ ����������������. 
���������� ������������ $G$-�����
$M/G$. �������� (��. ������ ��������� 10), ��� �� $M/G$ 
��������� ������� �������� ���������:
������������ $M/G$ ������� ����� � ������ �����, �����
���� ��� �������� � $M$ ������. ��������� $M/G$ � ���� ����������
���������� {\bf �������������������} $M$ �� �������� $G$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
����� $[\tilde M:M]$ -- ��������, � $G\subset \Aut_M(\tilde M)$ 
��������� �� $[\tilde M:M]$ ��������������. ��������, ���
��� �������� ��������, � ������������������ $\tilde M/G$
����������� � ��������� $M$.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
������ �� $G$ ������ � ������ �������� ����� 
�� �� ����, ��� $G$-���������� � ������ ���������� �����.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $[\tilde M:M]$ -- ��������,
� $G$ -- ��� ������ �������������. ��������, ��� $\tilde M/G$
��������� $M$ ����� � ������ �����, ����� $[\tilde M:M]$ --
�������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� \ref{_transi_na_sloe_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}\label{_kompo_rasshe_Zadacha_}
����� $M_1\stackrel{\phi_1}\arrow M_2 \stackrel{\phi_2}\arrow M_3$
-- ������������������ ��������, ������
$\phi_i$ �����������, � �� ���������� ������������.
��������, ��� $\phi_i$ ������������.
\end{zadacha}


� �������� �������� � ������� �����, 
�������� ���� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$
����� � ���������� ������������ $[\tilde M:M]$.


\begin{zadacha}[!]\label{_M_1_times_promezhu_Zadacha_}
����� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ --
������������������ ��������, ������ ��� $M_i$ ������, �
$[M_1:M_3]$ -- �������� �����. ��������, ��� 
$M_1 \times_{M_3} M_2$ ������������ ��� ���������� ��� $M_1$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��������������  ������� \ref{_kompo_rasshe_Zadacha_}, �������� �� �
������������������
\[ 
  M_1\times_{M_3}M_1\arrow M_1\times_{M_3}M_2 \arrow M_1\times_{M_3}M_3.
\]
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ --
������������������ ��������, ������ $[M_1:M_3]$
-- �������� �����. ��������, ���
$[M_1:M_2]$ -- �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������������  ������� \ref{_kompo_rasshe_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ --
������������������ ��������. ��������, ��� 
\[ M_1\times_{M_3} M_1 \cong 
   M_1\times_{M_2} (M_2\times_{M_3}M_2)\times_{M_2}M_1.
\]
\end{zadacha}

