
\documentclass[11pt]{article}
\hyphenation{Ка-ла-би-Яу}
\usepackage{amsmath, amssymb, amscd}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}


\newcommand{\goth}{\frak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Lin}{\operatorname{Lin}}
\newcommand{\Hor}{\operatorname{Hor}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 4pt height 4pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\makeatletter

\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize 
          {$C^0$-оценки в теореме Ка\-ла\-би-\-Яу}
           \hfil\tiny {М. Вербицкий, июнь 2006, для
  ljr-math@ljr }}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}

\makeatother

\pagestyle{verbit}

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\LARGE\bf $C^0$-оценки в теореме Ка\-ла\-би-\-Яу}
\\[4mm]
Миша Вербицкий
\\[4mm]
\end{center}

\tableofcontents

\section{Введение}

Теорема Ка\-ла\-би-\-Яу является в определенном
смысле "основной теоремой алгебраической геометрии", ибо
практически любой труд по многообразиям Ка\-ла\-би-\-Яу, 
гиперкэлеровым либо зеркальной симметрии основывается 
на теореме Ка\-ла\-би-\-Яу и ее использует. Плюс к тому, 
естественно, вся струнная физика.

Доказательство этой теоремы населению непонятно, 
ее используют в качестве "черного ящика"; людей,
разбиравших доказательство целиком, очень мало. 
Я расскажу вкратце, как оно устроено,
и воспроизведу самую простую из нужных оценок.


Итак, мы имеем дело с компактным кэлеровым
мноообразием \[ (M, I, g, \omega, \rho), \dim_\C M =n. \]
Здесь I - оператор комплексной структуры, g метрика,
$\omega(x, y):= g(x, Iy)$ эрмитова форма, а
$\rho:= \Theta_K$ кривизна канонического класса,
являющаяся (1,1)-формой. {\bf Кривизной Риччи} многообразия
$M$ называется симметрическая форма $\1\rho(x, Iy)$.
Обычное определение кривизны Риччи другое (и более
общее), но для кэлеровой геометрии это удобнее.

 $M$ называется {\bf многообразием
Ка\-ла\-би-\-Яу}, если на нем задано невырожденное сечение
канонического класса $\Omega$. В этом случае, естественно,
$\rho$ когомологично нулю. Если $\rho=0$, $M$ называется
{\bf Риччи-плоским}. Риччи-плоские кэлеровы метрики
называются метриками Ка\-ла\-би-\-Яу.

\hfill

{\bf ТЕОРЕМА 1} (Ка\-ла\-би-\-Яу) Пусть 
$(M, I, g, \omega, \rho, \Omega)$. - многообразие
Ка\-ла\-би-\-Яу. Тогда в классе когомологий $[\omega]$
существует и единственна метрика Ка\-ла\-би-\-Яу.

Единственность метрики Ка\-ла\-би-\-Яу была доказана Калаби в 
начале 1950-х, существование - предложено Калаби как гипотеза,
и доказано Яу в 1976; за этот результат Яу дали различные премии.

Та часть доказательства, за которую отвечает Калаби,
весьма красивая. Сначала надо переформулировать свойство
риччи-плоскости в терминах уравнения Монжа-Ампера, это 
делается так.

\section{Комплексное уравнение Монжа-Ампера}
\subsection{Теорема Ка\-ла\-би-\-Яу и уравнение Монжа-Ампера}

Заметим, что канонический класс $M$ тривиализован формой
$\Omega$. В этой тривиализации, метрика на каноническом 
классе записывается так:
\[
 |\Omega|^2 =  \frac{\Omega \wedge \bar\Omega}{\Vol_M}
\]
где $\Vol_M$ - форма риманова объема на $M$. Это определение
метрики на кан. классе. Кривизна канонического класса
записывается, по известной формуле, так
\[
\rho = d d^c \log |\Omega|^2
\]
С другой стороны, 
\[ 
\Vol_M = \frac{1}{2^n n!} \omega^n.
\]
Поэтому $\rho=0$ тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{_volume_via_holo_Equation_}
\frac{\omega^n}{\Omega \wedge \bar\Omega}=const. 
\end{equation}
Обозначим за $d^c$ "скрученный дифференциал де Рама" $- I d I$.
Две разные кэлеровы формы в одном классе когомологий
отличаются на $d d^c \phi$, где $\phi$ это функция.
Это следует из известной "$dd^c$-леммы".

