%
\documentclass[10pt]{article}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage[russian]{babel}


\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\frak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Lin}{\operatorname{Lin}}
\newcommand{\Hor}{\operatorname{Hor}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 4pt height 4pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

\@ifundefined{Bbb}
     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize
          {Теория Ходжа на многообразиях Грэя}
          \hfil\tiny {М. Вербицкий, 27 октября 2005 }}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{Mycounter}[section]
\newcounter{lemma}[section]
\setcounter{lemma}{0}
\renewcommand{\thelemma}{{\thesection.\arabic{lemma}}}
\newcommand{\lemma}{%
     \setcounter{lemma}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{lemma}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Лемма  \thelemma:\ }}

\newcounter{claim}[section]
\setcounter{claim}{0}
\renewcommand{\theclaim}{{\thesection.\arabic{claim}}}
\newcommand{\claim}{%
     \setcounter{claim}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{claim}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Утверждение \theclaim:\ }}

\newcounter{sublemma}[section]
\setcounter{sublemma}{0}
\renewcommand{\thesublemma}{{\thesection.\arabic{sublemma}}}
\newcommand{\sublemma}{%
     \setcounter{sublemma}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{sublemma}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Сублемма \thesublemma:\ }}

\newcounter{corollary}[section]
\setcounter{corollary}{0}
\renewcommand{\thecorollary}{{\thesection.\arabic{corollary}}}
\newcommand{\corollary}{%
     \setcounter{corollary}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{corollary}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Следствие \thecorollary:\ }}

\newcounter{theorem}[section]
\setcounter{theorem}{0}
\renewcommand{\thetheorem}{{\thesection.\arabic{theorem}}}
\newcommand{\theorem}{%
     \setcounter{theorem}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{theorem}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Теорема \thetheorem:\ }}

\newcounter{conjecture}[section]
\setcounter{conjecture}{0}
\renewcommand{\theconjecture}{{\thesection.\arabic{conjecture}}}
\newcommand{\conjecture}{%
     \setcounter{conjecture}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{conjecture}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Гипотеза \theconjecture:\ }}

\newcounter{proposition}[section]
\setcounter{proposition}{0}
\renewcommand{\theproposition}
       {{\thesection.\arabic{proposition}}}
\newcommand{\proposition}{%
     \setcounter{proposition}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{proposition}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Предложение \theproposition:\ }}

\newcounter{definition}[section]
\setcounter{definition}{0}
\renewcommand{\thedefinition}
       {{\thesection.\arabic{definition}}}
\newcommand{\definition}{%
     \setcounter{definition}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{definition}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Определение \thedefinition:\ }}


\newcounter{example}[section]
\setcounter{example}{0}
\renewcommand{\theexample}{{\thesection.\arabic{example}}}
\newcommand{\example}{%
     \setcounter{example}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{example}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Пример \theexample:\ }}

\newcounter{remark}[section]
\setcounter{remark}{0}
\renewcommand{\theremark}{{\thesection.\arabic{remark}}}
\newcommand{\remark}{%
     \setcounter{remark}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{remark}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Замечание \theremark:\ }}


\newcounter{problem}[section]
\setcounter{problem}{0}
\renewcommand{\theproblem}{{\thesection.\arabic{problem}}}
\newcommand{\problem}{%
     \setcounter{problem}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{problem}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Задача \theproblem:\ }}


\newcounter{question}[section]
\setcounter{question}{0}
\renewcommand{\thequestion}{{\thesection.\arabic{question}}}
\newcommand{\question}{%
     \setcounter{question}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{question}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Вопрос \thequestion:\ }}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\LARGE\bf Теория Ходжа на приблизительно \\[3mm] кэлеровых многообразиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[4mm]
Михаил Вербицкий\footnote{Написано при поддержке гранта
GR/R77773/01 от EPSRC}
\\[4mm]

{\tt verbit@maths.gla.ac.uk, \ \  verbit@mccme.ru}
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\small 
\hspace{0.15\linewidth}
\begin{minipage}[t]{0.7\linewidth}
Приблизительно кэлеровым многообразием
называется трехмерное почти комплексное эрмитово
многообразие $(M,I, \omega, \Omega)$ 
со структурной группой, редуцированной к $SU(3)$,
где $\Omega$ обозначает каноническую (3,0)-форму,
а $\omega$ эрмитову (1,1)-форму, причем 
выполняются соотношения $d\omega=3\lambda\Re\Omega$,
$d\Im\Omega=-2\lambda\omega^2$, для ненулевой
вещественной константы $\lambda$. 
Мы выводим аналог кэлеровых тождеств на 
$M$, получая попутно полезные соотношения
между естественными операторами Лапласа
на $M$. Когда $M$ компактно, эти соотношения
влекут сильные результаты о структуре 
когомологий $M$. Мы доказываем, что
гармонические формы на $M$ допускают
разложение Ходжа, и группа $H^{p,q}(M)$ может
быть ненулевой только если $p=q$ или 
$(p=1, q=2)$ или $(p=2, q=1)$.
\end{minipage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{
\small
\tableofcontents
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Введение}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Приблизительно кэлеровы 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зия}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Приблизительно кэлеровы многообразия, ныне известные
как многообразия Грэя (\cite{_MNS:DNK_}), были определены
и изучались Альфредом Грэем (\cite{_Gray:1965_}, \cite{_Gray:NK_}, 
\cite{_Gray:weak_holo_}, \cite{_Gray:structure_NK_}) 
в широком контексте теории слабых голономий
и естественного кручения общих $U(n)$-структур.
Почти комплексное эрмитово многообразие $(M,I)$ называется
{\bf приблизительно кэлеровым}, если
\[ \nabla_X(I) X=0,\] для каждого векторного поля $X$ на $M$
(здесь $\nabla$ обозначает связность Леви-Чивита). 
Иначе говоря, тензор $\nabla\omega$ , где $\omega$ 
обозначает эрмитову $(1,1)$-форму,
должен быть тотально антисимметричным.
Если к тому же $\nabla_X(\omega)\neq 0$
для любого ненулевого векторного поля $X$, 
многообразие $M$ называется {\bf строго
приблизительно кэлерово}.

Используя глубокие результаты Кириченко
и Клейтона-Суонна (см. \cite{_Kirichenko:torsion_NK_}, \cite{_Cleyton_Swann_}),
П.-А. Надь в работе \cite{_Nagy:splittine_} 
доказал, что любое строго приблизительно
кэлерово многообразие локально изоморфно произведению
локально однородных пространств, строго 
приблизительно кэлеровых многообразий
размерности 6, и пространств твисторов
кватернионно-кэлеровых многообразий
с положительной кривизной Риччи, снабженных
метрикой Ил\-за-\-Са\-ла\-мо\-на (\cite{_Eels_Salamon_}).

В современной математической литературе термин 
``приблизительно кэ\-ле\-ро\-во'' обыкновенно обозначает
строго приблизительно кэлеровы 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зия.
В настощей статье мы будем следовать этой традиции,
часто опуская ``строго'' и ``6-мерное''.

Историю этого понятия, большое число эквивалентных
определений и библиографию текущих работ в области
можно найти в работах
\cite{_Moroianu_Nagy_Semmelmann:NK_}
и \cite{_Verbitsky:NK_}. 

Для нас удобнее определять приблизительно 
кэлеровы 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зия в терминах дифференциальных
форм, следующим образом.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition
Пусть дано эрмитово почти комплексное 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие
$(M, I, \omega)$. Тогда следующие условия эквивалентны.

\begin{description}

\item[(i)] Тензор $\nabla_X(I) Y$ кососимментричен
по отношению к перестановкам векторных
полей $X$, $Y$, и не равен нулю.

\item[(ii)] Форма $\nabla\omega\in \Lambda^1(M)\otimes \Lambda^2(M)$
ненулевая и тотально кососимметричная (иначе говоря, 
 $\nabla\omega$ --- 3-форма).\footnote{Отметим,
что в этом случае из формулы Картана вытекает 
$d\omega = \nabla\omega$.}

\item[(iii)] Структурная группа $M$ допускает редукцию
к $SU(3)$; иначе говоря, на $M$ задана (3,0)-форма 
 $\Omega$, удовлетворяющая $|\Omega|=1$, и выполнено
следующее
\begin{equation}\label{_NK_defi_forms_Equation_}
\begin{aligned}
d\omega = &  3\lambda \Re\Omega,\\
d \Im \Omega = &  -2 \lambda\omega^2
\end{aligned}
\end{equation}
где $\lambda$ --- ненулевая вещественная константа.
\end{description}
{\bf Доказательство:} Хорошо известно; см. напр.
  \cite{_Verbitsky:NK_}. \endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
$SU(3)$-многообразие $(M, \omega, \Omega, I)$
называется  {\bf приблизительно кэлеровым}, 
если выполнено уравнение \eqref{_NK_defi_forms_Equation_}. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Приблизительно кэлеровы многообразия в
геометрии и физике}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В работе \cite{_Verbitsky:NK_} 
было доказано, что если приблизительно
кэлерово многообразие $M$ не изометрично
локально 6-мерной сфере, почти комплексная
структура на $M$ однозначно определяется
метрикой. В  \cite{_Friedrich:S^6_} это было
доказано и для  $S^6$. Также в \cite{_Verbitsky:NK_} 
было показано, что метрика на $M$ однозначно определяется
почти комплексной структурой.

Обозначим за $C(M)$ риманов конус $(M, g)$.
По определению, риманов конус это произведение $\R^{>0}\times
  M$, снабженное метрикой $t^2 g + d t^2$,
  где $t$ обозначает единичный параметр в $\R^{>0}$

Определение приблизительно кэлеровых многообразий
можно переформулировать в терминах римановой геометрии,
следующим образом.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition
Пусть $(M, g)$ --- риманово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие. Тогда $M$
допускает строго приблизительно кэлерову почти
комплексную структуру тогда и только тогда, когда
выполнены следующие эквивалентные условия.

\begin{description}
\item[(i)] $M$ допускает ненулевой киллингов спинор 
(спинор $\psi$ такой, что $\nabla_X\psi =
  \lambda X\cdot \psi$ для любого векторного поля $X\in TM$ 
и фиксированной, ненулевой константы $\lambda$).