\begin{zadacha} �������� �� ����� ���������:
���� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ --
������������������ ��������, ������ $[M_1:M_2]$
� $[M_2:M_3]$ -- �������� �����, �� $[M_1:M_3]$ -- ����
�������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $[\tilde M:M]$ -- ��������,
$G$ -- ��� ������ �����, � $G'\subset G$ -- �� ���������.
���������� ������ $\tilde M/G'$. ��������, ���
$[\tilde M: \tilde M/G']$ -- �������� �����,
� ������� ����� $G'$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $\tilde M \arrow M$ -- ��������. 
{\bf ���������������} $[\tilde M:M]$
���������� �������� $\tilde M'\arrow M$,
�������� ������ � ������������������� ��������
$\tilde M \arrow \tilde M' \arrow M$, ���
$\tilde M \arrow \tilde M'$ �����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
(�������� ������� ������ �����)
����� $[\tilde M:M]$ -- �������� ����� � �������
����� $G$. ���������� ������������, ��������������
��������� $G'\subset G$
�������������� $[\tilde M/G':M]$.
��������, ��� ��� ������������
������������� ������� ����� 
���������� �������� � ����������
������� ����������� ��������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- ������������������
��������, ������ $[M_1:M_3]$ -- �������� �����.
���������� ������������ �������� 
\[ M_1 \times_{M_3} M_1 \stackrel\Psi\arrow  M_2 \times_{M_3} M_2.
\]
����� $g\in \Gal([M_1:M_3])$, � $e_g\subset M_1 \times_{M_3} M_1$
--  ���������� ��������� 
$\{(m, g(m))\}$ � $M_1 \times_{M_3} M_1$.
��������, ��� $g\in \Gal([M_1:M_2])\subset \Gal([M_1:M_3])$
����� � ������ �����, ����� ��� �������� �
$M_2 \times_{M_3} M_2$ ���������� $e_g$
��������� � ������������ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $M_1\arrow M_2 \arrow M_3$ -- ������������������
�������� �����. ��������, ��� ������������ ��������
\[ M_1 \times_{M_3} M_1 \stackrel\Psi\arrow  M_2 \times_{M_3} M_2.
\]
������ ������������ ����������� 
$\Gal([M_1:M_3])\stackrel\psi\arrow \Gal([M_2:M_3])$. 
��������, ��� $\ker\psi=\Gal([M_1:M_2])$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���, ��� 
������ ����� $\Gal([M_i:M_3])$ ���������������
� ���������� ������� ���������
$M_i\times_{M_3}M_i$, � ��������� 
���������� �����.  
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M \arrow M$ -- �������� �����,
� $G' \arrow \tilde M/G'$ -- ���������� ������������
����� ���������������� � ����������� 
� ������ �����, ����������� ����.
��������, ��� $G'$ �������� ���������� ����������
����� � ������ �����, ����� $[\tilde M/G':M]$ -- �������� �����.
\end{zadacha}