ЛЕММА ($dd^c$-лемма) Если $\eta$ точная (p,q)-форма
на компактном кэлеровом многообразии, то $\eta = dd^c\eta'$,
для какой-то (p-1,q-1)-формы $\eta'$.

Поэтому риччи-плоскую кэлерову метрику можно искать в виде
$\omega + d d^c \phi$. Уравнение
\eqref{_volume_via_holo_Equation_} в такой ситуации 
равносильно такому
\begin{equation}\label{_MA_Equation_}
\frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}= e^f,   
\end{equation}
где $e^f = \frac{\Omega \wedge \bar\Omega}{\omega^n}$.

Это уравнение называется "уравнение Монжа-Ампера". Напишем
\[
MA(\phi):= \frac{(\omega+dd^c\phi)^n}{\omega^n}.
\]
В силу \eqref{_volume_via_holo_Equation_}, метрика $\omega + d d^c \phi$ является
Риччи-плоской тогда и только тогда, когда $MA(\phi)=e^f$.

Отметим, что из \eqref{_MA_Equation_} сразу следует, что 
(1,1)-форма $\omega + d d^c \phi$ положительно определена.
Действительно, детерминант этой формы положителен,
значит сигнатура ее постоянна. С другой стороны, в
точке, где $\phi$ достигает минимума, (1,1)-forma
$dd^c\phi$ положительна, значит, $\omega+dd^c\phi$
положительно определена.

Поэтому вот такое утверждение равносильно теореме Ка\-ла\-би-\-Яу

\hfill

{\bf ТЕОРЕМА 2.}  Пусть $(M, \omega)$ - компактное 
кэлерово многообразие (не обязательно Ка\-ла\-би-\-Яу), а
$f$ - любая гладкая функция на $M$, такая, что
\begin{equation}\label{_A_f_coe_Equation_}
\int_M e^f \omega^n = \int_M \omega^n.  
\end{equation}
Тогда
$MA(\phi)=e^f$ имеет решение $\phi$, причем единственное
(с точностью до константы).

Именно его и доказывают.

\subsection{Единственность решений Монжа-Ампера}
Пусть $\omega_1$, $\omega_2$ - кэлеровы формы, соответствующие
двум разным решениям уравнения Монжа-Ампера, 
$\omega_i = \omega + d d^c \phi_i$,
и $\phi= \phi_1 - \phi_2$.
Поскольку $\omega_1^n=\omega_2^n$,
имеем
\[
0 = \omega_1^n-\omega_2^n 
  = (\omega_1-\omega_2)\wedge (\omega_1^{n-1} 
  + \omega_1^{n-2}\wedge \omega_2 + \omega_1^{n-3}\wedge \omega_2^2 + ...)
\]
Обозначим $(n-1, n-1)$-форму в скобках за $P$. 
Это уравнение переписывается как
\[
dd^c\phi \wedge P = 0.
\]
Форма $P$ положительна; воспользовавшись нехитрой
линейной алгеброй, нетрудно убедиться, что $P= \alpha^{n-1}$,
где $\alpha$ есть положительная $(1,1)$-форма. 
Но уравнение $dd^c\phi \wedge\alpha^{n-1}=0$
означает, что $\phi$ гармонична относительно 
оператора Лапласа, связанного с $\alpha$. Значит,
$\phi$ - константа.
\subsection{Метод непрерывности}
Яу доказал свою теорему посредством изобретенного 
им "метода непрерывности". А делается это так.

Напишем уравнение с параметром $t\in [0,1]$,
\begin{equation}\label{_MA_with_para_Equation_}
MA(\phi)=A_t e^{tf},   
\end{equation}
где $A_t$ - вещественная константа, выбираемая таким
образом, чтобы $\int_M \omega^n = \int_M A_t e^{tf} \omega^n$.
При $t=0$ это уравнение имеет решение $\phi=0$, а при
$t=1$ превращается в искомое. Обозначим за $S$ подмножество
$[0,1]$, при котором \eqref{_MA_with_para_Equation_} имеет решение. 
Яу доказал, что $S$ одновременно открыт и замкнут, таким образом, 
совпадает с [0,1]. Это и называется "метод непрерывности".