\item[(ii)] Группа голономий $C(M)$ равна
  $G_2$.
\end{description}

{\bf Доказательство:} Хорошо известно (см. напр. \cite{_Grunewald_}). 
\endproof

\hfill

Подробное обсуждение геометрических аспектов теории
киллинговых спиноров, в том числе их применения в
6-мерной геометрии, можно найти в книге \cite{_Baum_etc_}.

Из условия  (i) понятно, что приблизительно
кэлеровы многообразия являются эйнштейновыми;
действительно, только эйнштейновы многообразия
допускают киллинговы спиноры.

Приблизительно кэлеровы многообразия появляются
как решения немалого числа важных классификационных
задач: в классификации многообразий, допускающих
киллинговы спиноры, в классификации конических
особенностей $G_2$-многообразий, в классификации
многообразий, допускающих связность с тотально
антисимметричным и параллельным тензором кручения 
(\cite{_Cleyton_Swann_}) и так далее.
Эти многообразия играют еще более важную роль в физике,
будучи решениями струнных теорий класса II B
(\cite{_Friedrich_Ivanov:physics_}).
В этом смысле, приблизительно кэлеровы многообразия
не менее важны, чем привычные многообразия Калаби-Яу.

Конические особенности $G_2$-многообразий,
проявляющиеся как конуса приблизительно кэлеровых
многообразий, имеют приложения в струнной
физике, ибо через них выражаются решения уравнений
супергравитации, являющихся произведениями
пространств анти-деситтеровского типа и 
эйнштейновых решений (см. напр. \cite{_Acharya_Jose_Hull_Spence_}). 
В последние годы, конические особенности $G_2$-многообразий,
возникающие в приблизительно кэлеровой геометрии, были
использованы для получения струнных моделей с хиральной 
материей (\cite{_Atiyah_Witten_}, \cite{_Acharya_Witten_}). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Локальная структура приблизительно кэлеровых 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зий}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть задано приблизительно кэлерово многообразие 
 $(M, I, \omega, \Omega)$. Поскольку 
$d\omega = 3\lambda\Re\Omega$, комплексная 
структура на $M$ неинтегрируема; в самом деле,
дифференциал $(1,1)$-формы $\omega$ лежит в
$\Lambda^{3,0}(M)\oplus \Lambda^{0,3}(M)$,
а это невозможно, если $(M,I)$ интегрируемо. 

Препятствие к интегрируемости почти комплексной
структуры задается так называемым тензором Ниенхойса,
\[ N^*:\; T^{1,0}(M)\otimes T^{1,0}(M)\arrow T^{0,1}(M),
\]
отображающим пару (1,0)-векторных полей в
(0,1)-часть их коммутатора. Для наших целей,
удобнее оперировать двойственным тензором:
\begin{equation}\label{_Nije_Equation_}
N:\; \Lambda^{0,1}(M)\arrow \Lambda^{2,0}(M).
\end{equation}
Из формулы Картана ясно, что $N$ равно $(2,-1)$-части
дифференциала де Рама. С другой стороны, можно выразить
$N$  через $\nabla I$, обычным образом:
\[
N^*(X,Y) = (\nabla_XI)Y -( \nabla_YI) X
\]
где $X,Y$ --- $(1,0)$-векторные поля.
На приблизительно кэлеровом многообразии,  $\nabla(I)$ 
может быть выражено посредством 3-формы $d\omega=\nabla\omega$.
Это дает следующее соотношение:
\begin{equation}\label{_Nije_via_d_omega_Equation_}
N^*(X,Y)= d\omega(X, Y, \cdot)^\sharp,
\end{equation}
где $d\omega(X, Y, \cdot)^\sharp$ --- векторное поле,
двойственное 1-форме $d\omega(X, Y, \cdot)$.
Поскольку $d\omega = 3\lambda\Re\Omega$, соотношение
\eqref{_Nije_via_d_omega_Equation_}
позволяет выразить $N$ через  $\Omega$
и $\omega$. 

Пусть $\xi_1, \xi_2, \xi_3\in \Lambda^{1,0}(M)$ -
ортонормальный репер в кокасательном пространстве, такой, что
$\Omega= \xi_1\wedge\xi_2\wedge\xi_3$.
Уравнение \eqref{_Nije_via_d_omega_Equation_} дает
\begin{equation}\label{_Nije_in_basis_Equation_}
N(\bar\xi_1) = \lambda\xi_2\wedge \xi_3, \ \ 
N(\bar\xi_2) = -\lambda\xi_1\wedge \xi_3, \ \ 
N(\bar\xi_3) = \lambda\xi_1\wedge \xi_2,
\end{equation}
Это вычисление хорошо известно; его детальное
изложение можно найти в работе \cite{_Verbitsky:NK_}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Разложение Ходжа дифференциала де Рама
и естественные операторы Лапласа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Результаты этой статьи можно вкратце пересказать так.
Пусть
\[
d = d^{2,-1}+ d^{1,0} + d^{0,1}+ d^{-1,2},
\]
компоненты разложения Ходжа дифференциала де Рама
(см. раздел \ref{_Hodge_on_de_Rham_diffe_Subsection_}).
Мы используем следующие обозначения:
$d^{2,-1}=: N$, $d^{-1, 2}=: \bar N$,
$d^{1,0}=: \6$, $d^{0,1}=: \bar \6$.


Обычные кэлеровы тождества имеют форму
``коммутатор компоненты разложения Ходжа
дифференциала де Рама с оператором Ходжа $\Lambda$
пропорционален эрмитово-сопряженному к другой 
компоненте дифференциала де Рама''.
Мы выводим аналогичный набор соотношений
для приблизительно кэлеровых многообразий
(Теорема \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_},
Предложение \ref{_Kodaira_ide_for_N_Proposition_}). 
Эти соотношения используются для изучения
различных естественных операторов Лапласа на
приблизительно кэлеровых многообразиях.
Мы доказываем, что разность
\begin{equation}\label{_Delta_6-Delta_bar_6_Equation_}
\Delta_\6-\Delta_{\bar\6}= R
\end{equation}
это скалярный оператор, действующий на  $(p,q)$-формах
как $\lambda^2 (p-q) (3-p-q)$ (см. Следствие
\ref{_diffe_Lapla_6_bar_6_Corollaty_}).
Для лапласиана де Рама $\Delta_d= d d^*+d^*d$,
имеет место следующая формула:
\begin{equation}
\Delta_d = \Delta_{\6-\bar\6} + \Delta_N + \Delta_{\bar N}
\end{equation}
(см. \eqref{_sum_three_Lapla_Equation_}).
Эта формула используется, чтобы описать гармонические
формы на компактном приблизительно кэлеровом многообразии $M$.
Мы доказываем, что $\eta$ гармонична тогда и только тогда,
когда все компоненты разложения Ходжа операторов
 $d$ и $d^*$ зануляются на $\eta$
(Теорема \ref{_Hodge_main_Theorem_}).
Из этого следует, что гармонические формы на $M$
допускают разложение Ходжа:
\[
{\cal H}^*(M) = \bigoplus {\cal H}^{p,q}(M).
\]
Используя формулу \eqref{_Delta_6-Delta_bar_6_Equation_},
мы получаем, что ${\cal H}^{p,q}(M)=0$
если не выполнено $p=q$, либо ($q=2, p=1$), либо ($q=1, p=2$). 
Мы также доказываем, что все гармонические формы
$\eta\in{\cal H}^{p,q}(M)$,
для ($q=2, p=1$), ($q=1, p=2$) или $p=q=2$ 
{\bf копримитивны}, то есть удовлетворяют
$\eta\wedge \omega=0$, где $\omega$ -
эрмитова форма $M$ (см. Замечание 
\ref{_primitivity_Remark_}).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кэлеровы соотношения на приблизительно кэлеровых 
многообразиях}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Операторы $\6$, $\bar\6$ на почти комплексных многообразиях}
\label{_Hodge_on_de_Rham_diffe_Subsection_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть дано почти комплексное многообразие $(M,I)$, а
\[ d:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M)\] --- его 
дифференциал де Рама. Разложение Ходжа дает
\begin{equation}\label{_Hodge_on_deRham_Equation_}
d = \bigoplus_{i+j=1} d^{i,j}, \ \ 
 d^{i,j}:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+i,q+j}(M)
\end{equation}
Используя соотношение Лейбница, мы видим, что 
каждая из компонент разложения
Ходжа однозначно определяется значениями, 
которые она принимает на пространствах $\Lambda^0(M)$, $\Lambda^1(M)$,
порождающих алгебру де Рама.
На $\Lambda^0(M)$, только $d^{1,0}$, $d^{0,1}$, 
а на $\Lambda^1(M)$ только
$d^{2,-1}, d^{1,0}, d^{0,1}, d^{-1,2}$ могут быть ненулевыми
Следовательно, только 4 компоненты разложения
\eqref{_Hodge_on_deRham_Equation_} могут быть не равны нулю:
\[
d = d^{2,-1}+ d^{1,0} + d^{0,1}+ d^{-1,2},
\]
Поскольку $N:=d^{2,-1}$, $\bar N:=d^{-1,2}$ зануляются на
 $\Lambda^0(M)$, эти компоненты $C^\infty(M)$-линейны.
На самом деле, \[ N:\; \Lambda^{0,1}(M)\arrow \Lambda^{2,0}(M)\]
это тензор Ниенхойса \eqref{_Nije_Equation_} 
многообразия $(M,I)$, продолженный на все пространство 
$\Lambda^*(M)$ посредством правила Лейбница.
Мы обозначаем  $d^{1,0}$ как $\6:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+1,q}(M)$,
а $d^{0,1}$ как $\bar\6:\; \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p,q+1}(M)$.
Разлагая уравнение $d^2=0$ по компонентам, мы получаем
\begin{equation}\label{_decompo_d^2_Equation_}
\begin{aligned}
N^2+ \{ N,  \6\}+ & (\{\bar \6, N\} + \6^2) + (\{N, \bar N\} + \{\6, \bar \6\})\\
+&(\{\6, \bar N\} + \bar \6^2)+ \{\bar  N, \bar\6\}  +\bar
N^2 \\
= & d^2=0
\end{aligned}
\end{equation}
где $\{\cdot, \cdot\}$ обозначает суперкоммутатор.
Члены в скобках в уравнении \eqref{_decompo_d^2_Equation_}
это разные компоненты разложения Ходжа $d^2$,
но поскольку $d^2=0$, все эти компоненты зануляются:
\begin{equation}\label{_decompo_d^2_vanish_Equation_}
\begin{aligned}
N^2= & \{ N,  \6\}= \{\bar \6, N\} + \6^2 =\\
= & \{N, \bar N\} + \{\6, \bar \6\} = \{\6, \bar N\} + \bar \6^2 \\
 = & \{\bar  N, \bar\6\}  = \bar N^2=0
\end{aligned}
\end{equation}
Операторы  $\6^2$ и
$\bar\6^2$ могут быть ненулевыми.

