

\documentclass[11pt]{article}

\usepackage{amsmath, amssymb, amscd}
\usepackage[russian]{babel}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}

\def\eqref#1{(\ref{#1})}
\newcommand{\goth}{\frak}
\newcommand{\g}{{\frak g}}
\newcommand{\arrow}{{\:\longrightarrow\:}}
\newcommand{\Z}{{\Bbb Z}}
\def\C{{\Bbb C}}
\newcommand{\R}{{\Bbb R}}
\newcommand{\Q}{{\Bbb Q}}
\renewcommand{\H}{{\Bbb H}}
\newcommand{\6}{\partial}
\def\1{\sqrt{-1}\:}
\newcommand{\restrict}[1]{{\left|_{{\phantom{|}\!\!}_{#1}}\right.}}
\newcommand{\cntrct}                % contraction with a vector field
{\hspace{2pt}\raisebox{1pt}{\text{$\lrcorner$}}\hspace{2pt}}


\newcommand{\calo}{{\cal O}}
\newcommand{\cac}{{\cal C}}

% Correcting TeX...
%\let\oldtilde=\tilde
%\renewcommand{\tilde}{\widetilde}
\renewcommand{\bar}{\overline}
\renewcommand{\phi}{\varphi}
\renewcommand{\epsilon}{\varepsilon}
\renewcommand{\geq}{\geqslant}
\renewcommand{\leq}{\leqslant}

% Operatornames
\newcommand{\even}{{\rm even}}
\newcommand{\ev}{{\rm even}}
\newcommand{\odd}{{\rm odd}}
\newcommand{\const}{{\it const}}
\newcommand{\fl}{{\rm fl}}
\newcommand{\im}{\operatorname{im}}
\newcommand{\End}{\operatorname{End}}
\newcommand{\Coh}{\operatorname{Coh}}
\newcommand{\Tot}{\operatorname{Tot}}
\newcommand{\Id}{\operatorname{Id}}
\newcommand{\id}{\operatorname{\text{\sf id}}}
\newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}}
\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}}
\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}
\newcommand{\Iso}{\operatorname{Iso}}
\newcommand{\Sec}{\operatorname{Sec}}
\newcommand{\Can}{\operatorname{Can}}
\newcommand{\Diff}{\operatorname{Diff}}
\newcommand{\Sing}{\operatorname{Sing}}
\newcommand{\codim}{\operatorname{codim}}
\newcommand{\coim}{\operatorname{coim}}
\newcommand{\coker}{\operatorname{coker}}
\newcommand{\slope}{\operatorname{slope}}
\newcommand{\rk}{\operatorname{rk}}
\newcommand{\Lin}{\operatorname{Lin}}
\newcommand{\Hor}{\operatorname{Hor}}
\newcommand{\Def}{\operatorname{Def}}
\newcommand{\Lie}{\operatorname{Lie}}
\newcommand{\Tw}{\operatorname{Tw}}
\newcommand{\Tr}{\operatorname{Tr}}
\newcommand{\Spec}{\operatorname{Spec}}

\renewcommand{\Re}{\operatorname{Re}}
\renewcommand{\Im}{\operatorname{Im}}



\newcommand{\inbfpare}[1]{{%
  \mbox{\tt (}\hspace{-5pt}\mbox{\tt (} #1 % 
  \mbox{\tt )}\hspace{-5pt}\mbox{\tt )}%
}}
\newcommand{\comment}[1]{{}}

\def\blacksquare{\hbox{\vrule width 4pt height 4pt depth 0pt}}
\def\endproof{\blacksquare}
\def\shortdash{\mbox{\vrule width 4.5pt height 0.55ex depth -0.5ex}}


\makeatletter

\@ifundefined{Bbb}
     {\newcommand{\Bbb}[1]{{\mathbb #1}}}%
{}%     {\edef\Bbb#1{{\Bbb #1}}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%       Pagestyle                                %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
 
 
\newcommand{\ps@verbit}{%
  \renewcommand{\@oddhead}{%
          \scriptsize
          {Голоморфные расслоения на многообразиях Хопфа}
          \hfil\tiny {М. Вербицкий, 27 августа 2004 }}
  \renewcommand{\@evenhead}{\@oddhead}
  \renewcommand{\@oddfoot}{\hfil\thepage\hfil}
  \renewcommand{\@evenfoot}{\@oddfoot}}
 
\pagestyle{verbit}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Lemma, sublemma, corollary, proposition, theorem,             %
% definition,example defined there:                             %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\newcounter{Mycounter}[section]
\newcounter{lemma}[section]
\setcounter{lemma}{0}
\renewcommand{\thelemma}{{\thesection.\arabic{lemma}}}
\newcommand{\lemma}{%
     \setcounter{lemma}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{lemma}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Лемма  \thelemma:\ }}

\newcounter{claim}[section]
\setcounter{claim}{0}
\renewcommand{\theclaim}{{\thesection.\arabic{claim}}}
\newcommand{\claim}{%
     \setcounter{claim}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{claim}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Утверждение \theclaim:\ }}

\newcounter{sublemma}[section]
\setcounter{sublemma}{0}
\renewcommand{\thesublemma}{{\thesection.\arabic{sublemma}}}
\newcommand{\sublemma}{%
     \setcounter{sublemma}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{sublemma}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Сублемма \thesublemma:\ }}

\newcounter{corollary}[section]
\setcounter{corollary}{0}
\renewcommand{\thecorollary}{{\thesection.\arabic{corollary}}}
\newcommand{\corollary}{%
     \setcounter{corollary}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{corollary}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Следствие \thecorollary:\ }}

\newcounter{theorem}[section]
\setcounter{theorem}{0}
\renewcommand{\thetheorem}{{\thesection.\arabic{theorem}}}
\newcommand{\theorem}{%
     \setcounter{theorem}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{theorem}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Теорема \thetheorem:\ }}

\newcounter{conjecture}[section]
\setcounter{conjecture}{0}
\renewcommand{\theconjecture}{{\thesection.\arabic{conjecture}}}
\newcommand{\conjecture}{%
     \setcounter{conjecture}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{conjecture}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Гипотеза \theconjecture:\ }}

\newcounter{proposition}[section]
\setcounter{proposition}{0}
\renewcommand{\theproposition}
       {{\thesection.\arabic{proposition}}}
\newcommand{\proposition}{%
     \setcounter{proposition}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{proposition}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Предложение \theproposition:\ }}

\newcounter{definition}[section]
\setcounter{definition}{0}
\renewcommand{\thedefinition}
       {{\thesection.\arabic{definition}}}
\newcommand{\definition}{%
     \setcounter{definition}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{definition}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Определение \thedefinition:\ }}


\newcounter{example}[section]
\setcounter{example}{0}
\renewcommand{\theexample}{{\thesection.\arabic{example}}}
\newcommand{\example}{%
     \setcounter{example}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{example}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Пример \theexample:\ }}

\newcounter{remark}[section]
\setcounter{remark}{0}
\renewcommand{\theremark}{{\thesection.\arabic{remark}}}
\newcommand{\remark}{%
     \setcounter{remark}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{remark}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Замечание \theremark:\ }}


\newcounter{problem}[section]
\setcounter{problem}{0}
\renewcommand{\theproblem}{{\thesection.\arabic{problem}}}
\newcommand{\problem}{%
     \setcounter{problem}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{problem}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Задача \theproblem:\ }}


\newcounter{question}[section]
\setcounter{question}{0}
\renewcommand{\thequestion}{{\thesection.\arabic{question}}}
\newcommand{\question}{%
     \setcounter{question}{\value{Mycounter}}
     \refstepcounter{question}
     \stepcounter{Mycounter}
     {\bf Вопрос \thequestion:\ }}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%  equations                          %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\renewcommand{\theequation}{\thesection.\arabic{equation}}

\@addtoreset{equation}{section}
\@addtoreset{footnote}{section}
\makeatother

\begin{document}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
{\LARGE\bf
Голоморфные расслоения \\[3mm] на диагональных многообразиях Хопфа
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\\[4mm]
Миша Вербицкий\footnote{Misha Verbitsky is 
an EPSRC advanced fellow 
supported by EPSRC grant  GR/R77773/01}
\\[4mm]

{\tt verbit@maths.gla.ac.uk, \ \  verbit@mccme.ru}
\end{center}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
{\small 
\hspace{0.15\linewidth}
\begin{minipage}[t]{0.7\linewidth}
{\bf Abstract} \\
Пусть $A\in GL(n)$ -- линейный оператор, действующий на 
$\C^n$ с собственными значениями $|\alpha_i|<1$.
Рассмотрим соответствующее многообразие Хопфа
$M = (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$. Мы доказываем, что
каждое стабильное голоморфное расслоение на $M$ 
поднимается до $\tilde G_F$-эквивариантного когерентного
пучка на $\C^n$, 
где $\tilde G_F \cong (\C^*)^l$ коммутативная
редуктивная группа, действующая на 
$\C^n$ и содержащая $A$.
Используя это, мы доказываем, что все расслоения
на $M$ фильтруемые, то есть получаются в результате
последовательных расширений когерентных пучков ранга $\leq
1$.
\end{minipage}
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

{
\small
\renewcommand{\contentsname}{Содержание}
\tableofcontents
}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Введение}
\label{_Intro_Section_}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

В этой работе мы изучаем многообразия Хопфа вида
$M = (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$,
где $A\in GL(n, \C)$ -- линейный оператор с
собственными значениями $|\alpha_i| <1$
(такой оператор называется {\bf линейным сжатием}, или контракцией).
Деформируя $A$ к скалярному оператору $\lambda \cdot Id$,
$0<|\lambda|<1$, мы находим, что $M$ диффеоморфно
$S^{2n-1}\times (\R/\Z) \cong S^{2n-1}\times S^1$.
У многообразия $M$ нечетные числа Бетти нечетны, 
а значит $M$ не допускает кэлеровой структуры.
Многообразие Хопфа -- первый и наиболее фундаментальный
пример некэлерова многообразия, встречающийся
в алгебраической геометрии.