\NewVedomost

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{�������� ������� ������� �����������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ����������� ������������. ��������, ���
{\bf �������������} � $M$ ���������� ����� ����
$[a,b] \stackrel\gamma\arrow M$, ��� $d(\gamma(x), \gamma(y))=|x-y|$.
{\bf �����} ������������� -- ��� ���������� ����� �� �������.
���� ���������� {\bf ������� �������������}, ����
��� ����� ������� � ����������� ��������� ����� 
������������� ���������. {\bf �����} �������
�������������� ���� ������������ ��� ����� ����
������������ ���� ���� ������������� ��������.
�� ���������� ����� ���� $\gamma$ ����� $|\gamma|$.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
����� $\Gamma$ -- ����, � $M_\Gamma$ -- ��� ��������������
������������. �� �������, ��� $\Gamma$ {\bf ������},
���� ��� �������������� ������������ ������. 
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!]
��������, ��� ���� ������
����� � ������ �����, ����� ����� ��� �������
����������� �������� ������������������� �����.
��������, ��� ������� ���� ������� ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\Gamma$ -- ������� ����. 
�� ����������, �� ������ �����
$r_\alpha\subset M_\gamma$ ����� ������� 
����������, ��������������� ��� � $[0,1]$.
����� $\gamma$ -- ������� �������� ���� � $\Gamma_M$,
�� ���� ����, ������������ �� ��������� ����� �������� ���� 
$[a_i,b_{i}]\stackrel{\phi_i}\arrow [\lambda_i, \mu_i]\subset r_\alpha$, 
��� $\phi_i$ �������. ��������� $|\gamma|:= \sum|\lambda_i,\mu_i|$, 
��� ����� ���� ���� ��������, ������������ ���� ����. 
��������� $d(x,y):= \inf |\gamma|$, ��� $\gamma$ ���������
��� ������� �������� ����, ������� �� $x$ � $y$. 
��������, ��� $d(x,y)$ ������ �������, � $M_\Gamma$
������������ ������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
��� ������� ����������
{\bf ����������� �������� �� 
�������������� ������������ �����}.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie}
������������ ������� ������������ $M$ ����������
{\bf ����������}, ���� ����� ��� ����� $M$ �����������
������������ �������������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} 
��������, ��� ����� �������� ������������ � $\R^n$
(�� ����������� ��������) ����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
������� �� $M=\R^2$ ����� �������, ��� $�$ ������������
������, � �� ����� ����� � ����� ���� ����������
����� �������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $\Gamma$ -- ������, �� ���� 
�������� ������� ����, � ��������
$n$ ������ � $n-1$ �����. ��������, ��� 
$M_\Gamma$ �� ����������� ��������
����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $\Gamma$ -- ����� �������� ����, ��� $\Gamma_M$
����������. ��������, ��� $\Gamma$ -- ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ -- �������� ����������,
������������ ������� ������������, 
$\tilde M\stackrel\pi\arrow M$ -- ������� 
��������, � $x$ � $y$ -- ��� ����� � $\tilde M$. 
���������� ��������� $S_{x,y}$ ���� ����� �� $\tilde M$,
����������� $x$ � $y$, �������� ������� � $M$ ������� ����������.
���������� ��������� ������� �� $\tilde M \times \tilde M$
\[ \tilde d(x,y) = \inf_{\gamma\in S_{x,y}}|\pi(\gamma)|\]
��������, ��� ��� �������. ��������, ��� 
$\tilde d(x,y)\geq d(\pi(x),\pi(y))$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
� �������� ���������� ������, ��������, ���
$\tilde M$ ������������ ������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}  ����� $M$ -- ������������ ������� 
����������� ������������, � $\tilde M\arrow M$ -- ���
��������. ��������, ��� ������� ���������� ��������� 
������������� -- ������������� � $(\tilde M, \tilde d)$. 
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} 
��������, ��� �������� ������������� 
�������� ������������� � ����������� ������ �����.
����� �������������� ������������
$\tilde d(x,y)\geq d(\pi(x),\pi(y))$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
�����  $(M, d)$ -- ���������� ����������� ������������,
� $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ -- ��� ������� ��������. 
�����, ����� ����, $x\in \tilde M$ -- ����� �����, � $U_x$ -- ���������
����� $y\in M$, ������� ����� ��������� � $x$
�������������. ��������, ��� $U_x$ �������
� �������� � $\tilde M$, � ��� 
$(U_x, \tilde d)$ ����������.
�������� �� �����, ��� ������������
�������� $\tilde M \stackrel\pi \arrow M$ --
��������� � ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
����� $M=[0,1]\times [0,1]$ -- �������, � 
$\tilde M \arrow M$ -- ��� ������� ��������. ��������, ���
��� ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- ������� ������� � ����������� ������������,
� $\tilde M \stackrel\pi\arrow M$ -- ������� ��������. ��������, ���
��� ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
��������, ��� $\tilde M$ ������� ������.
����� $x, y\in \pi^{-1}(x_0)$ -- ��� �����, �
$\tilde \gamma$ -- ����, ������� �� ���������.
����� $\gamma:=\pi(\tilde\gamma)$ ��� �����.
��������� $M$ ����������, $\gamma$
������������ �� ����������� �� �������� �
$X\subset M$ (�������� ���).
���������� �������� ����� �������� � 
$\tilde M$, � ����� $\tilde X$ ���������� ���������, 
������� �������� $\tilde\gamma$. ����������������
���������� �������, ��������, ��� 
$\tilde X\stackrel\pi\arrow X$
��� ������������, � �������� �� �����,
��� $x=y$.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
� �������� ���������� ������, ��������, ���
����� �������� $M$ ������������.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
����� $M$ -- ����� (�� ����������� ������� �������)
������� �������������� ������������. $M$ 
���������� {\bf �����������}, ���� 
����� �������� $M$ ������������.
\end{opredelenie}

\begin{zamechanie} 
� ���� ���������� ������, ��� �����������
����������� � ������������ �������������
��� ������� ������� �������������� �����������,
������ � ������ ��������� 8.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
����� $M$ ������.
�������� $\tilde M \arrow M$ 
���������� {\bf �������������}, ���� ��� ����������.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[!] 
\����
\���� ��������, ��� 
������������� �������� ���� �������� �����.
\���� ��������, ��� ������������� �������� �����������
� ��������� �� �����������.
\��
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ����� $\tilde M$, $\tilde M'$ -- ���
������������� �������� $M$. ��������� 
$\tilde M\times_M\tilde M'$ �������� ���������
$\tilde M$, $\tilde M'$, ��� ������������ ��� $\tilde M$,
$\tilde M'$. ��� ������, ��� ����� ������� ����������
$\tilde M\times_M\tilde M'$ ��������� ������������� � 
$\tilde M$, $\tilde M'$.
\end{ukazanie}