Следующая почти комплексная версия 
кэлеровых соотношений понадобится нам в дальнейшем.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem \label{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_}
Пусть дано почти комплексное эрмитово многообразие 
$(M,I)$, $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$ его эрмитова
форма, а
$\Lambda_\omega:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i-2}(M)$ -
сопряженный оператор к $L_\omega(\eta)= \omega\wedge \eta$.
Рассмотрим операторы
\[ \6, \bar\6:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i+1}(M),\]
определенные выше, и обозначим за
$\6^*, \bar\6^*:\; \Lambda^i(M) \arrow \Lambda^{i-1}(M)$
их сопряженные операторы. Предположим, что  
$d\omega\in \Lambda^{3,0}(M)\oplus \Lambda^{0,3}(M)$, 
или, что то же самое, $\6 \omega=\bar\6\omega=0$.
Тогда
\begin{equation}\label{_Kodaira_for_6_bar_6_Equation_}
[\Lambda_\omega, \6] = \1 \bar\6^*, \ \  
[\Lambda_\omega, \bar\6] = -\1\6^*
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{_Kodaira_for_6^*_bar_6^*_Equation_}
[L_\omega, \6^*] = \1 \bar\6, \ \ [\Lambda_\omega, \6] = \1 \bar\6^*
\end{equation}
{\bf Доказательство:} 
Чтобы доказать Теорему \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_},
используется аргумент, который доказывает обычные
кэлеровы тождества в ситуации, когда невозможно
воспользоваться координатами. Таким образом выводятся
кэлеровы  соотношения для гиперкэлеровых многообразий
с кручением, полученные в работе 
\cite{_Verbitsky:HKT_}, и кэлеровы соотношения
для локально конформно гиперкэлеровых многообразий
в работе \cite{_Verbitsky:LCHK_}. 

Соотношения \eqref{_Kodaira_for_6_bar_6_Equation_}
и \eqref{_Kodaira_for_6^*_bar_6^*_Equation_}
эрмитово сопряжены, а следовательно, эквивалентны.
Тождества \eqref{_Kodaira_for_6^*_bar_6^*_Equation_}
получаются одно из другого комплексным сопряжением,
поэтому они тоже эквивалентны. Чтобы доказать Теорему
\ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_},
достаточно проверить только одно из этих соотношений,
например это
\begin{equation}\label{_Kodaira_for_6^*_Equation_}
[L_\omega, \6^*] = \1 \bar\6.
\end{equation}
Доказательство подобного соотношения следует общей модели,
которая детально излагается в  \cite{_Verbitsky:HKT_}
и \cite{_Verbitsky:LCHK_}, а также в Приложении к 
настоящей статье.
Существует алгебраическое понятие дифференциального
оператора на градуированной суперкоммутативной алгебре,
определенное Гротендиком
(Определение \ref{_algebra_diffe_o_Definition_}).
В смысле этого определения, $\6^*$, $\bar \6^*$ 
операторы второго порядка на алгебре $\Lambda^*(M)$
(Предложение \ref{_adjoint_do_D^1_Proposition_}), а 
оператор $L_\omega$  $\Lambda^*(M)$-линейный
(нулевого порядка). Следовательно, $[L_\omega, \6^*]$
(будучи коммутатором алгебраических
дифференциальных операторов 0-го и 2-го порядка на
$\Lambda^*(M)$) --- алгебраический дифференциальный
оператор первого порядка. Оператор
$\1 \bar\6$ также имеет порядок 1, ибо 
удовлетворяет правилу Лейбница. 
Чтобы доказать линейное соотношение
между операторами первого порядка на алгебре, такое, как
\eqref{_Kodaira_for_6^*_Equation_}, достаточно 
проверить его на любом наборе мультипликативных
образующих (Замечание \ref{_D^1_dete_by_gene_Remark_}). 
Чтобы доказать Теорему \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_},
остается убедиться, что \eqref{_Kodaira_for_6^*_Equation_}
выполнено на некотором наборе образующих,
например, на 1-формах и 0-формах.


Для каждой функции $f \in C^\infty(M)$ имеет место уравнение
\begin{equation}\label{_kodaira_on_fu_Equation_}
[L_\omega, \6^*] f = -  \6^* (f\omega).
\end{equation}
С другой стороны,  $\6^*=-* \6 *$ и  
$*(f\omega)= \bar f \omega^{n-1}$,
где $n=\dim_\C M$. Следовательно,
\[ [L_\omega, \6^*] f = * (\6 \bar f \wedge \omega^{n-1})= \1\bar\6 f
\]
поскольку для каждой $(1,0)$-формы
$\eta$ мы имеем $*(\eta \wedge \omega^{n-1})= \1\bar\eta$,
и $\overline{\6\bar f}= \bar\6f$. Это доказывает, что соотношение
\eqref{_Kodaira_for_6^*_Equation_} выполняется
на функциях (0-формах).

Легко убедиться, что  $\6^*$-замкнутые 1-формы
порождают расслоение 1-форм над $C^\infty(M)$.
Действительно, на 2-формах мы имеем  $(\6^*)^2=0$, 
и, следовательно, все  $\6^*$-точные 1-формы $\6^*$-замкнуты.
Локальным вычислением легко убедиться, что
$\6^*(\Lambda^2(M))$ порождает $\Lambda^1(M)$ 
над $C^\infty(M)$.