Если $A$ диагонально и имеет форму  $A = \tau \cdot Id$,
то $M$ -- эллиптическое расслоение над $\C P^{n-1}$,
со слоями, изоморфными (неканонически) эллиптической кривой
$C_\tau = \C^*/\langle \tau\rangle$.
В этом (т. н. ``классическом'') случае 
алгебраическая размерность $M$ максимально возможная
для многообразия Хопфа.
Для произвольного $A$, алгебраическая размерность
$M$ может принимать любое значение от 0 до $n-1$.


Алгебраическая геометрия многообразий Хопфа,
а в особенности поверхностей Хопфа, хорошо
изучена (см. \cite{_Kato1_}, \cite{_Kato2_},
\cite{_Brinzanescu_Moraru:FM_}, \cite{_Brinzanescu_Moraru:stable_},
\cite{_Moraru:Hopf_}). Для $\dim M=2$, достаточно
хорошо изучена геометрия стабильных голоморфных
расслоений на $M$ (\cite{_Moraru:Hopf2_}).

Типичное стабильное векторное расслоение в такой ситуации
не \linebreak {\it фильтруемо}, т.е. не представляется
в виде последовательных расширений когерентных пучков
ранга $\leq 1$. В этом аспекте категории когерентных
пучков над поверхностью Хопфа разительно
отличается от категории когерентных
пучков над алгебраическим многообразием,
где любой пучок, по очевидным причинам,
фильтруем. Хорошо известно, что на
многих неалгебраических многообразиях
(таких, как общая K3-поверхость или двумерный тор)
стабильные расслоения ранга $>1$ не фильтруемы.

Если $\dim_\C M >2$, геометрия голоморфных векторных
расслоений на многообразии Хопфа устроена принципиально 
иначе, чем в размерности 2.
В  \cite{_Verbitsky:Sta_Elli_}
показано, что любое голоморфное расслоение
(и любой когерентный пучок) на классическом
многообразии Хопфа
\[ 
 M=(\C^n\backslash 0)/\langle \lambda \cdot Id\rangle, 
 \ \  n>2, \ \ 0< |\lambda|<1
\]
фильтруемый. В настоящей работе, мы доказываем
этот результат для произвольного диагонального
многообразия Хопфа.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_main_filtra_Theorem_}
Пусть дан диагональный линейный оператор
$A\in GL(n, \C)$, со всеми собственными
значениями $|\alpha_i|<1$, а 
$M = (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$
соответствующее многообразие Хопфа. 
Тогда любой когерентный пучок $F\in \Coh(M)$ 
{\bf фильтруемый}, иначе говоря, допускает 
фильтрацию 
\[ 
0 = F_0 \subset F_1 \subset ... \subset F_m = F
\]
с подфакторами $\rk F_i /F_{i-1} \leq 1$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Используя индукцию,
мы всегда можем предположить, что любой
$F'$ с $\rk F' < \rk F$ фильтруемый. 
Тогда $F$ фильтруемо, если у $F$
есть когерентный подпучок положительного 
ранга, меньшего $\rk F$.
В том случае, когда такого подпучка нет,
$F$ стабилен. Поэтому Теорема \ref{_main_filtra_Theorem_}
вытекает из следующей теоремы, доказанной
в Секции \ref{_equi_shea_Section_} методами
калибровочной теории.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_stable_filtra_main_Theorem_}
Пусть дан диагональный линейный оператор
$A\in GL(n, \C)$, со всеми собственными
значениями $|\alpha_i|<1$, а 
$M = (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$
соответствующее многообразие Хопфа. 
Выберем локально конформно кэлерову
эрмитову метрику на $M$, как в Разделе
 \ref{_LCK_Hopf_Subsection_}.
Пусть дано голоморфное расслоение
(или рефлексивный когерентный пучок) $F$
на $M$, стабильное по отношению к этой
эрмитовой структуре.\footnote{Определение
стабильности на эрмитовых комплексных
многообразиях дается в Секции
\ref{_stable_Kobaya_Section_}.}
Тогда $F$ фильтруемое.

\hfill

{\bf Доказательство:} См. Замечание
\ref{_equi_shea_and_shea_on_Hopf_Remark_}.
\endproof

\hfill

Доказательство Теоремы \ref{_stable_filtra_main_Theorem_}
устроено следдующим образом. Используя соответствие
Кобаяши-Хитчина на комплексных эрмитовых \\ многообразиях
(Секция \ref{_stable_Kobaya_Section_}),
мы покажем, что любое стабильное расслоение
на диагональном многообразии Хопфа эквивариантно
по отношению к некоторому голоморфному потоку
$A(t)\in GL(n, \C)$ (Следствие
\ref{_all_stable_equi_Corollary_}).
Взяв пополнение этого потока,
мы получим абелеву группу Ли $\tilde G_F$, которая изоморфна 
$(\C^*)^l$ (Предложение \ref{_tilde_G_C^*^l_Proposition_}). 
Мы доказываем, что $F$ $\tilde G_F$-эквивариантно.
Это позволяет рассматривать стабильные
голоморфные расслоения (или рефлексивные пучки)
на $M$ как объекты в категории
$(\C^*)^l$-эквивариантных когерентных 
пучков на $\C^n\backslash 0$
(Замечание \ref{_equi_shea_and_shea_on_Hopf_Remark_}).
Затем мы показываем, что все объекты в этой
категории фильтруемы (Теорема \ref{_Coh_G_F_filtra_Theorem_}). 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Диагональные многообразия Хопфа и вайсманова геометрия}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Введение в вайсманову геометрию}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть $M$ - комплексное многообразие, $\dim_\C M >1$, а
$\tilde M$ его накрытие. Предположим, что 
$\tilde M$ снабжено кэлеровой формой
$\omega_K$, таким образом, что отображение
монодромии действует на $(\tilde M, \omega_K)$ 
гомотетиями. Форма $\omega_K$ задает конформный класс 
эрмитовых метрик на $M$, который мы обозначим за $[\omega_K]$.
Пара ($M,[\omega_K]$)  называется {\bf 
локально конформно кэлеровым (ЛКК) 
многообразием}. Эрмитова форма $\omega_H$ на $M$
называется ЛКК-формой, если она принадлежит
конформному классу  $[\omega_K]$.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Рассмотрим ЛКК-многообразие $M$ с ЛКК-\-фор\-мой  $\omega_H$.
Обратный образ  $\omega_H$ на $\tilde M$ 
записывается в виде $f\omega_K$, где $f$
гладкая функция, а $\omega_K$ кэлерова
форма на $\tilde M$. Следовательно
$d \omega_H = \omega_H \wedge \theta$,
где $\theta= \frac {d f} f$ гладкая 
1-форма на $M$. Поскольку $\theta=d \log f$,
форма $\theta$ замкнута. Эта форма называется
{\bf формой Ли} $(M, \omega_H)$.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Для общего эрмитова комплексного многообразия $(M, \omega_H)$, 
форма Ли определяется как $(d^c)^*\omega_H$, где $d^c =I \circ d
\circ I^{-1}$ обозначает скрученный дифференциал де Рама,
а ${d^c}^*$ оператор, двойственный $d^c$ относительно эрмитовой
метрики. Нетрудно доказать, что это определение
совпадает с приведенным выше.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition\label{_Gauduchin_defi_Definition_}
Пусть дано эрмитово комплексное многообразие 
$(M, \omega_H)$,  $\dim_\C M=n$.
Метрика $\omega_H$ называется {\bf метрикой Годушона}, если
$d^*{d^c}^*\omega_H=0$, или, что эквивалентно,
$d d^c(\omega_H^{n-1}) =0$.


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark 
В работе \cite{_Gauduchon_1984_}, Поль Годушон доказал,
что такая метрика существует на любом компактном
комплексном многообразии, и единственна в
каждом конформном классе.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
На компактном ЛКК-многообразии, результат Годушона
превращается в результат о существовании и единственности
ЛКК-метрики с гармонической формой Ли $\theta$.
Действительно,  форма Ли ${d^c}^*\omega_H=\theta$
всегда замкнута, следовательно
$d^*{d^c}^*\omega_H=0$ эквивалентно $d^*\theta=0$. 

\hfill

В дальнейшем, мы всегда фиксируем выбор эрмитовой
метрики на компактном ЛКК-многообразии, выбирая метрику
Годушона.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть дано ЛКК-многообразие $M$, снабженное
годушоновой метрикой $\omega_H$, а $\theta$ ее форма Ли.
 Предположим, что $\theta$ параллельна 
относительно связности Леви-Чивита на $(M, \omega_H)$.
Тогда $M$ называется {\bf многообразием Вайсмана}

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_Kamishima_Ornea_Remark_}
Согласно результатам Камишимы и Орнеа 
(\cite{_Kamishima_Ornea_}), компактное ЛКК-многообразие
$M$ вайсманово тогда и только тогда, когда
оно допускает голоморфное векторное поле,
действующее на $M$ конформно, и таким образом,
что поднятие этого действия на кэлерово накрытие 
$\tilde M$ -- не изометрия $(\tilde M, \omega_K)$.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark 
Нетрудно видеть (см. \cite{_Dragomir_Ornea_}) 
что из параллельности $\theta$ вытекает
голоморфность вектора $\theta^\sharp$,
двойственного $\theta$ (так называемого {\bf поля Ли}).
Более того, $\theta^\sharp$ действует на $M$
изометриями, и его поднятие на 
 $\tilde M$ задает на $(\tilde M, \omega_K)$ 
неизометрическое конформное преобразование.
Это дает первую часть теоремы
Камишимы-Орнеа.

\hfill

За дальнейшими результатами и деталями
вайсмановой геометрии, читатель отсылается к 
\cite{_Dragomir_Ornea_}, \cite{_Gauduchon_Ornea_},
\cite{_OV:Structure_}, \cite{_OV:Immersion_}, \cite{_OV:Potential_}.


