
\documentclass[11pt]{article}
\hyphenation{Ка-ла-би-Яу}
\usepackage{amsmath, amssymb, amscd}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}


\newcommand{\goth}{\frak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Lin}{\operatorname{Lin}}
\newcommand{\Hor}{\operatorname{Hor}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 4pt height 4pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\makeatletter

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize 
          {$C^2$-оценки в теореме Ка\-ла\-би-\-Яу}
           \hfil\tiny {М. Вербицкий, июнь 2008, для
  ljr-math@ljr }}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}

\makeatother

\pagestyle{verbit}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\LARGE\bf $C^2$-оценки в теореме Ка\-ла\-би-\-Яу}
\\[4mm]
Миша Вербицкий
\\[4mm]
\end{center}

\tableofcontents

\section{Введение}

Эта лекция есть продолжение рассказа о доказательстве
Калаби-Яу, выложенного сюда:
http://lj.rossia.org/community/ljr-math/14747.html

$C^2$ и $C^3$-оценки в доказательстве теоремы Калаби-Яу
считаются более элементарными, чем $C^0$-оценки; отчасти 
из-за существования аналогичных оценок в локальном случае 
(\cite{_Chen:local_}; также см. обзор Трудингера
на ICM-2006 \cite{_Trudinger:ICM2006_} и его работы
последних лет). Разумеется, для доказательства 
$C^2$-оценок используются уже доказанные $C^0$-оценки,
но даже вывод $C^2$-оценок из $C^0$-оценок -- трудоемкий
и нетривиальный.

В отличе от ситуации, описанной Софией Чен и Трудингером,
 $C^2$-оценки для решений комплексного Монжа-Ампера
нелокальны, а требуют компактности многообразия.
Работа Софии Чен дает локальные $C^2$-оценки
для решений такого уравнения:
\[
F(W(\phi))= \Psi.
\]
Здесь $\Psi$ -- заданная функция, $\phi$-неизвестная функция, 
а $F$ -- отображение из 2-тензоров
в функции, выпуклое и невырожденное в том же смысле,
в котором выпуклы и невырожденны детерминант и фундаментальные
симметрические полиномы от собственных значений
соответствующей матрицы. Выражение $W(\phi)\in 
\Lambda^1M \otimes \Lambda^1(M)$ -- 2-тензор вида
\[
W(\phi) = D^2 \phi +a(x) d\phi \wedge d\phi + b(x) |d\phi|^2g + c,
\]
где $g$ -- риманова метрика, $a(x)$ и $b(x)$ -- заданные функции, а $c$ - тензор. 
К сожалению, для применения
оценок, выведенных Чен, требуется, чтобы $b(x)<-\epsilon<0$,
а для комплексного Монжа-Ампера $a=b=c=0$. То же условие
требуется в работах Трудингера с соавторами. 

Вывод $C^2$-оценок приводится в нескольких статьях
Збигнева Блоцкого на его сайте
\footnote{http://gamma.im.uj.edu.pl/$\sim$blocki/publ/index.html}.
Tам все интересно, но мне оказалась особенно полезной
статья \cite{_Blocki:gradient_}.

Локальные $C^2$-оценки решений комплексного Монжа-Ампера
приводятся в статье Шульца \cite{_Schulz:C^2_}, где он выводит
их из $C^1$-оценок. Поскольку $C^1$-оценки для решений
комплексного Монжа-Ампера на компактном многообразии
получить труднее, чем $C^2$-оценки, применить эту
работу к теореме Калаби-Яу нельзя. Впрочем, по мнению
Славомира Колодзея (ссылающегося на Блоцкого) работа
Шульца содержит ошибку, которую до сих пор никто
не исправил.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{$C^2$-оценки}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



{\bf ТЕОРЕМА:} (B\l ocki, \cite{_Blocki:gradient_}) 
Пусть $(M,\omega)$ -- компактное кэлерово
многообразие, $\dim_\C M=n$, а $\phi\in C^4(M)$ -- решение уравнения Монжа-Ампера
\[
(\omega + \6\bar\6\phi)^n = f \omega^n,
\]
где $f$ -- гладкая, положительная функция.
Тогда есть константа $C>0$, зависящая только от 
$M, \omega$, $\sup\phi-\inf\phi$, $\sup f$ и
$\inf (f/(n-1)\Delta \log f)$ такая, что $\Delta\phi < C$
везде на $M$.