Рассмотрим 1-форму $\eta \in \Lambda^1(M)$.
Чтобы доказать Теорему \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_},
остается продемонстрировать, что
$[L_\omega, \6^*](\eta) = \1 \bar\6\eta$.
Поскольку $\6^*$-замкнутые 1-формы порождают
$\Lambda^*(M)$, мы можем считать, что
$\eta$  $\6^*$-замкнута. В этом случае
\begin{equation}\label{_commu_L_6_expli_Equation_}
\begin{aligned}
\ [L_\omega, \6^*](\eta) =& -\6^* L_\omega\eta = *\6* (\omega\wedge\eta)\\
= & *\6(\omega^{n-2}\wedge I(\bar\eta)) =   
* (\omega^{n-2} \wedge\6 (I\bar\eta)).
\end{aligned}
\end{equation}
Поскольку $\eta$ $\6^*$-замкнута, мы имеем $\omega^{n-1} \wedge\6(I\bar\eta)=0$,
и поэтому форма $\omega^{n-2} \wedge\6\eta$ копримитивна
(удовлетворяет $(\omega^{n-2} \wedge\6\eta)\wedge \omega=0$).
Для любой копримитивной $(2n-2)$-формы $\alpha= \kappa\wedge\omega^{n-2}$, 
форма $*\alpha$ может быть записана явно в терминах $\kappa$: 
$*\alpha = -I(\bar \kappa)$. Следовательно,
\[ * (\omega^{n-2} \wedge\6 I(\bar \eta))=
  - \overline{I \6 I \bar\eta}= \1\bar\6\eta.
\]
Сравнивая это с \eqref{_commu_L_6_expli_Equation_},
мы убеждаемся, что
\[
[L_\omega, \6^*](\eta)=\1\bar\6\eta
\]
Мы доказали Теорему \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_}.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Квадрат оператора Ниенхойса}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В дальнейшем, нам понадобится следующее полезное тождество.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_C^2_Proposition_}
Пусть $(M, I, \omega, \Omega)$ --- приблизительно
кэлерово 6-мно\-го\-о\-бра\-зие, $d\omega=\lambda\Re \Omega$,
а \[ C:= N+\bar N=d^{2,-1}+d^{-1,2}\] ---
$(2,-1)\oplus(-1,2)$-часть дифференциала де Рама.
Тогда следующие $C^\infty(M)$-линейные отображения
\[ \Lambda^{p,q}(M)\arrow \Lambda^{p+1,q+1}(M)\]
равны:
\begin{description}
\item[(i)] $C^2$
\item[(ii)] $-\{\6, \bar \6\}$ (где $\{\cdot, \cdot\}$ 
обозначает суперкоммутатор).
\item[(iii)] скалярный оператор
  $\1\lambda^2(p-q)L_\omega$,
отображающий $\eta \in \Lambda^{p,q}(M)$ в
\[ \1\lambda^2 (p-q) \eta \wedge \omega. \]
\end{description}
%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%
{\bf Доказательство:} Равенство $C^2=-\{\6, \bar \6\}$
очевидно, потому что $(1,1)$-часть
$d^2$ равна $C^2+ \{\6, \bar \6\}$,
а $d^2=0$ (см. \eqref{_decompo_d^2_Equation_}).
Чтобы доказать уравнение
\begin{equation}\label{_square_of_C_Equation_}
C^2=\1\lambda^2(p-q)L_\omega,
\end{equation}
мы замечаем, что обе части уравнения
\eqref{_square_of_C_Equation_} ---
дифференцирования ($C^2$ является дифференцированием,
поскольку это антикоммутатор нечетного
дифференцирования с собой). Поэтому 
достаточно проверить тождество \eqref{_square_of_C_Equation_}
на образующих алгебры
$\Lambda^*(M)$, например на $\Lambda^0(M)$ и 
$\Lambda^1(M)$. На $\Lambda^0(M)$, и $C$ и $(p-q)$
зануляются, и соотношение \eqref{_square_of_C_Equation_}
очевидно. Проверим \eqref{_square_of_C_Equation_}
на $\Lambda^{1,0}(M)$ (доказательство тождества
\eqref{_square_of_C_Equation_} на $\Lambda^{0,1}(M)$
получается аналогично). Выберем ортонормальный базис
 $\xi_1, \xi_2, \xi_3\in \Lambda^{1,0}(M)$, таким образом, что
\[ \omega = -\1(\xi_1\wedge \bar \xi_1 +\xi_2\wedge \bar
\xi_2 + \xi_3\wedge \bar \xi_3), 
\ \ \ \Omega= \xi_1\wedge \xi_2\wedge \xi_3
\]
Пусть $\eta$ --- $(0,1)$-форма, скажем, $\eta=\bar\xi_1$
(это предположение не ограничительно, поскольку 
обе стороны уравнения \eqref{_square_of_C_Equation_} 
по определению $C^\infty(M)$-линейны). 
Тогда $N(\eta)=\lambda\xi_2\wedge \xi_3$, как следует из
уравнений \eqref{_Nije_in_basis_Equation_}.
Подобным образом, правило Лейбница и уравнение
 \eqref{_Nije_in_basis_Equation_} дают
\begin{equation}\label{_bar_N_N_coordi_Equation_}
\bar N N(\eta)=\lambda^2(\bar \xi_1\wedge \bar \xi_3\wedge 
   \xi_3 + \xi_1\wedge \bar \xi_1\wedge \bar \xi_2)= 
   \1 \lambda^2\eta\wedge\omega.
\end{equation}
С другой стороны,
\begin{equation}\label{_C^2_via_N_equation_}
 C^2(\eta) = (N+\bar N)^2\eta = \bar N N(\eta),
\end{equation}
поскольку $\bar N\eta=0$ (это форма ходжева типа $(-1,3)$), а
$N^2=\bar N^2=0$, как следует из \eqref{_decompo_d^2_Equation_}. 
Комбинируя \eqref{_bar_N_N_coordi_Equation_}
и \eqref{_C^2_via_N_equation_}, мы получаем
\eqref{_square_of_C_Equation_}. 
Предложение \ref{_C^2_Proposition_} доказано.
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\corollary \label{_diffe_Lapla_6_bar_6_Corollaty_}
Пусть $(M,I, \omega, \Omega)$ --- приблизительно кэлерово
6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие, $d\omega= \lambda \Re\Omega$, и
$\6, \bar\6$ --- $(1,0)$- и $(0,1)$-части
дифференциала де Рама. Рассмотрим соответствующие
операторы Лапласа:
\[
\Delta_\6:= \6\6^*+ \6^*\6, \ \ \ 
\Delta_{\bar\6}:= \bar\6\bar\6^*+ \bar\6^*\bar\6.
\]
Тогда $\Delta_\6 - \Delta_{\bar\6}= R$,
где $R$ --- скалярный оператор, действующий на $(p,q)$-формах
умножением на $\lambda^2 (3-p-q)(p-q)$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Как следует из Предложения
\ref{_C^2_Proposition_}, $\{\6, \bar\6\} = \1 (p-q) L_\omega$.
Хорошо известно, что оператор
$H:= [L_\omega, \Lambda_\omega]$
действует на $(p,q)$-формах как умножение на 
$(3-p-q)$ (см. напр. \cite{_Griffi_Harri_}). Поэтому
\begin{equation}\label{_R_as_commu_Equation_}
\{\Lambda_\omega, \{\6, \bar\6\}\}= \1 R.
\end{equation}
Применяя суперкоммутативную версию тождества Якоби и
Теорему \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_} 
к \eqref{_R_as_commu_Equation_}, мы получаем
\begin{equation}\label{_R_aand_Lapla_Equation_}
\1 R= \{\Lambda_\omega, \{\6, \bar\6\}\}= 
\{ \{\Lambda_\omega, \6\}, \bar\6\} + \{\6,
\{\Lambda_\omega,\bar\6\}\}= \1 \Delta_\6 -\1 \Delta_{\bar\6}.
\end{equation}
Это доказывает Следствие \ref{_diffe_Lapla_6_bar_6_Corollaty_}.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Лапласиан де Рама и $\Delta_\6$, $\Delta_{\bar
    \6}$, $\Delta_{\6-\bar\6}$}
\label{_Lapla_D_d_Section_}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Выражение для $\Delta_d$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $M$ --- приблизительно кэлерово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие,
$d = N + \6 + \bar \6 + \bar N$ разложение Ходжа для 
дифференциала де Рама,
а $\Delta_\6$, $\Delta_{\bar \6}$ --- операторы
Лапласа определенные выше, $\Delta_\6:= \{\6,\6^*\}$, 
$\Delta_{\bar\6}:= \{\bar\6,\bar\6^*\}$.
Рассмотрим обычный лапласиан на дифференциальных формах,
$\Delta_d=\{d, d^*\}$. 
В дополнение к Следствию \ref{_diffe_Lapla_6_bar_6_Corollaty_},
мы получим следующие соотношения между этими операторами.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_Laplacians_main_Theorem_}
Пусть $M$ --- приблизительно кэлерово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие, а
$\Delta_\6$, $\Delta_{\bar\6}$, $\Delta_d$ ---
операторы Лапласа, определенные выше. Тогда
\begin{equation}\label{_Laplacians_main_theore_Equation_}
\Delta_d = \Delta_\6+ \Delta_{\bar \6} + \Delta_{N+\bar N}
- \{\6, \bar\6^*\} -  \{\bar\6, \6^*\}.
\end{equation}
где оператор $\Delta_{N+\bar N}$ определяется как
суперкоммутатор $C^{\infty}$-линейного оператора
$C:=N+\bar N$ и его сопряженного:
\[
\Delta_{N+\bar N}:= C C^* + C^* C.
\]
Доказательство теоремы \ref{_Laplacians_main_Theorem_}
занимает остаток секции \ref{_Lapla_D_d_Section_}.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$N= \lambda[L_\Omega, \Lambda_\omega]$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Следующие линейно-алгебраические соотношения
используются в доказательстве Теоремы
\ref{_Laplacians_main_Theorem_}.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\claim\label{_N_=_[L,Lambda_]_Claim_}
Пусть $(M,I, \omega, \Omega)$ --- приблизительно
кэлерово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие, $d\omega=\lambda\Re\Omega$, 
$N$ --- $(2, -1)$-часть дифференциала де Рама, а 
 $\Lambda_\omega$ --- оператор Ходжа, определенный выше. Тогда
\begin{equation}\label{_N_=_[L,Lambda_]_Equation_}
\lambda[L_\Omega, \Lambda_\omega]=N,
\end{equation}
где $L_\Omega(\eta):= \Omega\wedge \eta$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Как делается в доказательстве Теоремы
\ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_}, мы рассматриваем
$L_\Omega, \Lambda_\omega$ как алгебраические дифференциальные
операторы на градуированной суперкоммутативной алгебре 
$\Lambda^*(M)$ (см. Определение \ref{_algebra_diffe_o_Definition_}). 
В этом смысле, $L_\Omega$ является оператором нулевого порядка,
а  $\Lambda_\omega$ --- оператор второго порядка, что
следует из Утверждения \ref{_contra_n_form_Claim_}. 
Поэтому коммутатор
$[L_\Omega, \Lambda_\omega]$ --- оператор 
первого порядка. В силу Замечания
\ref{_D^1_dete_by_gene_Remark_}, достаточно проверить
\eqref{_N_=_[L,Lambda_]_Equation_} на 0-формах и 1-формах.
Это делается явным подсчетом в координатах, заданных
уравнением \eqref{_Nije_in_basis_Equation_}.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Коммутационные соотношения для $N$, $\bar N$,
$\6$, $\bar \6$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Мы выводим коммутационные соотношения, аналогичные
коммутационным соотношениям Кэлера и Кодаиры.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_commu_N_6_Proposition_}
В обозначениях Теоремы
\ref{_Laplacians_main_Theorem_},
следующие антикоммутаторы зануляются.
\begin{equation}\label{_commu_6_and_N_vanish_Equation_}
\{N^*, \bar \6\}=\{\bar N^*, \6\}= \{N, \bar \6^*\}=\{\bar N, \6^*\}=0.
\end{equation}
Более того,
\begin{equation}\label{_commu_6_and_N_via_6_bar_6^*_Equation_}
\begin{aligned}
\{\bar\6^*, \6\} &= -\{ N, \6^*\} = -\{ \bar N^*, \bar\6\}, \\
 \{\6^*, \bar\6\}& = -\{ \bar N,\bar\6^*\}= -\{ N^*, \6^*\},
\end{aligned}
\end{equation}

{\bf Доказательство:} Очевидно, что все соотношения
 \eqref{_commu_6_and_N_vanish_Equation_} могут
быть полученны применением эрмитова 
и комплексного сопряжения к следующему соотношению:
\begin{equation}\label{_commu_6_and_N_one_vanish_Equation_}
\{N^*, \bar\6\}=0.
\end{equation}
Разлагая  $d^2=0$ на ходжевы компоненты, мы получаем
$\{N, \6\}=0$
(см. \eqref{_decompo_d^2_vanish_Equation_}).
Из Утверждения \ref{_N_=_[L,Lambda_]_Claim_} следует, что
это эквивалентно
\begin{equation}\label{_three_commu_L,Lambda,6_Equation_}
\{\{L_\Omega,\Lambda_\omega\}, \6\}=0.
\end{equation}
Очевидно $\6\Omega=0$, а следовательно,
\begin{equation}\label{_L_Omega_6_Equation_}
\{L_\Omega, \6\}=0.
\end{equation}
Применяя суперкоммутативный аналог тождества Якоби
к уравнению
\eqref{_three_commu_L,Lambda,6_Equation_}
и используя \eqref{_L_Omega_6_Equation_},
мы получаем
\begin{equation}\label{_L_Omega_6_triple_Equation_}
0 = \{L_\Omega, \{ \Lambda_{\omega}, \6\}\} = \1\{L_\Omega,\bar\6^*\}.
\end{equation}
Действуя на \eqref{_L_Omega_6_triple_Equation_} посредством
$\{\Lambda_\omega,\cdot\}$ и снова используя 
супер-аналог тождества Якоби, получаем
\[
0 = \{\Lambda_\omega, \{L_\Omega,\bar\6^*\}\} = -\lambda \{ N,
\bar\6^*\}.
\]
Это доказывает \eqref{_commu_6_and_N_one_vanish_Equation_}
и \eqref{_commu_6_and_N_vanish_Equation_}.