Оператор $MA(\phi)$ эллиптический, и его линеаризация
это оператор Лапласа. Поэтому на соответствующем
банаховом пространстве $MA$ действует как изоморфизм,
в частности, является наложением. Чтобы доказать, что
решение Монжа-Ампера, полученное таким образом (обобщенное,
соответственно, возможно, особое) является гладкой функцией,
требуется оценка на это решение и его производные. Чтобы
доказать, что предел решений Монжа-Ампера опять
решение Монжа-Ампера, нужно нечто вроде теоремы 
Арцела-Асколи, то есть равномерная непрерывность
и ограниченность решений. Для этого тоже нужны оценки.
Таким образом, теорема Ка\-ла\-би-\-Яу вытекает из
"априорных оценок" на решения и их производные,
в терминах $M$, $\omega$ и $f$.

\section{Априорные оценки на решения Монжа-Ампера}

Напомню, что $C^0$-норма на сечениях расслоения $B$ с метрикой
на компактном римановом многообразии задается как 
\[
|\phi|_{C^0}= \sup|\phi|.
\]
Если ж на $B$ задана связность $\nabla$,
можно взять ее $k$-ю степень (применяя где надо связность
Леви-Чивита), $\nabla^k:\; B \arrow (\Lambda^1)^{\otimes k} B$.
Тогда $|\phi|_{C^k}$ есть $C_0$-норма $\nabla^k \phi$,
\[
|\phi|_{C^k} = \sup | \nabla^k \phi|,
\]

{\bf ТЕОРЕМА 3.} В условиях Теоремы 2, предположим, что
$\phi$ - решение уравнения Ка\-ла\-би-\-Яу, 
$MA(\phi)= e^f$, причем $\int_M \phi \Vol_M=0$
(последнее условие нужно, потому что $\phi$ определено
с точностью до константы). Тогда существуют константы
$A_0$, $A_2$, $A_3$, зависящие от $\omega$ и $f$,
такие, что норма $\phi$ ограничена
следующим образом
\[
|\phi|_{C^0} < A_0, \ \ |\phi|_{C^2}< A_2, \ \ |\phi|_{C^3}< A_3, 
\]

\hfill

Оценки эти доказываются последовательно: нулевая, из нее
выводится вторая и третья. Нулевая самая трудная, но 
концептуально, наоборот, наиболее внятная. Я расскажу
только про нее.

Схема доказательства этой оценки такая.

\begin{description}
\item[1.] Получаем $L^2$-оценку на $\phi$.

\item[2.] Из $L^p$-оценки выводим $L^{p\mu}$-оценку,
где $\mu= \frac{2n}{2n-1}$. По индукции получаем, 
$|\phi|_{L^p}$ для всех $p2$ ограничена константой, выражающейся
через $f$ и $\omega$.

\item[3.] Это дает оценку на $|\phi|_{L^\infty}$. Но $L^\infty$-норма и
есть $C^0$-норма.
\end{description}

\subsection{Получение априорной $L^2$-оценки решений Мон\-жа-\-Ам\-пе\-ра}

Пусть $\omega_1=\omega+ dd^c \phi$ - решение уравнения
Монжа-Ампера $\omega_1^n = e^f \omega$. Тогда
\[
(1-e^f)\omega^n = \omega^n-\omega_1^n 
  = dd^c \phi\wedge (\omega^{n-1} 
  + \omega^{n-2}\wedge \omega_1 + \omega^{n-3}\wedge
  \omega_1^2 + ...) = dd^c \phi\wedge P,
\]
где $P = \alpha^{n-1}$ - $(n-1, n-1)$-форма, определенная
чуть выше. По построению, ясно, что $\alpha\geq \omega$
(т.е. собственные значения формы $\alpha-\omega$
неотрицательны.
Поэтому
\begin{align*} 
  \Vol(\alpha, M) (d\phi, d\phi)_\alpha   = & 
   \int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P \\\geq &
   \int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge \omega^{n-1} 
   =  \Vol_M (d\phi, d\phi)_\omega
\end{align*}
где $\Vol(\alpha, M)$ обозначает риманов объем $M$, взятый
относительно эрмитовой формы $\alpha$.
Домножив форму $\omega$ на константу, 
можно считать, что риманов объем $\Vol_M$
равен 1. Мы будем работать в этом предположении. Тогда
из вышеприведенного неравенства следует, что
\begin{equation}\label{_|d_phi|^2_via_int_Equation_}
\int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P \geq |d\phi|^2_{L^2} 
\end{equation}
Воспользовавшись формулой Стокса, напишем
\begin{equation}\label{_Stokes_and_|d_phi|^2_Equation_}
0 = \int_M d(\phi\wedge d^c \phi\wedge P)=
    \int \phi dd^c \phi\wedge P + \int_M d\phi\wedge d^c
    \phi\wedge P. 
\end{equation}
Поскольку $(1-e^f)\omega^n = dd^c \phi\wedge P,$
имеем
\[
\int \phi dd^c \phi\wedge P\leq |\phi|_{L^1} C
\]
где $C= \sup |1-e^f|$.
Поэтому \eqref{_Stokes_and_|d_phi|^2_Equation_} влечет
\begin{equation}\label{_L^1_less_L^2_^2_Equation_}
C|\phi|_{L^1}\geq 
       \int_M d\phi\wedge d^c \phi\wedge P 
       \geq |d\phi|^2_{L^2}     
\end{equation}
(последнее неравенство следует из \eqref{_|d_phi|^2_via_int_Equation_}.)

