• Алгебраическая топология (Фукс-Фоменко).
  Когомологии (симплициальные, сингулярные,
  де Рама), их эквивалентность, двойственность
  Пуанкаре, гомотопические группы. Размерность.
  Расслоения (в смысле Серра), спектральные
  последовательности (Мищенко, "Векторные расслоения...").
  Вычисление когомологий классических групп Ли и проективного
  пространства.
  
  
• Векторные расслоения, связность, формула Гаусса-Бонне,
  классы Эйлера, Черна, Понтрягина, Штифеля-Уитни.
  Мультипликативность характера Черна. Классифицирующие
  пространства ("Характеристические Классы", Милнор
  и Сташеф).
  
  
• Дифференциальная геометрия.
  Связность Леви-Чивита, кривизна, алгебраическое
  и дифференциальное тождество Бьянки.
  Поля Киллинга. Кривизна Гаусса
  двумерного риманова многообразия.
  Клеточное разбиение пространства петель
  в терминах геодезических.
  Теория Морса на пространстве петель
  (по книге Милнора "Теория Морса" и Артура
  Бессе "Эйнштейновы Многообразия").
  Главные расслоения и связности в них.
  
  
• Коммутативная алгебра (Атья-Макдональд).
  Нетеровы кольца, размерность Крулля, лемма Накаямы,
  адическое пополнение, целозамкнутость, кольца
  дискретного нормирования. Плоские модули,
  локальный критерий плоскости.
  
  
  
• Начала алгебраической геометрии.
  (первая глава Хартсхорна либо Шафаревич либо зеленый Мамфорд).
  Афинное многообразие, проективное многообразие,
  проективный морфизм, образ проективного многообразия
  проективен (через результанты). Пучки. Топология Зариского.
  Алгебраическое многообразие как окольцованное пространство.
  Теорема Гильберта о нулях. Спектр кольца.
  
  
• Начала гомологической алгебры. Группы Ext, Tor для
  модулей над кольцом, резольвенты, проективные и инъективные модули
  (Атья-Макдональд). Построение инъективных модулей.
  Двойственность Гротендика (по книжке Springer
  Lecture Notes in Math, Grothendieck Duality,
  номера примерно 21 и 40).
  
  
• Теория чисел; локальные и глобальные поля,
  дискриминант, норма, группа классов идеалов (синяя книжка
  Касселса и Фрелиха).
  
  
• Редуктивные группы, системы корней, представления
  полупростых групп, веса, форма Киллинга. Группы,
  порожденные отражениями, их классификация. Когомологии
  алгебр Ли. Вычисление когомологий в терминах
  инвариантных форм. Сингулярные когомологии компактной
  группы Ли и когомологии ее алгебры. Инварианты классических
  групп Ли. (желтый Серр, вторая половина; Герман Вейль,
  "Инварианты классических групп"). Конструкции специальных
  групп Ли. Алгебры Хопфа. Квантовые группы (определение).
  
  
  Третий курс
  
  • К-теория как когомологический функтор,
    периодичность Ботта, алгебры Клиффорда. Спиноры
    (книжка Атьи "К-Теория" либо А.С.Мищенко
    "Векторые расслоения и их применение"). Спектры. Пространства
    Эйленберга-Маклейна. Бесконечнократные пространства петель
    (по книжке Свитцера либо желтой книжке Адамса либо
    Адамса "Lectures on generalized cohmology", 1972).
    
    
  • Дифференциальные операторы, псевдодифференциальные
    операторы, символ, эллиптические операторы.
    Свойства оператора Лапласа. Самосопряженные
    операторы с дискретным спектром.
    Оператор Грина и приложения к теории
    Ходжа на римановых многообразиях.
    Квантовая механика.
    (книжка Р.Уэллса по анализу либо Мищенко
    "Векторые расслоения и их применение").
    
    
  • Формула индекса (Атья-Ботт-Патоди, Мищенко),
    формула Римана-Роха. Дзета-функция оператора
    с дискретным спектром и ее асимптотики.
    
    
  • Гомологическая алгебра (Гельфанд-Манин,
    все главы проме последней). Когомологии
    пучков, производные категории,
    триангулированные категории,
    производный функтор, спектральная последовательность
    бикомплекса. Композиция триангулированных
    функторов и соответствующая спектральная
    последовательность. Двойственность Вердье.
    Формализм шести функторов и превратные пучки.
    
    
  • Схемная алгебраическая геометрия,
    схемы над кольцом, проективные спектры,
    производные функции, двойственность Серра,
    когерентные пучки, замена базы.
    Собственные и отделимые схемы,
    валюативный критерий собственности и
    отделимости (Хартсхорн).
    Функторы, представимость,
    пространства модулей.
    Прямые и обратные образы пучков,
    высшие прямые образы. При
    собственном отображении
    высшие прямые образы когерентны.
    