\hfill

В дальнейшем, нам понадобится следующая лемма,
которая доказана в  \cite{_Verbitsky:LCHK_} 
(также см. \cite{_OV:Immersion_}).

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lemma \label{_omega_0_in_Vaisman_Lemma_}
Пусть дано вайсманово многообразие $M$,
$\theta^\sharp$ его поле Ли, 
а $\Sigma$ комплексное голоморфное слоение,
порожденное $\theta^\sharp$. Обозначим за
$\omega_0:= d^c \theta$ вещественную (1,1)-форму,
где $d^c = I \circ d \circ I^{-1}$ это скрученный
ифференциал де Рама. Тогда $\omega_0\geq 0$,
и нуль-слоение формы $\omega_0$ -- в точности 
$\Sigma$.

\endproof


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark \label{_weight_bu_Remark_}
Пусть  $L_{\R}$ вещественное плоское линейное
расслоение на $M$ с теми же коэффициентами монодромии,
как и $\omega_K$ 
(в конформной геометрии, это расслоение известно как
{\bf весовое расслоение}). Каждое невырожденное
положительное сечение $L_{\R}$ соответствует,
единственным образом, ЛКК-метрике на $M$, и
обратное тоже верно. Метрика Годушона
определяет, таким образом, сечение  $\mu_G\in L_{\R}$.
Рассмотрим комплексификацию $L:= L_{\R}\otimes_{\R} \C$
как голоморфное эрмитово линейное расслоение,
с голоморфной структурой индуцированной
из плоской связности, и эрмитовой структурой,
которая определяется соотношением
$|\mu_G|=const$. Обозначим за $\nabla_C$ 
связность Черна, соответствующую данной
метрике и голоморфной структуре. Тогда
кривизна $\nabla_C$ равна $-\1 \omega_0$
(\cite{_Verbitsky:LCHK_}, \cite{_OV:Immersion_}).


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[ЛКК-структура на диагональных многообразиях
Хопфа]{ЛКК-структура на диагональных многообразиях\\ Хопфа}
\label{_LCK_Hopf_Subsection_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Примеры 
ЛКК-многообразий и многообразий Вайсмана
можно получить, изучая геометрию многообразий Хопфа.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть $A\in GL(n)$ -- линейный оператор, действующий на 
$\C^n$ с собственными значениями $|\alpha_i|<1$.
Обозначим за $\langle A \rangle\subset GL(n, \C)$ 
циклическую группу, порожденную $A$. Фактор
\[ (\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle\]
нзывается {\bf линейным многообразием Хопфа}.
Если $A$ диагонализуемо, $(\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle$
называется {\bf диагональным многообразием Хопфа}.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Если взять произвольное голоморфное сжатие
вместо линейного, можно получить общее определение
многообразия Хопфа  (см. например
 \cite{_Kato1_}, \cite{_Kato2_}). 

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Многообразия Вайсмана были определены в работах Изу Вайсмана, 
который посвятил им большую серию статей в конце 1970-х и
начале 1980-х, (см. напр.
\cite{_Vaisman:Dedicata_}, \cite{_Vaisman:Torino_}). 
Вайсман называл их ``обобщенными многообразиями Хопфа''.
Это название не прижилось, поскольку многие многообразия
Хопфа, как было впоследствии доказано, не являются
вайсмановыми. Для линейных многообразий Хопфа,
$(\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle$ вайсманово
тогда и только тогда, когда $A$ диагонализуемо
(см. \cite{_OV:Potential_}).

\hfill

Пусть задан диагональный линейный
оператор $A\in GL(n, \C)$, 
\begin{equation*}
\begin{bmatrix} \alpha_1 & 0 & \dots & 0\\
0 & \alpha_2 & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \dots & \alpha_n,
\end{bmatrix}, \hfill \hfill |\alpha_i| <1
\end{equation*}
Рассмотрим кэлерову метрику $\omega_K:= -\1\6\bar\6 \phi$ на
$\C^n \backslash 0$, определенную через посредство
кэлерова потенциала 
$\phi:\; \C^n \backslash 0\arrow \R$, где $\phi$
определяется формулой
\begin{equation}\label{_potential_phi_formula_Equation_} 
\phi(t_1, ... , t_n) = \sum |t_i|^{\beta_i},
\end{equation}
а $\beta_i:= \log_{|\alpha_i|^{-1}} C$
положительные вещественные числа, которые 
удовлетворяют соотношению
$|\alpha_i|^{-\beta_i}= C$ для некоторой
вещественной константы $C>1$, выбранной таким образом,
что все $\beta_i$ удовлетворяют $|\beta_i| \geq 2$. 
По построению,  $A^*\phi = C^{-1} \phi$. Действительно,
\[ A^*\phi(t_1, ..., t_n) = \phi(A(t_1, ..., t_n))=
   \sum |\alpha_i t_i|^{\beta_i}= C^{-1}\phi(t_1, ..., t_n).
\]
Следовательно $\omega_K:= -\1\6\bar\6 \phi$
кэлерова форма, удовлетворяющая $A^* \omega_K =C^{-1}\omega_K$.
Мы получаем, что диагональное многообразие Хопфа
$(\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle$ локально
конформно кэлерово.
Чтобы убедиться, что оно вайсманово, заметим,
что голоморфное векторное поле $\log A$ действует на
$(\C^n\backslash 0, \omega_K)$ конформно, и применим
теорему Камишима-Орнеа
(Замечание \ref{_Kamishima_Ornea_Remark_}). 

Для дальнейшего, нам понадобится явная
форма поля Ли для метрики Годушона, индуцированной
локально конформно кэлеровой структурой 
на $(\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle$.

Рассмотрим действие комплексной группы Ли
$V(t)= e^{\C v}$, порожденной голоморфным векторным полем
\[ v:= \sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}.\] 
По построению, $V(\lambda)$ -- линейный оператор, который
можно записать в виде $\sum e^{|\alpha_i|\lambda} t_i$.
Для вещественных $\lambda$, этот оператор умножает  $\phi$
на константу $C^\lambda$ (это доказывается таким же
способом, как и равенство $A(\phi)=C^{-1}\phi$).
Для чисто мнимого $\lambda$,
$V(\lambda)$ сохраняет $\phi$ (это ясно из конструкции).
Следовательно $v^c:= I(v)$ действует на $(\C^n\backslash 0, \omega_K)$
голоморфными изометриями. 

Соответствующее отображение моментов
 $\mu:\; \C^n\backslash 0\arrow \R$
задается формулой $d\mu = \omega_K(v^c, \cdot)$. 
Эту дифференциальную форму также можно записать в виде
\begin{equation}\label{_omega_K(v^c)_Equation_}
(d d^c \phi)\cntrct v^c =
\Lie_{v^c} d^c \phi - d(d^c\phi \cntrct v^c).
\end{equation}

Первый член справа от знака равенства в 
\eqref{_omega_K(v^c)_Equation_} зануляется, поскольку
$v^c$ действует на $(\C^n\backslash 0)$, сохраняя $\phi$
и комплексную структуру. Это дает
\[ \omega_K(v^c, \cdot)=(d d^c \phi)\cntrct v^c = -d(d^c\phi \cntrct v^c)
= d(d\phi\cntrct v)= \log C \cdot d\phi
\]
(последнее равенство следует из 
$d\phi\cntrct v= \Lie_v \phi = \log C\cdot \phi$).
Мы получили, что $\log (C)\phi$ -- отображение моментов для 
группы $V(t)$, действующей на $(\C^n\backslash 0, \omega_K)$.

Из этого вытекает следующее утверждение,
хорошо известное во многих других ситуациях

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\claim\label{_moment_map_Claim_}
Пусть дан диагональный линейный оператор
 $A\subset GL(n, \C)$ со всеми собственными значениями
$|\alpha_i| <1$. Рассмотрим кэлерову метрику
$\omega_K:= -\1 \6\bar\6 \phi$ на $\C^n\backslash 0$,
где кэлеров потенциал $\phi$ определяется формулой 
\eqref{_potential_phi_formula_Equation_}, и пусть
$V(t)= e^{\C v}$ -- голоморфный поток, порожденный 
$v:=\sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}$. 
Обозначим за $v^c$ векторное поле $I(v)$.
Тогда $e^{\R v^c}\subset V(t)$
сохраняет кэлерову структуру на
 $\C^n\backslash 0$, и соответствующее отображение
моментов равно $\log (C)\phi$:
\[ d(\log (C)\phi) = \omega_k(v^c, \cdot).
\]

\endproof

\hfill

Рассмотрим эрмитову форму $\omega_H = \frac{\omega_K}\phi$
на $M = (\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle$.
Соответствующая форма Ли $\theta$ получена как 
\[ d\omega_H = - \frac{\omega_K}{\phi^2}= - \omega_H \wedge \log d\phi,
\]
следовательно, $\theta= \frac{d\phi}{\phi}$.
Двойственное по отношению к $\omega_H$ векторное поле
(поле Ли) задается как 
$\theta^{\sharp}= v$, где $v=\log (C)\sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}$.
Это ясно, потому что $v$ двойственно $\log (C)d\phi$
по отношению к $\omega_K$, как следует из 
Утверждения \ref{_moment_map_Claim_},
а $\omega_H = \frac{\omega_K}\phi$.

Мы получили следующее предложение.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_Lee_field_on_Hopf_Proposition_}
В условиях Утверждения \ref{_moment_map_Claim_},
рассмотрим эрмитову форму $\omega_H = \frac{\omega_K}\phi$
на $M = (\C^n\backslash 0)/\langle A \rangle$. 
Тогда соответствующее поле Ли задается как
\begin{equation}\label{_theta_sharp_via_alpha_i_Equation_}
\theta^{\sharp}=\log (C)\sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}.
\end{equation}
Более того, метрика $\omega_H$ годушонова.