Напомню неравенство Гельдера:

\hfill

{\bf ЛЕММА} (неравенство Гельдера)\\
На компактном многообразии, имеем
\[
|x|_{L^p} |y|_{L^p} \geq |xy|_{L^r},
\]
если $r= \frac{pq}{p+q}$, и $r, p, q\geq 0$.

\endproof

\hfill

Подставляя $y=1$, получаем 
\[
|x|_{L^p} (\Vol_M)^{1/p} \geq |x|_{L^r}
\]
Поскольку $\Vol_M=1$, это неравенство означает,
что $ |x|_{L^p}$ неубывает как функция $p$.
В частности, 
\[ 
   |\phi|_{L^1}\leq |\phi|_{L^2}. 
\]
Также имеем $|d\phi|_{L^2}\leq \lambda^{-1} |\phi|_{L^2}$,
где $\lambda$ - наименьшее собственное значение лапласиана
на функциях.   Подставляя это в \eqref{_L^1_less_L^2_^2_Equation_}, получаем
\[ 
   C \lambda^{-1}|\phi|_{L^2}\geq |\phi|_{L^2}^2. 
\]
т.е. $|\phi|_{L^2} \leq C\lambda^{-1}$.
$L^2$-оценка получена. 

\subsection{Выведение $L^{p\mu}$-оценки из $L^p$-оценки}

Хочу отметить, что функция $\phi|\phi|^{p-1}$
определена для любого вещественного $p$, и ее 
дифференциал равен
\[
d(\phi|\phi|^{p-1}) = (p-1)|\phi|^{p-2}d\phi
\]
Имеем
\begin{equation}\label{_phi^p_via_Stokes_Equation_}
\begin{aligned}
0 = & \int_M d(\phi|\phi|^{p-1}\wedge d^c \phi\wedge P) \\
  \ = &
    \int_M \phi |\phi|^{p-1}dd^c \phi\wedge P + 
    (p-1) \int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P. 
\end{aligned}
\end{equation}
Пользуясь 
$(1-e^f)\omega^n = dd^c \phi\wedge P,$
получаем, что первый член слева от равенства 
\eqref{_phi^p_via_Stokes_Equation_}
оценивается как
\begin{equation}\label{_phi_dd^c_phi_less_L^p-1_Equation_}
\int_M \phi |\phi|^{p-1}dd^c \phi\wedge P \leq C
|\phi|_{L^{p-1}}^{p-1} 
\end{equation}
Также имеем 
\[
\int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P 
 = \frac{4}{p^2} \int_M d(|\phi|^{p/2})\wedge d^c (|\phi|^{p/2})\wedge P.
\]
Рассуждение, аналогичное приведенному выше, дает
\[ 
  \int_M|\phi|^{p-2} d\phi\wedge d^c \phi\wedge P\geq
  |d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2.           
\]
Сравнивая это с 
\eqref{_phi_dd^c_phi_less_L^p-1_Equation_}, получаем
\[
C |\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq \frac{4(p-1)}{p^2} |d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2. 
\]
Это обобщение аналогичного неравенства, полученного
при выводе $L^2$-оценки. В предлопожении $p\geq 2$, констант
справа от неравенства можно упростить, ибо она меньше $1/p$.
Поэтому
\begin{equation}\label{_final_inequa_for_L^p_Equation_}
C p|\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq |d(|\phi|^{p/2})|_{L^2}^2. 
\end{equation}

Воспользуемся леммой Соболева

\hfill

{\bf ЛЕММА} (Соболев). \\
Пусть $\psi$ - гладкая функция на
$m$-мерном многообразии, $\mu:=\frac{m}{m-1}$. Тогда 
\[
|\psi|^2_{L^{2\mu}}\leq const (|d\psi|^2_{L^2}+ |\psi|^2_{L^2})
\]