Остается доказать тождество
\eqref{_commu_6_and_N_via_6_bar_6^*_Equation_}.
Применяя разложение Ходжа к $d^2=0$ 
мы получаем
\begin{equation}\label{_6_sqare_Equation_}
\frac 1 2 \{\6,\6\} +\{ N, \bar\6\}=0
\end{equation}
(см. \eqref{_decompo_d^2_vanish_Equation_}).
Применяя аргумент, который мы использовали, чтобы
получить \eqref{_L_Omega_6_Equation_}, находим также
\begin{align*}
\{N, \bar\6\} = & - \lambda^{-1}\{\{\Lambda_\omega,L_\Omega\}, \bar\6\}\\
=&\lambda^{-1}\{\{L_\Omega, \{ \Lambda_\omega, \bar\6\}\}
-\lambda^{-1}\{ \Lambda_\omega, \{L_\Omega, \bar\6\}\}\\
= &-\1\lambda^{-1}\{L_\Omega, \6^*\}.
\end{align*}
Вместе с \eqref{_6_sqare_Equation_}, это дает
%
\begin{equation}\label{_6^2_via_L_Omega_Equation_}
\frac 1 2 \{\6,\6\}=\1\lambda^{-1}\{L_\Omega, \6^*\}.
\end{equation}
Действуя на \eqref{_6^2_via_L_Omega_Equation_}
посредством $\{ \Lambda_\omega, \cdot\}$, получаем
\[
\1\{\6,\bar\6^*\}=\1\lambda^{-1}\{\{ \Lambda_\omega,L_\Omega\},\6^*\}=
-\1\{ N, \6^*\}.
\]
Мы получили первое тождество из
\eqref{_commu_6_and_N_via_6_bar_6^*_Equation_}:
\begin{equation}\label{_6,_bar_6^*_final_Equation_}
\{\6,\bar\6^*\}=-\{ N, \6^*\}.
\end{equation}
Остальные тождества \eqref{_commu_6_and_N_via_6_bar_6^*_Equation_}
получаются из \eqref{_6,_bar_6^*_final_Equation_}
эрмитовым и комплексным сопряжением. Мы доказали 
Предложение \ref{_commu_N_6_Proposition_}. \endproof

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Разложение Ходжа для оператора Лапласа}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Теперь мы можем закончить доказательство Теоремы
\ref{_Laplacians_main_Theorem_}. Разлагая 
$d$, $d^*$ на их ходжевы компоненты, получаем
\begin{equation}\label{_Delta_d_decomposed_Equation_}
\begin{aligned}
\Delta_d=& \bigg(\{N^*, \bar \6\} + \{N, \bar \6^*\}+
           \{\bar N^*,  \6\} + \{\bar N,\6^*\}\bigg) \\
+ & \bigg(\{\6^*, \bar \6\} + \{\bar\6^*,  \6\} +\{ N, \6^*\}
           +\{ \bar N, \bar \6^*\}+ \{ N^*, \6\}
           +\{ \bar N^*, \bar \6\}\bigg) \\
+ & \Delta_\6 + \Delta_{\bar\6} + \Delta_{N+\bar N}.
\end{aligned}
\end{equation}
Первый член в скобках равен нулю в силу уравнения
\eqref{_commu_6_and_N_vanish_Equation_}, второй же равен
 $-\{\6,\bar\6^*\}-\{\bar\6,\6^*\}$, как следует
из \eqref{_commu_6_and_N_via_6_bar_6^*_Equation_}. Получаем
\begin{equation}\label{_Laplacian_main_Equation_}
\Delta_d = \Delta_\6 + \Delta_{\bar\6} + \Delta_{N+\bar N}
          -\{\6,\bar\6^*\}-\{\bar\6,\6^*\}.
\end{equation}
Мы доказали Теорему \ref{_Laplacians_main_Theorem_}. \endproof

\hfill

Уравнение \eqref{_Laplacian_main_Equation_}
может быть переписано как следующее  соотношение
между операторами Лапласа.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\corollary\label{_Laplacian_via_Delta_6-bar-6_Corollary_}
В обозначениях Теоремы \ref{_Laplacians_main_Theorem_},
обозначим за $\Delta_{\6-\bar\6}$ лапласиан
$\{\6-\bar\6, \6^*-\bar\6^*\}$.
Тогда
\begin{equation}\label{_Laplacian_via_Delta_6-bar-6_Equation_}
\Delta_d =  \Delta_{\6-\bar\6}+ \Delta_{N+\bar N}.
\end{equation}
{\bf Доказательство:} 
Как ясно из уравнения \eqref{_Laplacian_main_Equation_},
для доказательства \eqref{_Laplacian_via_Delta_6-bar-6_Equation_}
достаточно убедиться, что
\[
\Delta_{\6-\bar\6} = \Delta_\6 + \Delta_{\bar\6} 
          -\{\6,\bar\6^*\}-\{\bar\6,\6^*\}
\]
Это тождество получается раскрытием скобок.
\endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Кэлеровы тождества для $N$, $\bar N$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


В дальнейшем, нам понадобятся следующие уравнения,
аналогичные кэлеровым тождествам
(Теорема \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_}),
но для $C^\infty(M)$-линейной ``внешней'' части
дифференциала де Рама,  $N$ и $\bar N$.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_Kodaira_ide_for_N_Proposition_}
Пусть $(M, I, \omega, \Omega)$ --- приблизительно
кэлерово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие, $N$, $\bar N$ --- $(2,-1)$- и $(-1,2)$-части
дифференциала де Рама, $N^*$, $\bar N^*$
их эрмитово сопряженные, а $\Lambda_\omega$
эрмитово сопряженный оператор к $L_\omega(\eta) :=
\omega\wedge\eta$. Тогда
\begin{equation}\label{_commu_N_w_L_Equation_}
\begin{aligned}
\ \ [\Lambda_\omega, N^*] = 2\1 \bar N, \ \ \ &
[\Lambda_\omega, \bar N^*] = -2\1  N.\\
\ \ [L_\omega, N] = 2\1 \bar N^*, \ \ \ &
[L_\omega, \bar N] = -2\1  N^*.
\end{aligned}
\end{equation}
{\bf Доказательство:} 
Тождества \eqref{_commu_N_w_L_Equation_}
получаются одно из другого посредством комплексного
и эрмитова сопряжения, поэтому они эквивалентны.
Таким образом, достаточно доказать
\begin{equation}\label{_commu_N^*_w_L_Equation_}
[L_\omega, N^*] = 2\1 \bar N.
\end{equation}
Доказательство этой формулы следует тем же принципам,
как и доказательство Теоремы \ref{_almost_complex_Kahler_ide_Theorem_}.
Снова, обе стороны уравнения
\eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_} ---
алгебраические дифференциальные операторы первого порядка
на алгебре $\Lambda^*(M)$, в смысле Гротендика
(Определение \ref{_algebra_diffe_o_Definition_}). 
Поэтому достаточно проверить, что
\eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_} выполняется на 
0-формах и 1-формах  (Замечание
\ref{_D^1_dete_by_gene_Remark_}). 
На 0-формах, обе стороны
\eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_} очевидно зануляются.
Чтобы доказать \eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_},
остается проверить
\begin{equation}\label{_commu_N^*_w_L_on_1-forms_Equation}
N^* L_\omega (\eta) = 2\1 \bar N(\eta),
\end{equation}
где $\eta$ --- 1-форма.
Поскольку обе стороны
\eqref{_commu_N^*_w_L_on_1-forms_Equation}
зануляются на (1,0)-формах, мы можем также
предположить, что  $\eta \in
\Lambda^{0,1}(M)$.

Пусть $\xi_1, \xi_2, \xi_2$ --- ортонормальный базис в
$\Lambda^{1,0}(M)$, удовлетворяющий
\[ \omega = -\1(\xi_1\wedge \bar \xi_1 +\xi_2\wedge \bar
\xi_2 + \xi_3\wedge \bar \xi_3), 
\ \ \ \Omega= \xi_1\wedge \xi_2\wedge \xi_3.
\]
Поскольку обе стороны уравнения
\eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_}
 $C^\infty(M)$-линейны, достаточно доказать
\eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_} только для
$\eta=\bar\xi_1, \bar\xi_2, \bar\xi_2$.
Предположим для примера, что
 $\eta=\bar\xi_1$.
Тогда
\[ L_\omega\eta = - \1 \bar \xi_1 \wedge 
(\xi_2 \wedge \bar\xi_2 + \xi_3\wedge \bar\xi_3).
\]
Используя \eqref{_Nije_in_basis_Equation_}, мы получаем
\[
N^* L_\omega\eta =-\1 \xi_3\wedge  \xi_2 
+\1 \xi_2\wedge  \xi_3 = 2 \1 \xi_2\wedge\xi_3= 
  2\1\: \bar N(\eta).
\]
Из этого следует \eqref{_commu_N^*_w_L_Equation_}.
Предложение \ref{_Kodaira_ide_for_N_Proposition_} доказано.
\endproof