\hfill

{\bf Доказательство:} Равенство
\eqref{_theta_sharp_via_alpha_i_Equation_}
доказано выше. Чтобы доказать, что $\omega_H$ годушонова,
достаточно удостовериться, что функция 
$|\theta^\sharp|_{\omega_H}$
постоянна. В самом деле, из определения 
$d^*$ сразу следует, что 
\[ d^*\theta = \nabla_{\theta^\sharp}\theta^\sharp.\]
С другой стороны, поле $\theta^\sharp$ киллингово,
поскольку \[ \Lie_{\theta^\sharp} \phi = C \phi,\ \ 
\Lie_{\theta^\sharp} \omega_K = C \omega_K,\]
а следовательно
\[ \Lie_{\theta^\sharp} \omega_H = C \omega_H - C \omega_H=0.
\]
По другому определению киллинговых полей, это значит, что
\[ (\nabla_X\theta^\sharp, Y)_{\omega_H} = 
-(\nabla_Y\theta^\sharp, X)_{\omega_H}
\]
для любых векторных полей $X, Y$. 
Взяв $Y = \theta^\sharp$,
и применяя \[ \Lie_X(\theta^\sharp, \theta^\sharp)_{\omega_H}=0,\]
мы получим
\[ 0 = (\nabla_X\theta^\sharp, \theta^\sharp)_{\omega_H}=
   -(\nabla_{\theta^\sharp}\theta^\sharp, X)_{\omega_H}.
\]
Поскольку поле $X$ произвольное, из этого сразу следует
 $\nabla_{\theta^\sharp}\theta^\sharp=0$.
Следовательно, Предложение \ref{_Lee_field_on_Hopf_Proposition_}
вытекает из равенства $\omega_H(\theta^\sharp, \bar \theta^\sharp)=const$,
или, что то же самое,
\begin{equation}\label{_omega_K_theta_sharp_const_phi_Equation_}
\omega_K(\theta^\sharp, \bar \theta^\sharp)=const\cdot \phi.
\end{equation}
Записывая $\omega_K$ в виде 
\[ \omega_K = -\1 \6\bar\6 \phi = 
   \sum_i dt_i \wedge d \bar t_i |t_i|^{\beta_i-2} \frac{\beta_i^2}{4},
\]
и используя $\theta^\sharp = \log (C)\sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}$,
мы получаем
\begin{equation}\label{omega_k_of_theta_explic_Equation_}
\omega_K(\theta^\sharp, \bar \theta^\sharp) = 
\log (C)^2\sum_i (\log |\alpha_i|)^2 |t_i|^{\beta_i}\frac{\beta_i^2}{4}.
\end{equation}
По определению $e^{-\log |\alpha_i| \beta_i}=C$,
другими словами, $\beta_i = -\frac{\log C}{\log \alpha_i}$.
Подставляя это в \eqref{omega_k_of_theta_explic_Equation_},
мы получаем
\[ \omega_K(\theta^\sharp, \bar \theta^\sharp)= 
   \sum_i |t_i|^{\beta_i}\frac{(\log C)^4}{4} = \frac {(\log C)^4} 4 \phi.
\]
Это доказывает Предложение \ref{_Lee_field_on_Hopf_Proposition_}. \endproof



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{Стабильные расслоения на эрмитовых многообразиях}
\label{_stable_Kobaya_Section_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Метрика Годушона и стабильность}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть задано компактное комплексное эрмитово многообразие $M$.
Выберем метрику Годушона в том же самом конформном 
классе.\footnote{Эрмитова метрика $\omega$ на комплексном
многообразии $M$ размерности $n$ называется {\bf метрикой
Годушона}, или {\bf годушоновой}, если  
$\6\bar\6(\omega^{n-1})=0$ (Определение 
\ref{_Gauduchin_defi_Definition_}). 
Если $M$ компактно, метрика Годушона существует в
каждом конформном классе, и единственна с точностью
до множителя, как доказано в \cite{_Gauduchon_1984_}.} 
Рассмотрим когерентный пучок без кручения  $F$ на 
$M$. Обозначим его детерминантное расслоение за $\det F$. 
Выберем эрмитову метрику $\nu$ на $\det F$, и пусть 
$\Theta$ обозначает кривизну соответствующей
связности Черна. Мы определяем степень $F$ 
следующим образом:
\[
\deg F := \int_M \Theta \wedge \omega^{\dim_\C M-1},
\]
где $\omega\in \Lambda^{1,1}(M)$ эрмитова форма
годушоновой метрики. Степень не зависит от выбора
эрмитовой метрики $\nu$ на  $\det F$. Действительно, если 
$\nu' = e^\psi \nu$, $\psi \in C^\infty(M)$,
то ассоциированная форма кривизны записывается как
$\Theta' = \Theta + \6\bar\6 \psi$, и мы получаем
\[ \int_M \6\bar\6 \psi\wedge \omega^{\dim_\C M-1}=0
\]
поскольки метрика $\omega$ годушонова.

\hfill

Если $F$ голоморфное 
эрмитово векторное расслоение,  $\Theta_F$ его кривизна,
а метрика $\nu$ получена ограничением из $F$, то
$\Theta= \Tr_F\Theta_F$. В кэлеровом случае
это позволяет соотнести степень расслоения и его
первый класс Черна. В некэлеровом случае степень
не является топологическим инвариантом: степень
зависит от голоморфной геометрии пучка $F$.
Более того, степень не дискретна, как это
происходит в кэлеровой ситуации, но принимает
континуум значений. 

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\example
Тривиальное $C^\infty$-расслоение
на многообразии Вайсмана допускает
голоморфную структуру любой заданной степени
$\lambda\in \R$ (см. \ref{_arbi_degree_Remark_}).

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть $F$ ненулевой когерентный пучок без кручения на 
компактном комплексном эрмитовом многообразии $M$
Тогда  $\slope(F)$ (наклон) определяется как
\[
\slope(F) := \frac{\deg F}{\rk F}.
\]
Пучок $F$ называется\\
{\small
\begin{tabular}[t]{ll}
{\bf стабильным} & если для любого подпучка  $F'\subset
F$\\&\ \ \ \ \ \ \ 
соблюдается $\slope(F')< \slope(F)$\\
{\bf полустабильным} & если для любого подпучка $F'\subset F$\\&
\ \ \ \ \ \ \ соблюдается $\slope(F')\leq \slope(F)$\\
{\bf полистабильным} & если $F$ 
можно представить как прямую сумму \\&\ \ \ \ \ \ \  стабильных 
когерентных пучков \\&\ \ \ \ \ \ \ одного и того же наклона
\end{tabular}
}

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Такое определение стабильности для эрмитовых
комплексных многообразий весьма полезно, поскольку
основная часть стандартных свойств стабильных и 
полустабильных расслоений, известных из алгебраической
геометрии, выполняются и в этой
ситуации. В частности, выполняется следующее:
любое линейное расслоение стабильно; все стабильные
пучки просты; фильтрация Жордана-Гёльдера и 
и Хардера-Нарасимхана определена и ус\-троена точно
таким же образом, как и в обычной (кэлеровой) ситуации
(\cite{_Lubke_Teleman:Book_}, \cite{_Bruasse:Harder_Nara_}).

С другой стороны, не все расслоения  {\bf фильтруемы},
иначе говоря, получаются последовательными расширениями
когерентных пучков ран\-га $\leq 1$. Например, на общей
(неалгебраической) К3-поверхности касательное
расслоение нефильтруемо.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Соответствие Кобаяши-Хитчина}
\label{_Koba_Hi_Subsection_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Утверждение о соответствии Кобаяши-Хитчина 
(теорема Дональдсона-Уленбек-Яу) переносится
в эрмитову ситуацию дословно, следуя работе 
Ли и Яу (\cite{_Li_Yau_}).

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition
Пусть дано голоморфное эрмитово векторное расслоение
на компактном комплексном эрмитовом многообразии $M$,
а $\Theta\in \Lambda^{1,1}(M)\otimes \End(B)$ --
кривизна соответствующей связности Черна $\nabla$. 
Рассмотрим оператор 
$\Lambda:\; \Lambda^{1,1}(M)\otimes \End(B)\arrow \End(B)$
(эрмитов сопряженный к $b \arrow \omega\otimes b$,
где $\omega$ -- эрмитова форма на $M$).
Связность $\nabla$ называется {\bf связностью Эрмита-Эйнштейна}
(или же {\bf Янг-Миллса}) если $\Lambda \Theta = \const \cdot \Id_B$.


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem 
(соответствие Кобаяши-Хитчина)
Пусть дано голоморфное векторное расслоение $B$
на компактном комплексном многообразии, снабженном
метрикой Годушона. Расслоение $B$ допускает связность
Эрмита-Эйнштейна  $\nabla$ тогда и только тогда,
когда $B$ полистабильно. Более того, связность
Эрмита-Эйнштейна в этом случае единственна.

\hfill

{\bf Доказательство:} См. \cite{_Li_Yau_}, \cite{_Lubke_Teleman:Book_}, 
\cite{_Lubke_Teleman:Universal_}. \endproof

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Стабильные расслоения на вайсмановых многообразиях}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Существование положительной точной $(1,1)$-формы 
$\omega_0$, определенной в Лемме \ref{_omega_0_in_Vaisman_Lemma_},
приводит к большому количеству сильных результатов
об алгебраической геометрии вайсмановых многообразих
(см. напр. \cite{_Verbitsky:LCHK_} и \cite{_OV:Immersion_}). 
Для нас особенно важна структурная теорема для расслоений
Эрмита-Эйнштейна, которая впервые получена в
\cite{_Verbitsky:Sta_Elli_} (Теорема 4.3) для 
положительных главных эллиптических расслоений,
допускающих похожую структуру. Эти многообразия
не всегда вайсмановы (например, многообразие
Калаби-Экманна не вайсманово); точно также,
не все вайсмановы многообразия являются
эллиптическими расслоениями. Тем не менее,
доказательство структурной теоремы из 
\cite{_Verbitsky:Sta_Elli_} может быть
практически дословно повторено в 
вайсмановой ситуации.