\begin{zadacha}
����� $M_1\arrow M_2$ � $M_2\arrow M_3$ -- ��������,
\begin{enumerate}
\����[**] ����� ��, ��� ���������� $M_1\arrow M_3$ -- ���� ��������?

\����[!] ����� � ������ ����� $�_3$ ���� ����������� �����������.
��������, ���  $M_1\arrow M_3$ -- ��������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subs{������������� �������������� ��������}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\begin{zadacha}
����� $M$ ������� ������, 
$\tilde M \overset{\pi}{\arrow} M$ -- ������� ��������, � 
$x\in M$ -- ����� �����. 
��������, ��� �������� ��������� $\pi^{-1}(x)$ 
�� ������, ��� �������� $\pi_1(M)$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}
��������, ��� 
�������� $\pi^{-1}(x)$  �� ������, ��� 
�������� ��������� $M^{[0,1]}$ ����������� �� $[0,1]$ � $M$.
\end{zadacha}


\begin{zadacha}[*]
����� $\tilde M \overset{\pi}{\arrow} M$ -- �������
�������� �������� $M$, � $x\in M$ ����� �����. 
��������, ���
�������� $\pi^{-1}(x)$ �� ������, ���
$|2^{2S}|$, ��� $|2^{2S}|$ - �������� ���������
����������� $S\times S$.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
������� $x_1, x_2\in \pi^{-1}(x)$. ��������, ���
�������� ����� ����� ������� �������� �������� $\{\tilde U_\alpha\}\in \pi^{-1}(S)$,
��� $\tilde U_{\alpha_0}$ ������������ � ������������
���� $\tilde U_\alpha$, �� ������ $U_{\alpha_0}$, ������
\[ \{x_1 ,x_2\}= \pi^{-1}(x)\cap \left(\bigcup \tilde U_\alpha\right)\]
����� ���� $S$, ���� ����������, ����� ������������,
��� $\pi$ ������������ ���  $\pi(U_\alpha)$ ��� ����
$\alpha$. ��������, ��� $x_2$ �������� ����������,
���� ������ $x_1$, $\{\pi(U_\alpha)\}$, � ��������,
����� �� $U_{\alpha}$ ������������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� $M$ �������, � $V$ -- ��������� �������� ���� ��������.
��������� ����� ${\cal R}$ ��������� ���� ���������,
�������� �� �����-�� ������������ 
$X\subset M \times V$ ����� �������, ��� 
������������ �������� $X\arrow M$
�������� ���������. ��������, ���
����� ������� �������� $M$ ��������� ������-��
�������� ${\cal R}$, ����
\begin{enumerate}
\���� $M$ ������� ������, � �������� $V$ 
����� $|M^{[0,1]}|$

\����\sttr{} �������� 
$V$ ����� $|2^{2S}|$, ��� $S$ - ���� ��������� � $M$.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
��� ������ ��������� �������� � ``��������� �������
����������� ��������''. ��������, ��� �� ���
�������������� ������� �������� �����������; ���,
���������� �� �������� ����� ���� ��������.
����� ��������, ��� �����-�� ����� ��������
����������, ���� ���������� ��� ��������.
\end{zamechanie}