\hfill

Предложение \ref{_Kodaira_ide_for_N_Proposition_} 
используется в этой статье ровно один раз, для
доказательства следующего утверждения.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\corollary\label{_N_barN^*_commute_Corollary_}
Пусть $M$ --- приблизительно кэлерово 6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие,
$N$, $\bar N$ --- $(2,-1)$- и $(-1,2)$-части
дифференциала де Рама, $N^*$, $\bar N^*$
сопряженные операторы, и 
$\Delta_N$, $\Delta_{\bar N}$, $\Delta_{N+\bar N}$
соответствующие операторы Лапласа. Тогда
\[
\Delta_{N+\bar N}=\Delta_N+\Delta_{\bar N}
\]
{\bf Доказательство:}
Раскрывая скобки, получаем
\[
\Delta_{N+\bar N}=\Delta_N+\Delta_{\bar N}+ \{N, \bar N^*\} + \{\bar N,  N^*\}.
\]
Поэтому, чтобы доказать Следствие
 \ref{_N_barN^*_commute_Corollary_},
достаточно убедиться, что
\[ 
 \{N, \bar N^*\}=0,  \ \  \{\bar N,  N^*\}=0.
\]
Одно из этих уравнений получается из другого
комплексным сопряжением; следовательно, они эквивалентны.
Докажем, например, что  $\{N, \bar N^*\}=0$. 
Как следует из Предложения \ref{_Kodaira_ide_for_N_Proposition_},
\begin{equation}\label{_N,bar_N^*_commu_Equation_}
\{N, \bar N^*\} = - \frac \1 2 \{ N, \{ \Lambda_\omega, N\}\}.
\end{equation}
С другой стороны,
$\{N, N\}=0$, что ясно из уравнения
\eqref{_decompo_d^2_vanish_Equation_}.
Используя суперкоммутативную версию уравнения Якоби, получаем
\[ 0 = \{ \Lambda_\omega,\{  N, N\} \} =
       \{ \{\Lambda_\omega,  N\}, N \}+ \{ N, \{\Lambda_\omega,  N\}\}
   = 2 \{ N, \{\Lambda_\omega,  N\}\}.
\]
Поэтому  \eqref{_N,bar_N^*_commu_Equation_} влечет
$\{N, \bar N^*\}=0$. Мы доказали Следствие
\ref{_N_barN^*_commute_Corollary_}.
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Применяя Следствие \ref{_N_barN^*_commute_Corollary_}, Следствие
\ref{_Laplacian_via_Delta_6-bar-6_Corollary_} и Теорему
\ref{_Laplacians_main_Theorem_}, мы получаем, что
\begin{equation}
\Delta_d= \Delta_\6+\Delta_{\bar\6}+ \Delta_N + \Delta_{\bar N}-
\{\6^*,\bar\6\} - \{\6,\bar\6^*\}
\end{equation}
и
\begin{equation}\label{_sum_three_Lapla_Equation_}
\Delta_d= \Delta_{\6-\bar\6}+ \Delta_N + \Delta_{\bar N}.
\end{equation}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Гармонические формы на приблизительно \\кэ\-ле\-ро\-вых многообразиях}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Гармонические формы и операторы Лапласа 
$\Delta_\6$, $\Delta_{\bar\6}$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Для гармонических форм на компактном приблизительно
кэлеровом многообразии, соотношения
\eqref{_Laplacians_main_theore_Equation_} 
Теоремы \ref{_Laplacians_main_Theorem_} 
можно существенно усилить.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_harmo_on_compa_NK_main_Theorem_}
Пусть $M$ --- компактное приблизительно кэлерово
6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие. Дифференциальная форма $\eta$
гармонична тогда и только тогда, когда
\begin{equation}\label{_eta_harmo_for_all_Lapla_Equation_}
\eta\in \ker \Delta_\6 \cap \ker \Delta_{\bar\6}\cap \ker \Delta_{N+\bar N}.
\end{equation}
{\bf Доказательство:} Ясно, что если 
\eqref{_eta_harmo_for_all_Lapla_Equation_} выполнено, то
$\6\eta =\bar\6\eta=\6^*\eta=\bar\6^*\eta=0$,
и тогда $\Delta_d\eta=0$ в силу Теоремы 
\ref{_Laplacians_main_Theorem_}.

Из Следствия \ref{_Laplacian_via_Delta_6-bar-6_Corollary_} получаем:
\begin{equation}\label{_Lapla_implies_2_others_Equation_}
\Delta_d\eta=0 \Leftrightarrow 
\bigg( \Delta_{\6-\bar\6}\eta=0, \ \text{и} \ \ 
\Delta_{N+\bar N}\eta=0\bigg).
\end{equation}  
Поэтому, для любой $\Delta_d$-гармонической формы
 $\eta$, мы имеем $\Delta_{\6-\bar\6}\eta=0$,  то есть
$(\6-\bar\6)\eta=0$ и $(\6^*-\bar\6^*)\eta=0$.
Более того, поскольку
$d\eta=(N+\bar N)\eta=0$, оператор
$\6+\bar\6= d-N-\bar N$ также зануляется на форме $\eta$.
Вычитая из $(\6+\bar\6)\eta=0$
соотношение $(\6-\bar\6)\eta=0$, мы получаем, что
$\bar\6\eta=0$.  Аналогичные рассуждения доказывают
остальные уравнения из
\[ \6\eta =\bar\6\eta=\6^*\eta=\bar\6^*\eta=0
\]
Мы получили \eqref{_eta_harmo_for_all_Lapla_Equation_}.
Теорема \ref{_harmo_on_compa_NK_main_Theorem_} доказана.
\endproof


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Разложение Ходжа на когомологиях}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Основной результат этой статьи немедленно следует 
из Теоремы \ref{_harmo_on_compa_NK_main_Theorem_}.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_Hodge_main_Theorem_}
Пусть $M$ --- компактное, приблизительно кэлерово
6-\-мно\-го\-о\-бра\-зие, а  ${\cal H}^i(M)$ --- пространство
гармонических $i$-форм на $M$. Тогда
 ${\cal H}^i(M)$ разлагается в прямую сумму
гармонических форм чистого ходжева типа:
\begin{equation}\label{_Hodge_on_diffe_forms_Equation_}
{\cal H}^i(M)=\bigoplus\limits_{i=p+q}{\cal H}^{p,q}(M).
\end{equation}
Более того, ${\cal H}^{p,q}(M)=0$, если не выполнено 
$p=q$, $(p=2, q=1)$ или $(q=1, p=2)$.

\hfill

{\bf Доказательство:} 
Из Теоремы
\ref{_harmo_on_compa_NK_main_Theorem_}
следует, что форма $\eta$ гармонична тогда и только
тогда, когда $\6\eta=\bar\6\eta=\6^*\eta=\bar\6^*\eta=0$ и
$\Delta_{N+\bar N}\eta=0$. Из Следствия
\ref{_N_barN^*_commute_Corollary_} мы получаем, что
последнее из этих уравнений равносильно
$N\eta= \bar N\eta=N^*\eta = \bar N^*\eta=0$.
Поэтому форма $\eta$ гармонична тогда и только тогда,
когда все ходжевы компоненты операторов $d$, $d^*$ 
на ней зануляются:
\begin{equation}\label{_harmonic_all_compo_vanish_Equation_}
\6\eta=\bar\6\eta=\6^*\eta=\bar\6^*\eta=
N\eta= \bar N\eta=N^*\eta = \bar N^*\eta=0.
\end{equation}
Следовательно, все ходжевы компоненты формы
$\eta$ тоже удовлетворяют
\eqref{_harmonic_all_compo_vanish_Equation_}.
Это доказывает, что все эти компоненты тоже
гармоничны. Мы получили разложение
\eqref{_Hodge_on_diffe_forms_Equation_}.

Чтобы доказать, что ${\cal H}^{p,q}(M)$ зануляется для
$(p,q)$ не удовлетворяющих $p=q$
либо $(p=2, q=1)$ либо $(q=1, p=2)$, 
мы используем Следствие
\ref{_diffe_Lapla_6_bar_6_Corollaty_}. 
Пусть $\eta$ --- ненулевая гармоническая
$(p,q)$-форма. Тогда скалярный оператор
 $R=\Delta_\6-\Delta_{\bar\6}$
зануляется на $\eta$, $R= \lambda^2(3-p-q)(p-q)$.
Но в этом случае либо $p=q$, либо $p+q=3$. 
Мы немедленно получаем, что $p=q$, либо 
$(p=2, q=1)$, либо $(q=1, p=2)$, либо
$(p=3, q=0)$, либо $(q=0, p=3)$. 
Последние два случая очевидно невозможны: на 
$\Lambda^{3,0}(M)$, $\Lambda^{0,3}(M)$,
оператор $N+\bar N$ инъективен
(это ясно, например, из \eqref{_Nije_in_basis_Equation_}), 
а значит, не может зануляться; с другой стороны, 
из уравнения \eqref{_harmonic_all_compo_vanish_Equation_}
следует $N+\bar N(\eta)=0$. Мы доказали Теорему
\ref{_Hodge_main_Theorem_}. \endproof


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Средние когомологии компактного, приблизительно
кэ\-ле\-ро\-ва 6-многообразия замечательно похожи на 
средние когомологии кэ\-ле\-ро\-ва многообразия.
В частности, в этой ситуации определен
промежуточный якобиан $T:=H^{2,1}(M)/H^3(M,\Z)$.
Как и в кэлеровой ситуации, $T$ --- комплексный тор.
Задано естественное псевдоголоморфное отображение
из пространства псевдоголоморфных рациональных
кривых на $M$ в промежуточный якобиан.

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_primitivity_Remark_}
Все гармонические формы $\eta\in {\cal H}^{p,q}(M)$,
$(p=2, q=1)$ или $(q=1, p=2)$ {\bf примитивны} и
{\bf копримитивны}, то есть удовлетворяют
$L_\omega(\eta)=0$ (примитивность) и 
$\Lambda_\omega(\eta)=0$ (копримитивность).
Действительно, $\{ N, \bar N\}$ зануляется на 
$\eta$, как следует из
\eqref{_harmonic_all_compo_vanish_Equation_}.
С другой стороны, из Предложения
\ref{_C^2_Proposition_} вытекает, что
$\{ N, \bar N\}(\eta) =(p-q)\omega\wedge \eta$,
а значит, $\omega\wedge \eta=0$. 
Кроме того, все гармонические формы
 $\eta\in {\cal H}^{p,p}(M)$
примитивны для  $p=1$ и копримитивны для 
$p=2$. Это следует непосредственно из уравнения
\eqref{_harmonic_all_compo_vanish_Equation_}. 
Например, для (1,1)-формы $\eta$, мы получаем
$N(\eta) = \Lambda_\omega (\eta)\cdot \Omega$,
а значит, $\eta$ примитивна, если $N(\eta)=0$.