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_Hermi_Einste_curva_equi_Theorem_}
Пусть дано компактное вайсманово многообразие $M$, 
$\dim_\C M >2$, а $B$ -- стабильное расслоение 
степени 0 на $M$. Обозначим за $\Sigma$
одномерное комплексное голоморфное слоение,
порожденное полем Ли $\theta^\sharp$ (поле
Ли голоморфно, так как многообразие $M$
вайсманово). Тогда $\Theta(v, \cdot)=0$ для каждого
$v\in \Sigma$.
В частности, $B$ эквивариантно по отношению к
комплексной группе Ли $V(t)$, порожденной $\theta^\sharp$,
и эта эквивариантная структура совместима со связностью.

\hfill

{\bf Доказательство:} Рассмотрим отображение
\[ \Lambda:\; \Lambda^{1,1}(M, \End(B)) \arrow \End(B)\]
определенное в разделе \ref{_Koba_Hi_Subsection_}.
По определению, форма $\Theta$  {\bf примитивна},
иначе говоря, удовлетворяет уравнению $\Lambda\Theta=0$. Теперь
Теорема \ref{_Hermi_Einste_curva_equi_Theorem_}
вытекает из следующего предложения.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_primi_form_equi_Proposition_}
Пусть дано компактное вайсманово многообразие $M$, 
$\dim_\C M >2$, $B$ эрмитово расслоение со связностью,
а  $\Theta \in \Lambda^{1,1}(M, \R) \otimes_\R {\goth u}(B)$
замкнутая антиэрмитова вещественная (1,1)-форма. 
Предположим, что $\Theta$ 
примитивна, т.е. $\Lambda\Theta=0$.
Тогда $\Theta(v, \cdot) =0$ для любого $v\in \Sigma$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Домножая метрику на константу,
мы нормализуем форму Ли $\theta$  таким образом, что $|\theta|=1$.
Пусть
$\theta$, $\theta_1, ... , \theta_{n-1}$ ортонормальный базис в 
$\Lambda^{1,0}(M)$, такой, что $\theta\in \Sigma$, 
$\theta_i\in \Sigma^\bot$. Рассмотрим форму
 $\omega_0$ (Лемма \ref{_omega_0_in_Vaisman_Lemma_}).
Эта форма точна, положительна, и имеет $n-1$
строго положительных собственных значений. Используя
базис, описанный выше, мы можем записать
\begin{equation}\label{_omega,_omega_0_explicit_Equation_}
\omega_H= -\1 
\left(\theta\wedge\bar\theta +\sum_{i}\theta_i \wedge \bar\theta_i \right), 
\ \ \  \omega_0 = -\1 \left (\sum_{i}\theta_i \wedge \bar\theta_i\right )
\end{equation}
где $\omega_H$ -- эрмитова форма на  $M$ 
(см. \cite{_Verbitsky:LCHK_}, Предложение 6.1).

В этом базисе, мы можем записать  $\Theta$ в виде
\begin{align}\label{_Theta_basis_Equation_}
\Theta &= \sum_{i\neq j}(\theta_i \wedge \bar\theta_j
         + \bar\theta_i \wedge \bar\theta_j) \otimes b_{ij} +
\sum_{i}(\theta_i \wedge \bar\theta_i) \otimes a_i \\
& + \sum_{i}(\theta \wedge \bar\theta_i
         + \bar\theta \wedge \bar\theta_i) \otimes b_{i}
  + \theta\wedge\bar\theta\otimes a,
\end{align}
где $b_{ij}$, $b_i$, $a_i$, $a\in {\goth u}(B)$
анти-эрмитовы автоморфизмы $B$. 

Пусть $\Xi:= \Tr(\Theta\wedge \Theta)$. 
Это замкнутая (2,2)-форма на $M$. Из уравнения
\eqref{_Theta_basis_Equation_} следует
\[
 (\1)^n\Xi \wedge \omega_0^{n-2} = \Tr\left(-\sum b_i^2 +a \left(\sum a_i\right)
\right)
\]
С другой стороны, $\sum a_i + a = \Lambda\Theta=0$,
а следовательно
\[
 (\1)^n\Xi \wedge \omega_0^{n-2} = \Tr\left(-\sum b_i^2 -a^2 \right).
\]
Поскольку $u \arrow \Tr(-u^2)$ --
положительно определенная симметричная билинейная 
форма на ${\goth u}(B)$, интеграл
\begin{equation}\label{_integral_Xi_Equation_}
\int_M  (\1)^n\Xi \wedge \omega_0^{n-2}
\end{equation}
неотрицателен, и равен нулю только если  $b_i$ и $a$ 
тождественно равны нулю.
Используя $n>2$, мы находим, что интеграл
\eqref{_integral_Xi_Equation_} обращается в нуль, поскольку
форма $\omega_0$ точна, а $\Xi$ -- замкнута. Следовательно,
$b_i$ и $a$ тождественно равны нулю, как и 
утверждает Предложение \ref{_primi_form_equi_Proposition_}. 
Мы доказали Теорему \ref{_Hermi_Einste_curva_equi_Theorem_}.
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_arbi_degree_Remark_}
Можно применить результаты Теоремы
\ref{_Hermi_Einste_curva_equi_Theorem_}
к произвольному стабильному расслоению на $M$, используя
следующий трюк. Рассмотрим линейное расслоение 
$L$ (Замечание \ref{_weight_bu_Remark_}). Напишем связность
Черна на $L$ в виде
\[ \nabla_C = \nabla_{triv} -\1\theta^c,\]
где $\theta^c= I(\theta)$ 
(см. \cite{_Verbitsky:LCHK_}, (6.11)), и пусть $\nabla_{triv}$
- тривиальная связность на $L$, ассоциированная с
тривиализацией $L$, заданной в Замечании
\ref{_weight_bu_Remark_}.
Поскольку $d\theta^c = \omega_0$, 
$L$ имеет степень $\delta:= \int \omega_0 \wedge \omega_H^{n-1}$
и это число, очевидно, положительно (см. 
\eqref{_omega,_omega_0_explicit_Equation_}). 
Для каждого $\lambda\in \R$, 
обозначим за $L_\lambda$ 
голоморфное эрмитово расслоение со связностью
$\nabla_{triv} -\1\frac{\lambda}{\delta}\theta^c$.
Очевидно, $L_\lambda$ имеет степень $\lambda$.
Мы получаем, что любое вайсманово многообразие
допускает голоморфное линейное расслоение
$L_\lambda$ любой наперед заданной степени
$\lambda$. Более того, $L_\lambda$ по построению
$V(t)$-эквивариантно (форма $\theta^c$ $V(t)$-инвариантна,
поскольку $V(t)$ действует на $M$, сохраняя метрику и
голоморфную структуру). Мы получили следующее утверждение.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\corollary\label{_all_stable_equi_Corollary_}
Пусть дано компактное вайсманово многообразие $M$, 
$\dim_\C M >2$, а $B$ -- стабильное голоморфное расслоение
на $M$. Рассмотрим комплексный голоморфный поток
$V(t)= e^{t\theta^\sharp}$, порожденный полем Ли  
$\theta^\sharp$. Тогда $B$ допускает естественную 
 $V(t)$-эквивариантную структуру. 

\hfill

{\bf Доказательство:} Домножая $B$ на $L_{\lambda}$ с
подходящим выбором $\lambda\in \R$, мы получим стабильное
расслоение степени 0. Теперь 
Теорема \ref{_Hermi_Einste_curva_equi_Theorem_}
влечет Следствие
\ref{_all_stable_equi_Corollary_}. \endproof

\hfill





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section[Стабильные расслоения на многообразиях Хопфа
и когерентные пучки на  $\C^n$]{ Стабильные расслоения на многообразиях\\ Хопфа
и когерентные пучки на  $\C^n$}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Допустимые эрмитовы структуры на рефлексивных
пучках}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition\label{_refle_Definition_}
Пусть дано комплексное многообразие $X$ и когерентный
пучок $F$ на $X$. Мы определим ``двойственный'' пучок
$F^*$ как  $F^*:= {\cal H}om_{\calo_X}(F, \calo_X)$.
Рассмотрим естественное функториальное отображение
$\rho_F:\; F \arrow F^{**}$. Пучок $F^{**}$
называется {\bf рефлексивной оболочкой}, или {\bf 
рефлексизацией} $F$. 
Пучок $F$ называется {\bf рефлексивным}, если 
естественное отображение
$\rho_F:\; F \arrow F^{**}$ -- изоморфизм.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark
Для любого когерентного пучка $F$, отображение
$\rho_{F^*}:\; F^* \arrow F^{***}$ изоморфизм
(\cite{_OSS_}, глава II, доказательство леммы 
1.1.12). Следовательно, рефлексивная оболочка
любого пучка всегда рефлексивна.

\hfill

Рефлексивная оболочка может быть получена
ограничением на открытое подмножество и взятием
прямого образа.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lemma\label{_refle_pushfor_Lemma_}
Пусть дано гладкое комплексное многообразие $X$, когерентный
пучок $F$ на $X$ и замкнутое комплексное подмногообразие
$Z\subset X$. Обозначим за $j$ открытое вложение
$(X\backslash Z) \stackrel j \hookrightarrow X$. 
Предположим, что обратный образ  $j^* F$ 
рефлексивен на $(X\backslash Z)$. Тогда прямой образ
$j_* j^* F$ также рефлексивен. 

\hfill

{\bf Доказательство:} \cite{_OSS_}, глава II, лемма 1.1.12.
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_refle_pushfor_Remark_}
Из Леммы \ref{_refle_pushfor_Lemma_} следует, 
что рефлексизация неособого в коразмерности
1 пучка  $F$ изоморфна $j_* j^* F$, где 
$j:\; (X\backslash Z) \hookrightarrow X$ 
естественное вложение, а $Z$ особый локус $F$.