\begin{opredelenie}
����� $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- �����
����������� �� $M$,
������������������ ������� �������� $I$ (��������,
�����������, ��� ���� ���������).
���������� ��������� ���� ����� 
$(m_{\alpha_1}, m_{\alpha_1},\dots)\in \prod M_{\alpha}$,
��� $\pi_{\alpha}(m_\alpha)=m$ ��� ������-�� 
$m\in M$. ��� ��������� ���������� {\bf �����������
������������� $\{M_{\alpha}\}$} � ������������
$\prod_M M_{\alpha}$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}
����� $M$ -- �������������� ������������, �
$\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ -- ����� ��� ��������.
������ �� $\prod_M M_{\alpha}$ ��������� ��������� �������. �����
$U\subset M$ �������, � $\{U_\alpha\subset M_{\alpha}\}$ --
����� �������� ��������, ����������� $U$. ��������, ���
��������� ���� $\prod_U U_\alpha\subset \prod_M M_{\alpha}$
������ ���� ��������� �� $\prod_M M_{\alpha}$.
��������, ��� $\prod_M M_{\alpha}$ �����������
\begin{enumerate}
\����[*] ����� ��, ��� ������������ �������� 
$\prod_M M_{\alpha}\arrow M$ -- ��������?

\����[!] �����������, ��� � ������ ����� $�$
�������� ����������� �����������. ��������, ���
������������ �������� $\prod_M M_{\alpha}\arrow M$ -- ��������.
\end{enumerate}
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
� ����� �������� $\prod_M M_{\alpha}$ ����������
{\bf ����������� ������������� $M_{\alpha}$ ��� $M$}, ����
������ ������������� ��������
$M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha} \label{_rascheplya_product_Zadacha_}
����� ��� �������� $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$
������������. ��������, ��� $\prod_M M_{\alpha}$ ���� ������������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$
-- �������� �����. ��������, ��� ����� ���������� ���������
�� ������������ ��� $M$ -- ���� �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie}
�������������� ������� \ref{_rascheplya_product_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha} 
����� $\tilde M$ -- �������� $M$.
��������� ������������ ������� ����� �����������
$\Mor(\prod_M M_{\alpha}, \tilde M)$
� $\prod \Mor(M_{\alpha}, \tilde M)$
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ --
��������� ���� �������� $S^1 \arrow S^1$, $t\arrow nt$,
������������������ $n\in \Z$. ��������, ��� �����
������� ���������� $\prod_M M_{\alpha}$ ���������
$\R\arrow \R/\Z = S^1$.
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
����� $\tilde M\stackrel\pi\arrow M$ -- ��������, ������ $\tilde M$ � $M$
�������, $x\in M$, $x_1, x_2 \in \pi^{-1}(x)$, $W$ -- ����������
��������� $\tilde M\times_M\tilde M$, ���������� $x_1\times x_2$,
� $W_1$ -- ���������� ��������� $\tilde M\times_M\tilde M\times_M\tilde M$, 
���������� $x_1\times x_2\times x_2$. ��������, ���
������������ �������� $W_1 \arrow W$ (��������� ��������
���������) ��� ����������. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha} 
� ����� �� ��������, ����� 
$\{x_\alpha\}$ -- ����� ����� � $\pi^{-1}(x)$,
������������������ $\alpha\in I$, $W$ --
��������������� ���������� � ����������� 
������������ $\prod_{M,I}\tilde M$ $I$ ����� $\tilde M$, � $W_1$ -
���������� � 
$\left(\prod_{M,I}\tilde M\right)\times_M\tilde M$,
���������� $\{x_\alpha\}$ � $x_0$, ������ $x_0\in \{x_\alpha\}$.
��������, ��� ������������ �������� $W_1 \arrow W$ ���
����������.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
����� $\tilde M \stackrel \pi \arrow M$ --
������� ��������, � $x\in M$. ���������� ������������ 
$\prod_{M,\{\pi^{-1}(x)\}}\tilde M$ 
$\tilde M$ � �����, ������������������ ���������� 
$\pi^{-1}(x)$, � ����� $\tilde M_G$ -- ������� ���������� 
� $\prod_{M,\{\pi^{-1}(x)\}}\tilde M$, ����������
������������ ���� $x_\alpha \in \{\pi^{-1}(x)\}$.
��������, ��� $\tilde M_G\times_M \tilde M$
������������ ��� $\tilde M_G$. ��������, ���
$\tilde M_G \arrow M$ -- �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�� ��������, ��� �����
�������� �������� ������-��������� �������� �����.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}  
����� $M$ -- ������� �������������� ������������, 
${\cal R}$ -- ��������� ���� ������� ����������� �������
�������� $M$, $\{M_\alpha\stackrel{\pi_\alpha}\arrow M\}$ --
��������������� ����� ��������, � 
$\tilde M\subset \prod_M M_{\alpha}$ --
���������� ��������� �� ������������.
��������, ��� ��� ������� �������� 
�������� $\tilde M' \arrow \tilde M$
�������� ������������ ������� ��������
$\tilde M \arrow \tilde M'$. 
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} �������������� ���������� �������.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}
� �������� ���������� ������,
��������, ��� $\tilde M$ -- �������� �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
�������� �� �����, ��� ��� ������ $\tilde M \arrow M$, ��������
$\tilde M \times_M \tilde M'\arrow \tilde M$ ������������.
\end{zadacha}