{\bf Доказательство:} \\
Естественное отображение соболевских пространств
\[ L^2_1(M) \arrow L^{2\mu}\] 
непрерывно. \endproof

\hfill

Теперь, из \eqref{_final_inequa_for_L^p_Equation_} сразу вытекает
\[
C p |\phi|_{L^p-1}^{p-1}\geq |\phi|^p_{L^{\mu p}} - |\phi|^p_{L^{p}}
\]
Нужная нам форма неравенства такая
\begin{equation}\label{_final_inequa_with_Sobo_Equation_}
|\phi|^p_{L^{\mu p}}\leq |\phi|^p_{L^{p}} + C p |\phi|_{L^p-1}^{p-1}. 
\end{equation}
Рассмотрим функцию $R(p):= |\phi|^p_{L^{p}}$. 
Эта функция неубывает, что легко видеть из неравенства
Гельдера (мы предполагаем $\int_M \Vol_M =1$). Тогда неравенство
\eqref{_final_inequa_with_Sobo_Equation_} переписывается в виде
\begin{equation}\label{_final_inequa_with_R(p)_Equation_}
R(\mu p) \leq (Cp R(p-1) + R(p))^\mu. 
\end{equation}
Нам нужна оценка на $R(p)^{1/p}$.
Из \eqref{_final_inequa_with_R(p)_Equation_} получаем, что
\begin{equation}\label{_final_inequa_with_R(p)_simple_Equation_}
R(\mu p) \leq (Cp R(p))^\mu. 
\end{equation}
Пусть $x=\log p$, и $R_1(x) = \log R(e^x)$.
Неравенство
\eqref{_final_inequa_with_R(p)_simple_Equation_} 
переписывается в виде
\[
R_1(v + x) \leq C + \mu (x+ R_1(x)),
\]
где $v=\log\mu$.
Это рекурсивное неравенство гарантирует, что
$R_1$ растет не быстрее, чем экспоненциально
\[
R_1(k v)\leq \mu ^k C_1
\]
где $C_1\geq \max (C\mu, 3 v\mu).$
Иначе говоря,
\[
R_1(x) \leq \const \mu^x,
\]
Получаем
\[
R(p)\leq \exp(C_1 \mu^{\log p})= \exp(C_1 p)
\]
где константа $C_1$ зависит только от геометрии $M$ и $f$.
Из этого немедленно получаем оценку на $|\phi|_{L^p}= R(p)^{1/p}.$
Значит, $|\phi|_{L^p}$ ограниченно универсальной константой
для всех $p$. Такие функции, как легко видеть, ограничены
той же самой константой, ибо 
\[
\lim_{p\arrow \infty} |\phi|_{L^p} = \sup |\phi|.
\]
Мы доказали $C^0$-оценку.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Теорема Обана-Калаби-Яу}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection{Метрики Кэлера-Эйнштейна}

Рассуждения Калаби и Яу отчасти обобщаются для многообразий
с ненулевым каноническим классом. Пусть задано
кэлерово многообразие
\[ (M, I, g, \omega, \rho), \dim_\C M =n. \]
$\rho$ обозначает кривизну канонического класса,
то есть форму, представляющую $c_1(M)$. Предположим,
что класс когомологий $\omega$
пропорционален $c_1(M)$: $\epsilon [\omega]= [\rho]$.
В случае многообразий Калаби-Яу, эта константа равна 0.
Метрика $\omega$ называется {\bf метрикой
Кэ\-ле\-ра-\-Эйн\-штей\-на}, если это равенство имеет
место для дифференциальных форм:
\[
\epsilon \omega= \rho
\]
Если константа $\epsilon$ неотрицательная, 
метрика Кэлера-Эйнштейна существует и единственна
в данном классе когомологий $[\omega]$,
при условии $\epsilon[\omega]=  [\rho]$.
Это обобщение теоремы Калаби-Яу называется
{\bf теорема Оба\-на-\-Ка\-ла\-би-\-Яу}, ее доказали
Яу и Обан (Aubin) через несколько лет
после того, как Яу доказал это же утверждение
для $\epsilon=0$. Для отрицательного $\epsilon$
задача становится невероятно трудной -
решений уравнения Обана-Калаби-Яу может
не быть, или их может быть несколько.
Это было известно еще Калаби.