\hfill



Для теоремы Калаби-Яу зависимость от $f$ не слишком
важна, и мы не будем ее отслеживать; важно, что есть
константы, которые явно зависят от $f$ и ее производных,
и ограничивают $\Delta\phi$.

\hfill

\noindent
{\bf ДОКАЗАТЕЛЬСТВО:}
Идея доказательства принадлежит Погорелову,
который таким образом получил оценки на решения вещественного
уравнения Монжа-Ампера. Введем на $M$ локально комплексные координаты;
производную функции $h:\; M \arrow \R$ в голоморфном направлении
обозначим $h_i$, в антиголоморфном $h_{\bar i}$.
Пусть
\[ 
\alpha:=\log(\Delta \phi+n) - A\phi,
\]
где $A$ -- константа, которую мы зададим позже. Пусть $g$ -- кэлеров
потенциал для $\omega$ (определенный локально), а
$u = g+\phi$. Тогда $\Delta\phi+n =\Delta u$,
поэтому
\[
\alpha_p=\frac{(\Delta u)_p}{\Delta u}- A \phi_p,
\]
и
\begin{equation}\label{_alpha_pp_Equation_} 
\alpha_{p\bar p}=\frac{(\Delta u)_{p\bar p}}{\Delta u}-
\frac{|(\Delta u)_{p}|^2}{(\Delta u)^2} + A - Au_{p\bar p}.
\end{equation}
Возьмем точку $O$, где $\alpha$ достигает максимума.
Мы докажем, что в $O$ $\Delta \phi$ ограничена
константой, которая выражается через $f$ и его производные
и кривизну $M$. Поскольку $\phi$ ограниченно в силу $C^0$-оценок, 
из этого следует $C^2$-оценка. Компактность $M$ нужна только в этом
месте, все последующие аргументы локальны в окрестности $O$.


Выберем голоморфные координаты в $O$ таким образом, чтобы
метрика имела диагональный вид, с единицами на диагонали,
$g_{i\bar j k}$ занулялось, а $\phi_{i\bar j}$ было диагонально.
В точке $O$ производные $\Delta u$ по координатам 
записываются так:
\[
(\Delta u)_{p} = \sum_j u_{j\bar j p},
\]
\begin{equation}\label{_Delta_u_pp_Equation_}
(\Delta u)_{p\bar p} = \sum_j u_{j\bar j p\bar p} + 
\sum_j R_{j\bar jp\bar p} u_{j\bar j},
\end{equation}
где $R_{j\bar jp\bar p}=-g_{j\bar jp\bar p}$ -- кривизна. 
Обозначим за $\tilde f$ функцию
$f \det(g_{p\bar q})= \det(u_{p\bar q})$. Тогда
\[
(\log \tilde f)_j=u^{p,\bar q} u_{p\bar q j}.
\]
Здесь $u^{p,\bar q}$ обозначает бивектор, полученный
из гессиана $u_{p\bar q}$ посредством изоморфизма
$T^{1,0}(M)\cong \Lambda^{0,1}(M)$, полученного из метрики. 
Отметим, что в $O$ $u^{p,\bar p}= u_{p,\bar p}^{-1}$,
потому что $g_{ij}$ в $O$ -- единичная матрица.