\hfill

Используя результаты  \cite{_Bando_Siu_}, 
можно обобщить соответствие Ко\-ба\-я\-ши-\-Хит\-чи\-на
на рефлексивные пучки. Напомним, что
{\bf особое множество} $Sing(F)$ пучка $F$ есть множество всех 
точек $x\in M$, таких, что $F$ не локально тривиален
ни в какой в окрестности $x$.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\definition\label{_admissi_Definition_}
\cite{_Bando_Siu_} 
Пусть $F$ когерентный пучок на гладком комплексном
многообразии $M$, а 
$\nabla$ - эрмитова связность на $F$, определенная
вне его особенностей. Обозначим за $\Theta$ 
кривизну $\nabla$.
Связность $\nabla$ называется {\bf допустимой},
если следующие условия выполнены
\begin{description}
\item[(i)] $\Lambda \Theta\in \End(F)$ равномерно ограничена
\item[(ii)] $|\Theta|^2$ локально интегрируемо на $M$. 
\end{description}


\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem \label{_B_S_exie_admissi_Theorem_}
\cite{_Bando_Siu_} 
Любой когерентный пучок без кручения на гладком
многообразии можно наделить
допустимой связностью. Любую допустимую связность мож\-но
продолжить на множество гладких точек $F$.
Более того, если расслоение  $B$ 
на $M\backslash Z$, $\codim_\C Z\geq 2$ 
снабжено допустимой связностью, с кривизной
$\Theta$, которая локально квадратично интегрируема на $M$,
то $B$ можно продолжить до когерентного рефлексивного 
пучка на $M$. \endproof

\hfill

Для когерентных пучков существует
версия теоремы Дональдсона-Уленбек-Яу, доказанная
Бандо и Сиу. 

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem\label{_UY_for_shea_Theorem_}
Пусть дано компактное кэлерово многообразие $M$, а
$F$ когерентный пучок без кручения. Пучок $F$
можно снабдить допустимой эрмитово-эйнштейновой метрикой
тогда и только тогда, когда $F$ полистабилен. Если к тому же
$F$ стабилен, то эта метрика единственна, с точностью
до постоянного множителя.

{\bf Доказательство:} \cite{_Bando_Siu_}, теорема 3.
\endproof

\hfill

Доказательство, приведенное в 
\cite{_Bando_Siu_}, нетрудно приспособить для эрмитовых
комп\-лексных многообразий, снабженных метрикой Годушона.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection[Расслоения Эрмита-Эйнштейна на многообразиях
 Хопфа и допустимые метрики]{Расслоения Эрмита-Эйнштейна на многообразиях\\
Хопфа и допустимые метрики}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem \label{_from_stable_to_refle_Theorem_}
Пусть дано диагональное многообразие Хопфа 
\[ M= (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle, \ \ n\geq 3,
\] а $B$ - стабильное голоморфное
расслоение на $M$. Обозначим за $\tilde B$
обратный образ $B$ на $\C^n \backslash 0$. 
Тогда $\tilde B$ можно продолжить до
рефлексивного когерентного пучка  $F$ на 
$\C^n$. Более того, $F$ 
$V(t)$-эквивариантен, где $V(t)$ -- 
комплексный голоморфный поток на $\C^n$,
порожденный полем Ли 
$\theta^\sharp=\log (C)\sum_i -t_i\log |\alpha_i| \frac{d}{dt_i}$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Используя 
Замечание \ref{_arbi_degree_Remark_},
можно предположить, что $B$ имеет степень 0. 
Рассмотрим метрику Эрмита-Эйнштейна на $B$,
и поднимем ее на $\tilde B$. Обозначим за $\tilde \Theta$ 
кривизну $\tilde B$. Чтобы продолжить $\tilde B$ на
$\C^n$, мы применяем теорему Бандо-Сиу 
(Теорема \ref{_B_S_exie_admissi_Theorem_}). 
Нужно доказать, что  $\tilde B$
допустимо в смысле Определения \ref{_admissi_Definition_}. 
Кэлерова метрика $\omega_K$ на $\C^n$ конформно
эквивалентна поднятой с  $M$, а следовательно
$\Lambda \tilde \Theta=0$. Условие $\Lambda \tilde \Theta=0$ значит, что 
$\tilde \Theta$ ортогонально эрмитовой форме поточечно,
поэтому это условие конформно инвариантно. Чтобы доказать, что
 $\tilde B$ допустимо, остается убедиться, что
$\tilde \Theta$ локально квадратично-интегрируемо на $\C^n$.
Функция $|\tilde \Theta|^2$ может быть выражена 
с помощью соотношений Ходжа-Римана следующим образом.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lemma \label{_tilde_Theta_Lemma_}
Пусть дано эрмитово расслоение $B_1$ на 
эрмитовом почти комплексном многообразии $M_1$
размерности $n$, а
\[ \nu \in \Lambda^{1,1}(M_1, \goth{su}(B_1))
\]
$\goth{su}(B_1)$-значная (1,1)-форма, которая
примитивна, т.е. удовлетворяет ус\-ловию $\Lambda(\nu)=0$.
Тогда
\begin{equation}\label{_square_form_via_H_E_Equation_} 
|\nu|^2 = -\1\frac{n-1}{2n} \Tr (\Lambda^2 (\nu \wedge \nu)),
\end{equation}
где 
\[
  \Lambda:\; \Lambda^{p,q}(M_1, \goth{su}(B_1))
  \arrow \Lambda^{p-1,q-1}(M_1, \goth{su}(B_1))
\]
стандартный оператор Ходжа на дифференциальных
формах, двойственный умножению на кэлерову форму.

\hfill

{\bf Доказательство:} Элементарное вычисление,
и по сути то же самое, которое доказывает
билинейные соотношения Ходжа-Римана 
(см. напр. \cite{_Bando_Siu_}).
\endproof

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark 
Уравнение \eqref{_square_form_via_H_E_Equation_} 
можно переписать в виде
\begin{equation}\label{_square_form_volume_via_H_E_Equation_} 
|\nu|^2\Vol(M_1) = 
-\1\frac{n-1}{2n\cdot 2^n\cdot n!} \Tr (\nu \wedge \nu)\wedge \omega_1^{n-2},
\end{equation}
где $\omega$ эрмитова форма на $M_1$,
а $\Vol(M_1)$ форма объема, связанная с римановой структурой.
Это ясно из определения $\Lambda$ и соотношения
$\Vol(M_1) = \frac1 {2^n n!} \omega_1^n$.

\hfill

Используя \eqref{_square_form_volume_via_H_E_Equation_},
мы получаем, что $L^2$-интегрируемость  $\tilde \Theta$
равносильна интегрируемости формы
\begin{equation}\label{_square_curv_Equation_}
\Tr (\tilde \Theta\wedge \tilde \Theta)\wedge \omega_K^{n-2}.
\end{equation}

\hfill

Форма  $\tilde \Theta$ по построению
$A$-инвариантна, а $\omega_K$ удовлетворяет
\[ A^*(\omega_K) = c \omega_K, \] поскольку $M$ 
локально конформно кэлерово. Следовательно, форма 
\eqref{_square_curv_Equation_} однородна по отношению
к действию $A$:
\begin{equation}\label{_curv_volu_homoge_Equation_}
A^* \left(\Tr (\tilde \Theta\wedge \tilde \Theta)\wedge \omega_K^{n-2}\right)=
    c^{n-2}\Tr (\tilde \Theta\wedge \tilde \Theta)\wedge \omega_K^{n-2},
  c<1. 
\end{equation}
Обозначим за $D$ фундаментальную область
для группы $\langle A\rangle$,
\[ D:= \{ x\in \C^n\backslash 0\ | \  1\leq \rho(x) <C\}
\]
Тогда $\C^n \backslash 0 = \cap_{i\in \Z} A^i(D)$.
Чтобы проверить, что $\tilde \Theta$ $L^2$-интегрируемо в
окрестности 0, нам нужно показать, что ряд
\[
\sum_{i=0}^{\infty} \int_{A^i(D)} |\tilde \Theta|^2 \Vol =
-\1\frac{n-1}{2n\cdot 2^n \cdot n!}\sum_{i=0}^{\infty} \int_{A^i(D)} 
 \Tr (\tilde \Theta\wedge \tilde \Theta)\wedge \omega_K^{n-2}
\]
сходится. В силу \eqref{_curv_volu_homoge_Equation_},
эта сумма является геометрической 
прогрессией, и она сходится, если $n>2$.
Мы доказали, что $\tilde B$ допустимое.
Теперь, из теоремы Бандо-Сиу (Теорема \ref{_B_S_exie_admissi_Theorem_}) 
немедленно следует первое утверждение
Теоремы \ref{_from_stable_to_refle_Theorem_}.
Второе утверждение вытекает из Леммы
\ref{_refle_pushfor_Lemma_}.
Действительно, пусть  
$(\C^n \backslash 0)\stackrel j \hookrightarrow \C^n$
обозначает стандартное вложение. Тогда $F = j_* \tilde B$
(Лемма \ref{_refle_pushfor_Lemma_}). В силу
Следствия \ref{_all_stable_equi_Corollary_}, 
$\tilde B$ $V(t)$-эквивариантно.
Следовательно $j_* \tilde B$  также $V(t)$-эквивариантно.
\endproof 

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_exte_equiva_theorem_to_refle_Remark_}
Используя версию теоремы Дональдсона-Уленбек-Яу для
рефлексивных пучков, Теорема \ref{_from_stable_to_refle_Theorem_} 
обобщается дословно на случай рефлексивных когерентных
пучков.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\section{Эквивариантные пучки на $\C^n$}
\label{_equi_shea_Section_}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Продолжение $V(t)$-эквивариантности до 
$(\C^*)^l$-\-эк\-ви\-ва\-ри\-ант\-нос\-ти}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Пусть дано диагональное многообразие Хопфа
\[ M= (\C^n\backslash 0)/\langle A\rangle,\] а  
$V(t)= e^{\C \theta^\sharp}$, $t\in \C$ -- голоморфный
поток, порожденный полем Ли $\theta^\sharp$ как указано выше.
Тогда $V(t)$ действует на $M$ голоморфными изометриями
(\cite{_Kamishima_Ornea_}).
Рассмотрим замыкание $G$ группы $V(t)$, $t\in \C$, внутри
группы $\Iso(M)$ изометрий $M$. Обозначим за $\tilde G$
поднятие $G$ в $\Aut(\tilde M)$, где $\tilde M$ -
минимальное кэлерово накрытие $M$
(\cite{_OV:Structure_}, \cite{_OV:Immersion_}).
По построению, $\tilde G$ -- наименьшая замкнутая
подгруппа в $GL(n, \C)$, содержащая
$V(t)$ и $A$. Нетрудно убедиться, что 
$\tilde G$ -- редуктивная комплексная
коммутативная группа Ли. Аналогичный
результат верен для любых многобразий Вайсмана.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_tilde_G_C^*^l_Proposition_}
Пусть дано вайсманово многообразие $M$ с полем Ли
$\theta^\sharp$,  $G$ -- замыкание соответствующего $\theta^\sharp$
голоморфного потока в  $\Iso(M)$, $\tilde M$ минимальное
кэлерово накрытие, а $\tilde G$ 
поднятие $G$ в $\Aut(\tilde M)$. Тогда 
группа монодромии накрытия $\tilde M$ изоморфна $\Z$.
Более того, $\tilde G\cong (\C^*)^k$,
и группа монодромии накрытия лежит в $\tilde G$ . 