\begin{ukazanie} ��������������
\ref{_M_1_times_promezhu_Zadacha_}.
\end{ukazanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ -- ����� �������
�������������� ������������, � 
$\tilde M \arrow M$ -- �������� �����, ����������� ����.
��������, ��� $\tilde M$ ����������.
\end{zadacha}

\begin{zamechanie}
�� ��������, ��� � ������ ��������
��������������� ������������ ��������
������������� ��������. ��� ���� ����
��������, ������������� �������� �����������.
\end{zamechanie}

\begin{zadacha}[!]
����� $M$ ������� ������, $\tilde M$ -- ��� �������������
��������, � $\Gal([\tilde M:M])$ -- ��������������� ������
�����. ��������, ��� $\Gal([\tilde M:M])$ ���������
��������������� ������ $M$.
\end{zadacha}

\begin{opredelenie}
{\bf ��������������� �������} ���������������
������������ $�$ ���������� ������ $\pi_1(M):=\Gal([\tilde M:M])$,
��� $\tilde M$ - ������������� ��������.
\end{opredelenie}

\begin{opredelenie} 
��������� $G_1, G_2\subset G$ ���������� {\bf
������������}, ���� �������� ����� $g\in G$,
��� $G_1$ ����������� � $G_2$ �������������
$x\arrow x^g$.
\end{opredelenie}

\begin{zadacha}[*]
����� $M_1\arrow M$ -- ��������� ��������, � 
$\tilde M \arrow M_1\arrow M$ -- ������������� ��������.
���������� ��������� $G_1\subset \Gal([\tilde M:M])=\pi_1(M)$, 
���������� � ���������� ���������� 
�������� ������� ������ �����. ��������, ��� ��� ������������
������ ������� ����� �������� ����������� �������� $M$
� �������� ������������� �������� � $\pi_1(M)$. 
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[!]
������� ��� �������� ����������, � ��������� �� �����������. ��������� �� ����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $M$ -- ������� �������������� ������������,
��� ���������� �������� ��������� �������� ����������.
����� �� ��� ����� ������������� ��������������� ������?
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
����� $B$ -- ��������� ��������� 
$P(t)= t^n+ a_{n-1}t^{n-1}+ a_{n-2}t^{n-2}+ \dots + a_0$
��� $\C$, � ������� ��� ����� ������, � $B_1$ -- ���������
���� ������� $(x_1,\dots, x_n)\in \C^n$ ������� ��������� �����
$x_i \in \C$. ������ �� $B$ � $B_1$ ������������
��������� ������������ � $\C^n$. ���������� �����������
$B_1\stackrel\pi\arrow B$, $(x_1,\dots, x_n)\arrow \prod(t-x_i)$.
��������, ��� $\pi$ -- �������� �����. ������� ���
������ �����.
\end{zadacha}

\begin{zadacha}[*]
��������� ������� ��������, ������� �� ����� ��������� �����.
\end{zadacha}

\end{document}