Многообразия, удовлетворяющие $\epsilon[\omega]=  [\rho]$
с положительной константой - многообразия {\bf общего типа}
(канонический класс обилен), для отрицательной константы
они называются {\bf ногообразиями Фано} (обилен антиканонический
класс). Задача нахождения метрик Кэ\-ле\-ра-\-Эйн\-штей\-на
на многообразиях Фано оказалась чрезвычайно важна в алгебраической
геометрии, ибо сводится к вопросам стабильности многообразий
в их пространствах модулей. Сейчас этой наукой занимаются
очень много народу (Дональдсон, Тиан, Мабучи etc).


Пусть $\omega_1= \omega+ dd^c u $ - другая метрика
в том же классе когомологий. Поскольку кривизна
линейного расслоения выражается через модуль
голоморфного вектора как $\rho = \log |v|^2$,
кривизна канонического класса в метрике $\omega_1$
будет записываться как
\[
\rho_1 = \rho - d d^c \log MA(u),
\]
где $MA(u) = \frac{(\omega+ d d^c u)^n}{\omega^n}$.
Запишем $ \rho+dd^c f = \epsilon\omega$.
Теперь уравнение Кэлера-Эйнштейна $\omega_1 = \epsilon \rho_1$
переписывается как 
\[
 dd^c f+ - d d^c \log MA(u)) = \epsilon dd^c u.
\]
Пользуясь тем, что $dd^c$ на функциях инъективно (по
модулю констант), это уравнение может быть переписано как
\[
\log MA(u)) + \epsilon u = f + \const.
\]
Это уравнение ($f$ дано, $u$ неизвестная)
называется {\bf уравнение Обана-Калаби-Яу};
когда $\epsilon=0$, оно превращается в уравнение
Монжа-Ампера. Как и уравнение
Монжа-Ампера, уравнение Обана-Калаби-Яу
имеет единственное решение на любом кэлеровом
многообразии, без ограничений на канонический класс.


\subsection{Уравнение Обана-Калаби-Яу}

Единственность решений Обана-Калаби-Яу и 
$C^0$-оценки для $\epsilon>0$ проще,
чем при $\epsilon=0$, а для $\epsilon<0$ 
они гораздо труднее.

\hfill

{\bf ТЕОРЕМА} Пусть $(M, \omega)$ - 
компактное кэлерово многообразие,
$f$ гладкая функция, $\epsilon$ - положительная константа. 
Тогда существует единственное $u$ такое, что
\begin{equation}\label{_ACY_Equation_}
\log MA(u)) + \epsilon u =f.
\end{equation}
где $MA(u) = \frac{(\omega+ d d^c u)^n}{\omega^n}$.

Я докажу единственность решений и $C^0$-оценки.

$C^0$-оценки на $u$ элементарные. Рассмотрим точку $x_0$,
где у $u$ максимум. В этой точке форма $dd^c u$ 
отрицательна, следовательно, $MA(u)\leq 1$.
Поскольку
\[ 
\epsilon u(x) = \log MA(u))(x) + f(x) \leq f(x),
\]
имеем $\epsilon u \geq \sup f$. Аналогично,
$\epsilon u \leq \sup f$. То есть минимум $u$
и максимум $u$ ограниченны константами, зависящими
только от $f$ и $\epsilon$.

Единственность решений тоже легко видеть. Если
$u_1$, $u_2$ решения \eqref{_ACY_Equation_}, $u:=u_1-u_2$,
то 
\[
  \log MA(u_1)-\log MA(u_2)= 
  \log \frac{(\omega_2+ d d^c u)^n}{\omega_2^n},
\]
где $\omega_2= \omega+ d d^c u_2$. Поэтому имеем
\begin{equation}\label{_ACY_for_uniqu_Equation_}
\log \frac{(\omega_2+ d d^c u)^n}{\omega_2^n} + \epsilon u =0.
\end{equation}
В силу того же самого аргумента, в точке максимума $u$
$\omega_2+ d d^c u\leq \omega_2$, первый член в
\eqref{_ACY_for_uniqu_Equation_} отрицательный, 
и $\epsilon u$ неположителен. Аналогично, в
точке минимума $u$ неотрицателен. Поэтому $u=0$.


{\small
\begin{thebibliography}{XXX}

\bibitem[B]{besse} A. Besse, Einstein manifolds, Springer-Verlag, 1987.

\bibitem[J]{_Joyce_Book_}
Joyce, D.,  
{\em Compact manifolds with special holonomy}, Oxford Mathematical
   Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2000. 


\end{thebibliography}
}% end of small


\end{document}