\hfill






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Приложение. Алгебраические дифференциальные
операторы на алгебре де Рама}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Алгебраические дифференциальные операторы:
основные свойства]{Алгебраические дифференциальные операторы:\\
основные свойства}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть $A^*:= \bigoplus^i A_i$ --- градуированное 
суперкоммутативное кольцо с единицей. Для любого 
$a\in A_i$, обозначим за $L_a$ оператор умножения
на  $a$: $L_a(\eta)=a\eta$. Суперкоммутатор двух
градуированных эндоморфизмов
$x, y \in \End(A^*, A^*)$ обозначается
\[
\{x, y\} := xy - (-1)^{\tilde x \tilde y}yx,
\]
где $\tilde x$ обозначает четность $x$.

В дальнейшем, говоря 
об элементах градуированных пространств,
мы будем всегда иметь в виду {\bf чистые}
элементы, то есть элементы нечетной или четной
степени. {\bf Четность} $\tilde x$ равна 
1 для нечетных элементов, и 0 для четных.



\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition\label{_algebra_diffe_o_Definition_}
Пространство $D^i(A^*)\subset \End(A^*, A^*)$
 {\bf алгебраических дифференциальных операторов
порядка не больше $i$} --- градуированное подпространство
$\End(A^*, A^*)$, определенное индуктивно, следующим образом
\begin{description}

\item[(i)] $D^0(A)$ --- пространство $A^*$-линейных эндоморфизмов
$A^*$; поскольку $A^*$ --- кольцо с единицей, $D^0(A^*)\cong A^*$.

\item[(ii)] $D^{n+1}(A^*)$ определяется как градуированное
подпространство в \[ \End(A^*, A^*),\] состоящее из всех эндоморфизмов
$\rho\in \End(A^*, A^*)$ (четных или нечетных), которые
удовлетворяют $\{L_a, \rho\}\in D^{n}(A^*)$, для всех 
$a\in A$.
\end{description}

Это понятие было определено А. Гротендиком.
Используя индукцию, легко проверить, что  $D^*(A^*):= \bigcup D^i(A^*)$ ---
фильтрованная алгебра:
\begin{equation}\label{_D^*(A)_algebra_Equation_}
D^i(A^*)\cdot D^j(A^*)\subset D^{i+j}(A^*),
\end{equation}
а также
\begin{equation}\label{_D^*(A)_Lie_algebra_Equation_}
\{D^i(A^*), D^j(A^*)\}\subset D^{i+j-1}(A^*).
\end{equation}

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть $\delta:\; A^* \arrow A^*$  --- четный или нечетный эндоморфизм.
Мы говорим, что $\delta$ --- {\bf дифференцирование}, если
\[
\delta(ab) = \delta(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde \delta} a \delta(b),
\]
для любых $a, b \in A^*$.

\hfill

Легко видеть, что все дифференцирования $A^*$ являются
алгебраическими дифференциальными операторами первого
порядка, и зануляются на единице алгебры $A^*$.
Обратное тоже верно: если
$D\subset D^1(A^*)$ --- дифференциальный оператор первого
порядка,  $D(1)=0$, то $D$ --- дифференцирование, 
что ясно из следующего утверждения.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\claim\label{_first_order_is_deri_Claim_}
Пусть $D\in  D^1(A^*)$ --- дифференциальный
оператор первого порядка на алгебре $A^*$. Тогда
$D-L_{D(1)}$ --- дифференцирование $A^*$.

\hfill

{\bf Доказательство:} 
Достаточно доказать Утверждение
\ref{_first_order_is_deri_Claim_} в предположении, 
что $D(1)$=0. Пусть $a, b \in A$ --- четные или нечетные
элементы. Поскольку оператор
 $\{ D, L_a\}$ $A^*$-линейный, имеем
\begin{align*}
 D(ab) - (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(b)= &\{ D, L_a\}(b) 
= \{ D, L_a\}(1) b \\ = &D(a)b + (-1)^{\tilde a\tilde D} a D(1) = D(a)b.
\end{align*}
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_D^1_dete_by_gene_Remark_}
Из Утверждения \ref{_first_order_is_deri_Claim_}
ясно, что дифференциальный оператор первого порядка
на $A^*$ определяется значениями, которые
он принимает на 1 и на любом наборе 
мультипликативных образующих $A^*$.

\hfill

Следующее утверждение также очевидно.

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\claim\label{_D^i_dete_by_gene_Remark_}
Пусть $D\in \End(A^*)$ --- эндоморфизм $A^*$,
а $V$ --- набор мультипликативных образующих $A^*$.
Предположим, что для любого $\nu \in V$, 
мы имеем $\{L_\nu, D\} \in D^i(A^*)$. Тогда
$D$ --- алгебраический дифференциальный
оператор $(i+1)$-го порядка.

\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Алгебраические дифференциальные операторы на $\Lambda^*(M)$}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Пусть $M$ --- гладкое многообразие, а 
$\Lambda^*(M)$ --- его алгебра де Рама. 
Легко видеть, что пространство дифференциальных операторов
(в обычном смысле) и пространство алгебраических дифференциальных
операторов на  $\Lambda^*(M)$ совпадают. 
С другой стороны, порядок дифференциальных
операторов на $\Lambda^*(M)$ в смысле Гротендика 
не совпадает с порядком дифференциального
оператора в обычном смысле. Например, 
подстановка векторного поля в форму 
 $C^\infty(M)$-линейна, следовательно,
она имеет порядок 0. Легко видеть, что
подстановка векторного поля является
дифференцированием алгебры $\Lambda^*(M)$,
и как алгебраический дифференциальный
 оператор имеет порядок 1.

Говоря о порядке дифференциальных операторов 
на $\Lambda^*(M)$, мы всегда имеем в виду порядок
алгебраических дифференциальных операторов.

Отныне и до конца этой статьи, мы полагаем
многообразие $M$ римановым.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\claim \label{_contra_1_Claim_}
Пусть $M$ --- риманово многообразие, а
$\eta\in \Lambda^1(M)$ --- 1-форма. Обозначим
 $\Lambda_\eta$ сопряженный оператор к 
$L_\eta$, $\Lambda_\eta = -*  L_\eta *$.
Тогда  $\Lambda_\eta$ --- дифференциальный оператор
первого порядка.

\hfill

{\bf Доказательство:} 
Очевидно,  $\Lambda_\eta$ --- оператор подстановки
векторного поля $\eta^\sharp$, двойственного к 
$\eta$. Подстановка векторного
поля это дифференцирование.
\endproof

\hfill

Утверждение \ref{_contra_1_Claim_} --- частный случай следующего
предложения, которое доказывается независимо.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_contra_n_form_Claim_}
Пусть $M$ --- риманово многообразие, а 
 $\eta\in \Lambda^n(M)$ --- $n$-форма. 
Обозначим за  $\Lambda_\eta$ сопряженный оператор к
$L_\eta$, $\Lambda_\eta = (-1)^{\tilde \eta}  *  L_\eta *$.
Тогда $\Lambda_\eta$ --- дифференциальный оператор
порядка $n$.

\hfill

{\bf Доказательство:} 
Мы используем индукцию по $n$. Для $n=0$, все очевидно.
Как следует из Замечания
 \ref{_D^i_dete_by_gene_Remark_}, чтобы доказать, что
$\Lambda_\eta\in D^n(\Lambda^*(M))$, достаточно убедиться,
что
\begin{equation}\label{_commu_w_L_a_D^n_Equation_}
\{\Lambda_\eta, L_a\} \in D^{n-1}(\Lambda^*(M)),
\end{equation}
для любого $a\in \Lambda^0(M), \Lambda^1(M)$.
Для $a\in \Lambda^0(M)$, \eqref{_commu_w_L_a_D^n_Equation_}
очевидно, поскольку $\Lambda_\eta$  $C^\infty(M)$-линейно,
и следовательно $\{\Lambda_\eta, L_a\}=0$. Для $a\in \Lambda^1(M)$,
легко видеть, что
\[
\{\Lambda_\eta, L_a\} = \Lambda_{(\eta\cntrct a^\sharp)}
\]
где $a^\sharp$ --- двойственное векторное поле, а
$\cntrct $ --- подстановка. Утверждение индукции немедленно
приводит к \eqref{_commu_w_L_a_D^n_Equation_}.
\endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Алгебраический дифференциальный оператор и его сопряженный]{Алгебраический дифференциальный оператор \\ и его сопряженный}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Основной результат этого раздела --- следующее предложение.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_adjoint_do_D^1_Proposition_}
Пусть $(M, g)$ --- риманово многообразие, а
\[ D:\; \Lambda^*(M)\arrow \Lambda^{*+1}(M)\] 
алгебраический дифференциальный оператор первого порядка.
Обозначим за $D^*$ его сопряженный, $D^*=-*D*$. Тогда
$D^*$ --- алгебраический дифференциальный оператор второго порядка.

\hfill

{\bf Доказательство:}

{\bf Шаг 1:} Как следует из Замечания 
\ref{_D^i_dete_by_gene_Remark_},
достаточно проверить, что оператор
\begin{equation}\label{_seco_commu_line_Equation_}
\{\{D^*, L_a\}, L_b\} \ \ \text{ $\Lambda^*(M)$-линейный},
\end{equation}
для всех $a, b\in  \Lambda^0(M), \Lambda^1(M)$.

\hfill

{\bf Шаг 2:}

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lemma\label{_first_order_degree_-2_Lemma_}
Пусть $\Lambda^*(M) \stackrel{D_1}\arrow \Lambda^{*-1}(M)$
--- алгебраический дифференциальный оператор первого
порядка, понижающий степень на 2. Тогда $D_1=0$.