Дифференцируя еще раз, получаем
\begin{equation}\label{_Delta_log_tilde_f_via_u_Equation_}
\Delta (\log \tilde f)_{j\bar j}=u^{p,\bar q} u_{p\bar q j\bar j}-
u^{p,\bar t}u^{s,\bar q} u_{p\bar q j}u_{s\bar t \bar j}.
\end{equation}
Поэтому
\[
(\log \tilde f)_{j\bar j}=
(\log  f)_{j\bar j} +g^{p,\bar q} g_{p\bar q j\bar j}-
g^{p,\bar t}g^{s,\bar q} g_{p\bar q j}g_{s\bar t \bar j}.
\]
Суммируя это выражение по $j$, получаем
\[
\Delta (\log \tilde f)=\Delta(\log  f)+ W_1,
\]
где $W_1$ выражается через кривизну.
Воспользовавшись выражением \eqref{_Delta_log_tilde_f_via_u_Equation_}
 для $(\log \tilde f)_{j\bar j}$,
получаем в $O$
\begin{equation}\label{_u_ppjj_divided_by_u_pp_Equation_}
\sum_{j,p}\frac  {u_{p\bar p j\bar j}}{u_{p\bar p}}=
\Delta(\log  f) + \sum_{j,p,q} \frac {|u_{p\bar q  j}|^2}{u_{p\bar p}u_{q\bar q}} +W_1 
\end{equation}
Поскольку у $\alpha$ в $O$ максимум, $\alpha_{p\bar p}\leq 0$ в $O$.
А коль скоро $u$ плюрисубгармонично, имеем
$0 \geq \frac{\alpha_{p\bar p}}{u_{p\bar p}}$. Суммируя по $p$
и применяя выражение \eqref{_alpha_pp_Equation_} для
$\alpha_{p\bar p}$, получаем
\begin{equation}\label{_alpha_pp_at_O_nega_long_Equation_}
0\geq \sum_p \frac{\alpha_{p\bar p}}{u_{p\bar p}}=
\frac 1 {\Delta u}
\bigg[\frac{(\Delta u)_{p\bar p}}{u_{p\bar p}}-\frac{|(\Delta u)_{p}|^2}{u_{p\bar p}\cdot\Delta u }\bigg ] + A\sum_p \frac 1 { u_{p\bar p}}-
nA.
\end{equation}