\hfill

{\bf Доказательство:} \cite{_OV:Immersion_}, 
предложение 4.3. \endproof


\hfill



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\proposition\label{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_}
В предположениях Теоремы \ref{_from_stable_to_refle_Theorem_},
рассмотрим действие группы $V(t)$ на 
$\Gamma(\C^n, F)$. Введем на 
$\calo_{\C^n}$ и $\Gamma(\C^n, F)$ адическую топологию
таким образом, что  $\lim f_i \arrow 0$ при $[f_i]_0\arrow \infty$,
где $[f_i]_0$  обозначает порядок нуля $f_i$ в 
$0\in \C^n$. Очевидно, что $V(t)$ непрерывно
в адической топологии. Обозначим за $\tilde G_F$
замыкание $V(t)$-действия в 
$\Gamma(\C^n, F) \times \calo_{\C^n}$,
в адической топологии. Тогда
\begin{description}
\item[(i)] Естественное отображение
$\tilde G_F \stackrel \rho \arrow GL(F/\goth m F)\times GL(\goth m/\goth m^2)$
инъективно, где $\goth m$ -- максимальный идеал $0$ в 
$\calo_{\C^n}$.

\item[(ii)] $\tilde G_F$ изоморфно замыканию образа
$V(t)$ при естественном отображении
$V(t)\arrow GL(F/\goth m F)\times GL(\goth m/\goth m^2)$.

\item[(iii)] Рассмотрим естественную проекцию
$\tilde G_F\stackrel \pi \arrow \tilde G$ индуцированную отображением
\[ GL(F/\goth m F)\times GL(\goth m/\goth m^2)\arrow  GL(\goth m/\goth m^2).
\]
Тогда $\pi$ удовлетворяет $g(af) = \pi(g)(a)g(f)$
для любых \[ f\in \Gamma(\C^n, F), \ \  a \in \calo_{\C^n},
\ \ g\in \tilde G_F.\]
Это дает $\tilde G_F$-эквивариантную структуру на $F$.

\item[(iv)] Группа $\tilde G_F$ изоморфна
$(\C^*)^l$.

\end{description}

{\bf Доказательство:} Поскольку кольцо голоморфных
функций нетерово, теорема 
\ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (i)
очевидна  из леммы Накаямы, 
Теорема \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (ii)
немедленно следует из Теоремы \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (i).
Теорема \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (iii) вытекает из 
Теоремы \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (ii) и
$V(t)$-эквивариантности $F$. 

Чтобы доказать  Теорему \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (iv),
мы используем 
Теорему \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (ii), и замечаем, что 
$\tilde G_F$ коммутативна как замыкание
однопараметрической группы в группе Ли 
$GL(F/{\goth m}F)\times GL(\goth m/\goth m^2)$. 
Чтобы доказать, что 
$\tilde G_F\cong (\C^*)^l$, надо убедиться в том, что
эта группа Ли редуктивна, другими словами, показать, что $V(t)$
действует диагонально на $(F/\goth m F)\times(\goth m/\goth m^2)$.

Группа $V(t)$ действует на $\C^n$ голоморфно и конформно.
Поскольку метрика Эрмита-Эйнштейна на $B$ единственна, с
точностью до множителя, группа $V(t)$ действует на $B$
также конформно. Мы получаем, что  $V(t)$ 
действует конформно на бесконечномерном эрмитовом
пространстве  $\Gamma(B_{\C^n}, F)$ голоморфных
сечений $F$ на открытом шаре  $B_{\C^n}\subset\C^n$,
а также на $\Gamma(B_{\C^n}, \calo_{\C^n})$.
Поскольку унитарные преобразования конечномерного
пространства диагонализуемы, группа $V(t)$ диагонально действует
на любом конечномерном подпространстве 
\[ L\subset \Gamma(B_{\C^n}, F)\times \Gamma(B_{\C^n}, \calo_{\C^n})\]
которое сохраняется $V(t)$. Используя
классический аргумент, восходящий к теории нормальных форм
и теореме Пуанкаре-Дюлака (см. \cite{_OV:Potential_},
Теорема 3.3, также \cite{_Arnold_}), мы находим следующее. Пространство
\[ \Gamma(B_{\C^n}, F)\times \Gamma(B_{\C^n}, \calo_{\C^n})\]
содержит всюду плотное (в подходящей, например, $\goth
m$-адической, топологии) подпространство,
порожденное конечномерными $V(t)$-\-ин\-ва\-ри\-ант\-ны\-ми
подпространствами. Следовательно, действие $V(t)$ на
\[ \Gamma(B_{\C^n}, F)\times \Gamma(B_{\C^n}, \calo_{\C^n})\]
диагонально в плотном подпространстве. Из этого
видно, что действие $V(t)$ диагонально на любом
конечномерном факторпространстве, и, в частности,
на \[ (F/\goth m F)\times(\goth m/\goth m^2).\]
Мы доказали Теорему \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} (iv).
\endproof

\hfill


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_gene_equi_to_shea_Remark_}
Используя версию теоремы Дональдсона-Уленбек-Яу
для когерентных пучков (теорему Бандо-Сиу),
Теорему \ref{_tilde_G_F_equiv_shea_Theorem_} можно 
дословно повторить для случая стабильных когерентных пучков
(см. Замечание \ref{_exte_equiva_theorem_to_refle_Remark_}),

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\remark\label{_equi_shea_and_shea_on_Hopf_Remark_}
Обозначим за $\C^n_*$ комплексное многообразие
$\C^n\backslash 0$. Для любого $\tilde
G_F$-эквивариантного когерентного пучка на $\C^n_*$,
мы можем получить когерентный пучок на 
$\C^n_*/\langle A\rangle$ следующим образом.
Когерентные пучки на  $\C^n_* /\langle A\rangle$
это то же самое, что  $\langle A\rangle$-эк\-ви\-ва\-ри\-ант\-ные
пучки на $\C^n_*$, а группа $\langle A\rangle$ лежит 
в $\tilde G$ в силу Предложения \ref{_tilde_G_C^*^l_Proposition_}.
Следовательно, чтобы доказать фильтруемость
стабильного расслоения $B$ на 
$M = (\C^n_*) /\langle A\rangle$,
достаточно убедиться, что соответствующий
$\tilde G_F$-\-эк\-ви\-ва\-ри\-ант\-ный когерентный пучок
$F$ фильтруем на $\C^n_*$  в категории
$\Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$ $\tilde G_F$-эквивариантных
когерентных пучков. Значит, следующая теорема
доказывает Теорему \ref{_stable_filtra_main_Theorem_}.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\theorem \label{_Coh_G_F_filtra_Theorem_}
Рассмотрим коммутативную группу Ли 
$\tilde G_F\cong (\C^*)^l$ 
действующую на $\C^n_*$ 
посредством гомоморфизма $\tilde G_F\stackrel \pi \arrow
GL(\C, n)$.
Обозначим за  $\Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$ категорию
$\tilde G_F$-эквивариантных когерентных пучков на $\C^n_*$.
Предположим, что $\pi(\tilde G_F)$ содержит линейное сжатие. 
Тогда все объекты  $\Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$ получаются последовательными
расширениями  $\tilde G_F$-эквивариантных когерентных
пучков ранга 1.

\hfill

Мы доказываем  Теорему \ref {_Coh_G_F_filtra_Theorem_}
в разделе \ref{_C^*^l_equiv_Subsection_}.

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$(\C^*)^l$-эквивариантные когерентные
пучки на $\C^n\backslash 0$}
\label{_C^*^l_equiv_Subsection_}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Мы работаем в предположениях Теоремы 
\ref{_Coh_G_F_filtra_Theorem_}.

\hfill

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\lemma\label{_R_gene_by_fini_G_F_inv_Lemma_}
Пусть дан $\tilde G_F$-эквивариантный когерентный
пучок $R\in \Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$ над 
$\C^n_*:= \C^n\backslash 0$. Тогда $R$ порожден над
$\calo_{\C^n_*}$ конечномерным $\tilde G_F$-инвариантным
подпространством сечений $V\subset \Gamma(R, \C^n_*)$.