{\bf Доказательство:} Следует из Замечания
\ref{_D^1_dete_by_gene_Remark_}. \endproof

\hfill

{\bf Шаг 3:} 
Очевидно, 
\[ \{\{D^*, L_a\}, L_b\}^* = D_1^*,\]
где $D_1:=\{\{D, \Lambda_a\}, \Lambda_b\}$.
Из Утверждения \ref{_contra_1_Claim_} и 
\eqref{_D^*(A)_Lie_algebra_Equation_} следует, что
 $D_1$ --- алгебраический дифференциальный оператор первого
порядка (это коммутатор нескольких дифференциальных 
операторов первого порядка).
Если $a, b \in \Lambda^1(M)$, то $D_1$ понижает степень
на 1. В силу Утверждения \ref{_first_order_is_deri_Claim_}, 
$D_1$ --- дифференцирование. Ясно, что дифференцирование,
которое зануляется на $\Lambda^0(M)$, $C^\infty(M)$-линейно.
Поэтому в этой ситуации $D_1$  $C^\infty(M)$-линейно.

Из Леммы \ref{_first_order_degree_-2_Lemma_} вытекает,
что коммутатор  $D_1$ с $\Lambda_c$ зануляется, для всех
$c\in \Lambda^1(M)$: 
\begin{equation}\label{_commu_D_1_Lambda_Equation_}
\{D_1, \Lambda_c\}=0
\end{equation}

Оператор
$D_1^*=\{\{D^*, L_a\}, L_b\}$  $C^{\infty}(M)$-линейный
(будучи сопряженным к $D_1$), и коммутирует с любым $L_a$,
как следует из \eqref{_commu_D_1_Lambda_Equation_}.
Поэтому $D_1^*$ --- $\Lambda^*(M)$-линейный. Это доказывает
\eqref{_seco_commu_line_Equation_} для $a, b \in \Lambda^1(M)$.

\hfill

{\bf Шаг 4:} Очевидно, $L_a=\Lambda_a$, если $a\in \Lambda^0(M)$.
Тогда
\begin{equation}\label{_commu_seco_vanishes_Equation_}
\{\{D^*, L_a\}, L_b\}=\{\{D^*, \Lambda_a\}, \Lambda_b\}=
\{\{D, L_a\}, L_b\}^*=0,
\end{equation}
поскольку $D$ --- дифференциальный оператор первого порядка.
Мы доказали
 \eqref{_seco_commu_line_Equation_} для $a, b \in \Lambda^0(M)$.

\hfill


{\bf Шаг 5:} Поскольку алгебра $\Lambda^*(M)$
суперкоммутативна, $\{L_a, L_b\}=0$ для всех 
$a, b \in \Lambda^*(M)$. Используя суперкоммутативную
версию соотношения Якоби, мы получаем
\begin{equation}\label{second_commu_order_Equation}
\{\{D^*, L_a\}, L_b\}= (-1)^{\tilde a \tilde b }\{\{D^*, L_b\}, L_a\},
\end{equation}
для всех $a, b$. 
На шаге 3 и 4 мы доказали 
\eqref{_seco_commu_line_Equation_} для всех $a, b \in \Lambda^1(M)$,
 $a, b \in \Lambda^0(M)$. В силу \eqref{second_commu_order_Equation},
чтобы доказать \ref{_adjoint_do_D^1_Proposition_}
остается убедиться, что оператор
$\{\{D^*, L_a\}, L_b\}$ --- $\Lambda^*(M)$-линеен для
$a\in \Lambda^0(M), b \in \Lambda^1(M)$.

\hfill

{\bf Шаг 6:} В этом случае,
\[ \{D^*, L_a\}= 
   \{ D^*, \Lambda_a\} = \{D, L_a\}^*= L_{D(a)}^* = \Lambda_{D(a)}.
\]
Обозначим за $g$ тензор римановой метрики на $M$.
Тогда
\[ \{\{D^*, L_a\}, L_b\}= \{ \Lambda_{D(a)}, L_b\} = g(D(a), b),\]
поскольку $\Lambda_{D(a)}$ --- подстановка двойственного
векторного поля $D(a)^\sharp$. Поэтому $\{\{D^*, L_a\}, L_b\}$ --- 
скалярная функция, а следовательно, этот оператор $\Lambda^*(M)$-линейный.
Предложение \ref{_adjoint_do_D^1_Proposition_} доказано. \endproof


\hfill


{\bf Благодарности:} Автор признателен Роберту Брайанту и
Полу-Анди Надю за поучительную переписку. П.-А. Надю
принадлежит идея добавить в текст статьи 
Замечание \ref{_primitivity_Remark_}.


{\small
\begin{thebibliography}{XXX}



\bibitem[AFHS]{_Acharya_Jose_Hull_Spence_}
BS Acharya, JM Figueroa-O'Farrill, CM Hull, B Spence,
{\em Branes at conical singularities and holography},
hep-th/9808014, Adv.Theor.Math.Phys. 2 (1999) 1249-1286

\bibitem[AcW]{_Acharya_Witten_}
Bobby Acharya, Edward Witten,
{\em Chiral Fermions from Manifolds of $G_2$ Holonomy}, 
hep-th/0109152

\bibitem[AtW]{_Atiyah_Witten_}
Michael Atiyah, Edward Witten,
{\em M-Theory Dynamics On A Manifold Of $G_2$ Holonomy},
Adv. Theor. Math. Phys. {\bf 6} (2003) 1-106, also
hep-th/0107177. 


\bibitem[BFGK]{_Baum_etc_}
H. Baum, Th. Friedrich, R. Grunewald, I. Kath, {\em Twistor and Killing
  spinors on Riemannian manifolds,} Teubner-Texte zur Mathematik, 124,
  B. G. Teubner, Stuttgart, 1991.


\bibitem[CS]{_Cleyton_Swann_}
Cleyton, R., Swann, A., 
{\em Einstein Metrics via Intrinsic or Parallel Torsion},
math.DG/0211446, also in:  Math. Z.  {\bf 247}  (2004),  no. 3, 513-528.


\bibitem[ES]{_Eels_Salamon_}
J. Eells and S. Salamon,
{\em  Twistorial construction of harmonic maps of surfaces
  into  four-manifolds}, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 
Cl. Sci. {\bf 12} (1985), 589-640.

\bibitem[F]{_Friedrich:S^6_} Thomas Friedrich,
{\em Nearly K\"ahler and nearly parallel $G_2$-structures on spheres},
2 pages, math.DG/0509146.

\bibitem[FI]{_Friedrich_Ivanov:physics_}
Friedrich, Thomas; Ivanov, Stefan,  {\em Parallel spinors and
connections with skew-symmetric torsion in string theory},
math.DG/0102142, Asian J. Math.  6  (2002),  no. 2, 303-335. 


\bibitem[Gr1]{_Gray:1965_}
Gray, Alfred,
{\em Minimal varieties and almost Hermitian submanifolds,}
Michigan Math. J. {\bf 12} (1965), 273-287.

\bibitem[Gr2]{_Gray:NK_}
Gray, Alfred,
{\em  Nearly K\"ahler manifolds},
J. Differential Geometry {\bf 4} (1970), 283-309.

\bibitem[Gr3]{_Gray:weak_holo_}
Gray, Alfred,
{\em
Weak holonomy groups},
Math. Z. {\bf 123} (1971), 290-300.

\bibitem[Gr4]{_Gray:structure_NK_}
Gray, Alfred, {\em The structure of nearly 
Kahler manifolds}, Math. Ann. {\bf 223} (1976), 233-248


\bibitem[GH]{_Griffi_Harri_} 
Griffiths, Ph., Harris, J., 
{\em Principles of Algebraic Geometry}, 
New York, 1978.

\bibitem[Gru]{_Grunewald_}
R. Grunewald, 
{\em Six-Dimensional Riemannian manifolds with real
  Killing spi\-nors}, 
Ann. Global Anal. Geom. {\bf 8} (1990), 43-59.


\bibitem[K]{_Kirichenko:torsion_NK_}
V. F. Kirichenko, {\em $K$-spaces of maximal rank}, Mat. Zametki 
{\bf 22} (1977), 465-476


\bibitem[MNS1]{_Moroianu_Nagy_Semmelmann:NK_}
Moroianu, Andrei; Nagy, Paul-Andi; Semmelmann, Uwe,
{\em Unit Killing vector fields on nearly K\"ahler
  manifolds},  math.DG/0406492, also in
 Internat. J. Math. {\bf 16}  (2005),  no. 3, 281-301.


\bibitem[MNS2]{_MNS:DNK_}
Moroianu, Andrei; Nagy, Paul-Andi; Semmelmann, Uwe,
{\em Deformations of Nearly K\"ahler Structures},
15 pages, math.DG/0611223

\bibitem[N] {_Nagy:splittine_}
Paul-Andi Nagy, 
{\em Nearly K\"ahler geometry and Riemannian foliations},
Asian J. Math. {\bf 3} vol. 6, (2002), 481-504, math.DG/0203038.

\bibitem[V1]{_Verbitsky:HKT_}
Verbitsky, M., 
{\em 
Hyperk\"ahler manifolds with torsion, supersymmetry and Hodge theory},
math.AG/0112215, 47 pages (Asian J. of Math., 
Vol. 6 (4), December 2002).

\bibitem[V2]{_Verbitsky:LCHK_}
M. Verbitsky,
{\em  Vanishing theorems for locally
conformal hyperk{\"a}hler manifolds}, 2003,
math.DG/0302219, also in 
Proc. of Steklov Institute, {\bf 246} (2004),  54-79.


\bibitem[V3]{_Verbitsky:NK_}
Verbitsky, M.,
{\em An intrinsic volume functional on almost complex
  6-manifolds and nearly K\"ahler geometry},
25 pages, math.DG/0507179.


\end{thebibliography}


\hfill


\noindent {\sc Misha Verbitsky \\
University of Glasgow, Department of Mathematics, \\
15 University Gardens, Glasgow G12 8QW, Scotland.} \\
\   \\
{\sc  Институт теоретической и экспериментальной физики,\\
Б. Черемушкинская, 25, Москва,  117259, Россия} \\
\  \\
\tt verbit@maths.gla.ac.uk, \ \  verbit@mccme.ru 
}% end of small




\end{document}