Разность в квадратных скобках
в правой части \eqref{_alpha_pp_at_O_nega_long_Equation_} 
можно оценить более простым выражением.
В силу неравенства Коши-Буняковского-Шварца,
\[|(\Delta u)_{p}|^2 = \left  (\sum_j u_{j\bar j p}\right)^2\leq
\sum_j (u_{j\bar j p})^2 \leq \Delta u 
\sum_j \frac{|u_{j\bar j p}|^2}{u_{j\bar j}}.
\]
Поэтому вычитаемое в квадратных скобках удовлетворяет
неравенству
\begin{equation}\label{_Delta_u_p^2_inequality_Equation_}
\sum_p \frac{|(\Delta u)_{p}|^2}{u_{p\bar p}\cdot\Delta u }\leq
\sum_{p,j} \frac{|u_{j\bar j p}|^2}{u_{j\bar j}\cdot u_{p\bar p}}
\leq\sum_{p,q,j}\frac {|u_{p\bar q  j}|^2}{u_{p\bar p}u_{q\bar q}}
\end{equation}
Частное $\frac{(\Delta u)_{p\bar p}}{u_{p\bar p}}$
можно упростить, воспользовавшись формулой 
\eqref{_u_ppjj_divided_by_u_pp_Equation_}:
\begin{equation}\label{_u_ppjj_u_pp_simplified_Equation_}
\begin{aligned}
\frac{(\Delta u)_{p\bar p}}{u_{p\bar p}} = &
\sum_{j,p}\frac  {u_{j\bar j p\bar p }}{u_{p\bar p}}=\\ = &
\sum_{j,p}\frac  {u_{p\bar p j\bar j}}{u_{p\bar p}} + 
\sum_j R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}=\\= &
\sum_{j,p,q} \frac {|u_{p\bar q  j}|^2}{u_{p\bar p}u_{q\bar q}} +W_2+\sum_j R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}
\end{aligned}
\end{equation}
где $W_2$ зависит от $f$ и кривизны $M$.
Вычитая \eqref{_Delta_u_p^2_inequality_Equation_}
из \eqref{_u_ppjj_u_pp_simplified_Equation_}, получаем следующее
неравенство для разности в квадратных скобках в правой части
\eqref{_alpha_pp_at_O_nega_long_Equation_}:
\begin{equation*}
\begin{aligned}
\bigg[\frac{(\Delta u)_{p\bar p}}{u_{p\bar p}}-\frac{|(\Delta u)_{p}|^2}{u_{p\bar p}\cdot\Delta u }\bigg ] \geq &
\sum_{j,p,q} \frac {|u_{p\bar q  j}|^2}{u_{p\bar p}u_{q\bar q}} +W_2 - \sum_{j,p,q}\frac {|u_{p\bar q  j}|^2}{u_{p\bar p}u_{q\bar q}} +\sum_{j,p} R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}\\ =&
W_2+\sum_{j,p} R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}
\end{aligned}
\end{equation*}
Мы существенно упростили 
\eqref{_alpha_pp_at_O_nega_long_Equation_}: 
\begin{equation}\label{_alpha_pp_at_O_shorter_Equation_}
0\geq A\sum_p \frac 1 { u_{p\bar p}}- nA +\frac 1 {\Delta u} W_2
+\frac 1 {\Delta u}\sum_{j,p} R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}
\end{equation}
Поскольку $\prod u_{p\bar p}=f(O)$, из неравенства между
средним арифметическим и средним геометрическим следует, для любого 
фиксированного $q$,
\[
\sum_p\frac 1 { u_{p\bar p}}  \geq \sum_{p\neq q}\frac 1 { u_{p\bar p}}
\geq\sqrt[n-1] {\frac{(n-1)u_{q\bar q}} {f(O)}}.
\]
Возводя в $n-1$-ю степень и суммируя по $q$, получаем
\[
  \left(\sum_p\frac 1 { u_{p\bar p}}\right)^{n-1} \geq C_1\Delta u 
\]
где $C_1=\frac{f(O)}{n-1}$.
Это позволяет оценить сумму 
$\sum_{j,p} R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}$
(последний член правой части \eqref{_alpha_pp_at_O_shorter_Equation_}):
\[
\left |\sum_{j,p} R_{j\bar jp\bar p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}\right |
\leq C_2 \sum_{j,p} \frac{u_{j\bar j}}{u_{p\bar p}}\leq 
C_2 \sum_p\frac {\Delta u} { u_{p\bar p}}\leq C_3 (\Delta u)^{\frac{n}{n-1}},
\] 
где константа $C_2$ выражается через кривизну,
а $C_3$ через $C_2$ и $C_1$. Применяя это к 
\eqref{_alpha_pp_at_O_shorter_Equation_}, получаем
\begin{equation}\label{_inequa_w_A_powers_Equation_}
  0\geq A(C_1\Delta u)^{\frac n {n-1}} - nA\Delta u  +  W_2 - 
  C_3 (\Delta u)^{\frac{n}{n-1}}.
\end{equation}
Выберем $A$ достаточно большим, чтобы
$B:= C_1A -C_3 >0$ (тут используется, что $C_1=\frac{f(O)}{n-1}>0$). 
Тогда из \eqref{_inequa_w_A_powers_Equation_}
получится
\[
B (\Delta u)^{\frac{n}{n-1}}\leq nA\Delta u + W_2,
\]
что дает оценку сверху на $\Delta u$.




{\small
\begin{thebibliography}{XXX}

\bibitem[Be]{_Besse_} A. Besse, Einstein manifolds, Springer-Verlag, 1987.

\bibitem[Bl]{_Blocki:gradient_}  
Zbigniew B\l ocki 
{\em A gradient estimate in the Calabi-Yau theorem,}
http://gamma.im.uj.edu.pl/~blocki/publ/index.html (preprint).

\bibitem[C]{_Chen:local_} 
Szu-yu Sophie Chen,
{\em Local Estimates for Some Fully Nonlinear Elliptic
Equations}, arXiv:math/0510652.


\bibitem[J]{_Joyce_Book_}
Joyce, D.,  
{\em Compact manifolds with special holonomy}, Oxford Mathematical
   Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2000. 

\bibitem[S]{_Schulz:C^2_} 
F. Schulz, 
{\em A $C^2$-estimate for solutions of complex Monge-Amp\'ere 
equations,} J. Reine Angew. Math. 348 (1984), 88-93.


\bibitem[T]{_Trudinger:ICM2006_} 
Neil Trudinger, {\em
Recent developments in elliptic partial differential
equations of Monge-Ampere type}, International Congress of
Mathematicicians, Madrid, August 2006





\end{thebibliography}
}% end of small


\end{document}