\hfill

{\bf Доказательство:} Подгруппы вида $\C^*$ плотны в
$\tilde G_F\cong (\C^*)^l$. Следовательно,
существует вложение $\C^*\stackrel \mu \hookrightarrow \tilde G_F$
действующее на $\C^n$ со всеми собственными значениями,
отличными от 1. Это действие можно записать как
\begin{equation*}
t \arrow \begin{bmatrix} t^{k_1} & 0 & \dots & 0\\
0 & t^{k_2} & \dots & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
0 & 0 & \dots & t^{k_n}
\end{bmatrix}
\end{equation*}
где все $k_i$ -- целые числа, не равные 0.
Легко видеть, что  $\mu$ действует на 
$\C^n_*$ свободно в общей точке, и фактормножество
$\C^n_* /\mu (\C^*)$ наделено естественной
структурой орбиобразия (стэка Делиня-Мамфорда).
Этот фактор известен как {\bf взвешенное
проективное пространство}, и обозначается как
\[ \C P^{n-1}(k_1, k_2, ... k_n).\] Взвешенное
проективное пространство наделено структурой 
проективного орбиобразия. Задать $\mu$-эквивариантный
когерентный пучок на $\C^n_*$ это по 
определению то же самое, что задать когерентный
пучок на орбиобразии \[ \C P^{n-1}(k_1, k_2, ... k_n).\]
Пусть $R_0$ -- пучок на $\C P^{n-1}(k_1, k_2, ... k_n)$,
соответствующий пучку $R$, рассматриваемому как
$\mu$-эквивариантный пучок на $\C^n_*$.
Сечения $R_0\otimes \calo(i)$
соответствуют сечениям $R$, на которые 
$\mu(\C^*)$  действует с весом $i$.
Мы получаем последовательность конечномерных
подпространств
\[ \Gamma(R_0\otimes \calo(i))\subset \Gamma(R).
\]
где $\Gamma(R)$-пространство сечений $R$ над $\C^n_*$.
Поскольку  $\calo(1)$ обильно, пучок $R_0\otimes \calo(N)$
глобально порожден для достаточно большого $N$
(это следует, например, из теоремы Кодаиры-Накано
для орбиобразий, см. \cite{_Baily_}). 
Тогда пространство $\oplus_{i\leq N} \Gamma(R_0\otimes \calo(i))$
порождает $\Gamma(R)$ над $\calo_{\C^n_*}$.
Поскольку  $\tilde G_F$ коммутирует с $\mu(\C^*)$,
пространство $\Gamma(R_0\otimes \calo(i))\subset \Gamma(R)$
$\tilde G_F$-инвариантно. Это доказывает 
Лемму \ref{_R_gene_by_fini_G_F_inv_Lemma_}.
\endproof

\hfill

Теперь мы можем доказать фильтруемость для
произвольного  $R\in \Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$.
В силу Леммы \ref{_R_gene_by_fini_G_F_inv_Lemma_},
для любого $R\in \Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$
существует $\tilde G_F$-эквивариантное отображение
$R_1 \arrow R\arrow 0$, где $R_1 = \calo_{\C^n_*}\otimes_\C W$,
а $W$ -- конечномерное представление $\tilde G_F$.
Поскольку  $\tilde G_F$ коммутативно, $W= \oplus W_i$, 
где $W_i$ -- $\tilde G_F$-инвариантные одномерные
подпространства в $W$. Это дает эпиморфизм
\[
\oplus (\calo_{\C^n_*}\otimes W_i) \arrow R\arrow 0
\]
где все слагаемые $\calo_{\C^n_*}\otimes W_i$
 $\tilde G_F$-эквивариантные линейные расслоения.
Следовательно, $R$ фильтруемо в категории
$\Coh_{\tilde G_F}(\C^n_*)$. Это доказывает
Теорему \ref{_Coh_G_F_filtra_Theorem_}. 
Теорема \ref{_stable_filtra_main_Theorem_} также доказана.
\endproof


\hfill




{\bf Благодрности:} Я благодарен Руксандре Морару,
которая обратила мое внимание на вопрос 
фильтруемости пучков на многообразиях Хопфа, и Мите Новикову
за телефонную лекцию о теории нормальных форм и теореме
Пуанкаре-Дюлака.


{\small
\begin{thebibliography}{XXX}

\bibitem[Ar]{_Arnold_} 
V.I. Arnold, Geometrical methods in the theory of 
ordinary differential equations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 
250, Springer Verlag, 1983.

\bibitem[Ba]{_Baily_}
W.L. Baily, \emph{On the imbedding of V-manifolds
    in projective spaces}, Amer. J. Math. {\bf 79} (1957), 403-430.



\bibitem[BS]{_Bando_Siu_} 
 Bando, S.,  Siu, Y.-T, 
{\it Stable sheaves and Einstein-Hermitian metrics}, 
In: Geometry and Analysis on
Complex Manifolds, Festschrift for Professor S. Kobayashi's 60th Birthday,
ed. T. Mabuchi, J. Noguchi, T. Ochiai, World Scientific, 1994, pp. 39-50.

\bibitem[BM1]{_Brinzanescu_Moraru:stable_}
 Vasile Brinzanescu, Ruxandra Moraru,
{\em  Stable bundles on non-Kahler elliptic surfaces},
math.AG/0306192, 15 pages.

\bibitem[BM2]{_Brinzanescu_Moraru:FM_}
 Vasile Brinzanescu, Ruxandra Moraru,
{\em Twisted Fourier-Mukai transforms 
and bundles on non-Kahler elliptic surfaces},
math.AG/0309031, 13 pages.

\bibitem[Br]{_Bruasse:Harder_Nara_} 
L. Bruasse, {\em Harder-Narasimhan 
filtration on non-K\"ahler manifolds}, Int. Journal of
Maths, 12(5):579-594, 2001.


\bibitem[DO]{_Dragomir_Ornea_}
S. Dragomir,  L. Ornea,
{\em Locally conformal K{\"a}hler geometry},
Progress in Mathematics, 155.
Birkh{\"a}user, Boston, MA, 1998.

\bibitem[Ga]{_Gauduchon_1984_}
P. Gauduchon, {\em La 1-forme de torsion d'une variete
hermitienne compacte}, Math. Ann., 267 (1984), 495--518.


\bibitem[GO]{_Gauduchon_Ornea_} 
P. Gauduchon and L. Ornea,
{\em Locally conformally K{\"a}hler metrics on Hopf surfaces},
Ann. Inst. Fourier  {\bf 48} (1998), 1107--1127.

\bibitem[KO]{_Kamishima_Ornea_} 
Y. Kamishima, L. Ornea,
{\em Geometric flow on compact locally conformally Kahler manifolds},
math.DG/0105040, 21 pages.

\bibitem[Ka1]{_Kato1_}
Kato, Ma. {\em Some remarks on subvarieties of Hopf manifolds}, 
A Symposium on Complex Manifolds (Kyoto, 1974). 
S\^urikaisekikenky\^usho K\'oky\^uroku No. 240 (1975), 64--87.

\bibitem[Ka2]{_Kato2_} 
Kato, Ma. 
{\em On a characterization of submanifolds of Hopf manifolds}, 
Complex analysis and algebraic geometry, pp. 191--206. 
Iwanami Shoten, Tokyo, 1977.


\bibitem[LY]{_Li_Yau_} 
Li, Jun, and  Yau,  S.-T.,
{\em Hermitian Yang-Mills connections on non-Kahler
manifolds,} in ``Mathematical aspects of string theory'' 
(S.T. Yau ed.), World
Scientific Publ., London, 1987, pp. 560-573.

\bibitem[LT1]{_Lubke_Teleman:Book_}
L\"ubke, M., Teleman, A., {\em 
The Kobayashi-Hitchin correspondence}, World
   Scientific Publishing Co., Inc., River Edge, 
NJ, 1995. x+254 pp

\bibitem[LT2]{_Lubke_Teleman:Universal_}
L\"ubke, M., Teleman, A., {\em The universal 
Kobayashi-Hitchin correspondence on Hermitian manifolds},
math.DG/0402341, 90 pages.

\bibitem[M1]{_Moraru:Hopf_} 
Moraru, R.,
{\em Integrable systems associated to a Hopf surface,}
Canad. J. Math. {\bf 55} (2003), no. 3, 609--635.

\bibitem[M2]{_Moraru:Hopf2_} 
Moraru, R.,
{\em Stable bundles on Hopf manifolds}, preprint (2004).

\bibitem[OSS]{_OSS_} 
Оконек К., Шнейдер М., Шпиндлер X., 
{\it Векторные расслоения на комплексных проективных
пространствах,} Москва, Мир, 1984.



\bibitem[OV1]{_OV:Structure_}
L. Ornea,  M. Verbitsky,  {\em Structure theorem for compact Vaisman
  ma\-ni\-folds}, math.DG/0305259,  Math. Res. Lett.
   {\bf 10} (2003), no. 5-6, 799--805.

\bibitem[OV2]{_OV:Immersion_}
L. Ornea,  M. Verbitsky,  {\em Immersion theorem for Vaisman manifolds},
math.AG/0306077, 28 pages

\bibitem[OV3]{_OV:Potential_}
L. Ornea,  M. Verbitsky, {\em 
Locally conformal K\"ahler manifolds with potential},
math.AG/0407231, 11 pages.


\bibitem[Va1]{_Vaisman:Dedicata_}
I. Vaisman,  {\em  Generalized Hopf
manifolds}, Geom. Dedicata {\bf 13} (1982), no. 3, 231--255.


\bibitem[Va2]{_Vaisman:Torino_}
I. Vaisman,
{\em A survey of generalized Hopf manifolds},
Rend. Sem. Mat. Torino, Special issue (1984), 205--221.

\bibitem[Ve1]{_Verbitsky:LCHK_}
M. Verbitsky,
{\em  Vanishing theorems for locally
conformal hyperk{\"a}hler manifolds}, 2003,
math.DG/0302219, 41 pages.

\bibitem[Ve2]{_Verbitsky:Sta_Elli_}
M. Verbitsky,
{\em Stable bundles on positive principal elliptic fibrations}, 17 pages,
2004, math.AG/0403430.




\end{thebibliography}


\hfill
}
{
\small

\noindent {\sc Misha Verbitsky\\
University of Glasgow, Department of Mathematics, \\
15 University Gardens, Glasgow G12 8QW, Scotland.}\\
\ \\
{\sc  Institute of Theoretical and
Experimental Physics \\
B. Cheremushkinskaya, 25, Moscow, 117259, Russia }\\
\ \\
\tt verbit@maths.gla.ac.uk, \ \  verbit@mccme.ru 
}% end of small





\end{document}