    
  • Когомологические методы
    в алгебраической геометрии,
    полунепрерывность когомологий,
    теорема Зариского о связности,
    теорема Штейна о разложении.
    
    
  • Кэлеровы многообразия, теорема
    Лефшеца, теория Ходжа, соотношения
    Кодаиры, свойства оператора Лапласа
    (нулевая глава главы Гриффитса-Харриса,
    понятно изложена в книжке Андре Вейля "Кэлеровы
    многообразия"). Эрмитовы расслоения.
    Линейные расслоения и их кривизна.
    Линейные расслоения с положительной
    кривизной. Теорема Кодаиры-Накано
    о занулении когомологий (Гриффитс-Харрис).
    
    
  • Голономии, теорема Амброза-Зингера,
    специальные голономии, классификация голономий,
    многообразия Калаби-Яу, гиперкэлеровы,
    теорема Калаби-Яу.
    
    
  • Спиноры на многообразии,
    оператор Дирака, кривизна Риччи,
    формула Вейценбека-Лихнеровича, теорема Бохнера.
    Теорема Богомолова о разложении многообразий
    с нулевым каноническим классом
    (Артур Бессе, "Эйнштейновы многообразия").
    
    
  • Когомологии Тэйта и теория полей классов
    (Касселс-Фрелих, синяя книжка). Вычисление
    фактора группы Галуа числового поля по коммутанту.
    Группа Брауэра и ее приложения.
    
    
  • Эргодическая теория. Эргодичность
    бильярдов.
    
    
  • Комплексные кривые, псевдоконформные
    отображения, пространства Тейхмюллера, теория Альфорса-Берса
    (по книжке Альфорса тоненькой).
    
    
  
  
  
• Четвертый курс.
  
  • Рациональный и проконечный гомотопический тип
    Нерв этального покрытия
    клеточного пространства гомотопически эквивалентен его
    проконечному типу. Топологическое определение этальных
    когомологий. Действие группы Галуа на
    проконечном гомотопическом типе
    (Сулливан, "Геометрическая топология").
    
    
  • Этальные когомологии в алгебраической
    геометрии, функтор сравнения,
    гензелевы кольца, геометрические точки. Замена базы.
    Любое гладкое многообразие над полем локально в этальной топологии
    изоморфно $A^n$. Этальная фундаментальная группа (Милн,
    обзор Данилова из ВИНИТИ и SGA 4 1/2, первая статья Делиня).
    
    
  • Эллиптические кривые, j-инвариант, автоморфные формы,
    гипотеза Таниямы-Вейля и ее приложения к теории чисел
    (теорема Ферма).
    
    
  • Рациональные гомотопии (по
    последней главе книжки Гельфанда-Манина
    либо статье Гриффитса-Моргана-Длиня-Сулливана).
    Операции Масси и рациональный гомотопический
    тип. Зануление операций Масси на кэлеровом
    многообразии.
    
    
  • Группы Шевалле, их образующие и соотношения
    (по книжке Стейнберга). Вычисление группы K_2
    от поля (Милнор, Алгебраическая К-Теория).
    
    
  • Алгебраическая К-теория Квиллена, $BGL^+$
    и $Q$-конструкция (обзор Суслина в 25-м томе ВИНИТИ,
    лекции Квиллена - Lecture Notes in Math. 341).
    
    
    
  • Комплексные аналитические многообразия,
    когерентные пучки, теорема Ока о когерентности,
    теорема Гильберта о нулях для идеалов
    в пучке голоморфных функций. Нетеровость
    кольца ростков голоморфных функций,
    теорема Вейерштрасса о делении,
    подготовительная теорема Вейерштрасса.
    Теорема о разветвленном накрытии. Теорема
    Грауэрта-Реммерта (образ компактного
    аналитического пространства при
    голоморфном морфизме аналитичен).
    Теорема Хартогса о продолжении
    аналитической функции. Многомерная
    формула Коши и ее приложения
    (равномерный предел голоморфных
    функций голоморфен).
    
    
  
  
  
• Пятый курс
  
  
  • Теория Кодаиры-Спенсера. Деформации
    многообразия и решения уравнения Маурера-Картана. Разрешимость
    Маурера-Картана и операции Масси на DG-алгебре Ли
    когомологий векторных полей. Пространства модулей и
    их конечномерность (см. лекции Концевича, либо
    собрание сочинений Кодаиры). Теорема
    Богомолова-Тиана-Тодорова о деформациях Калаби-Яу.
    
    
  • Симплектическая редукция. Отображение моментов.
    Теорема Кемпфа-Несс.
    
    
  • Деформации когерентных
    пучков и расслоений в алгебраической геометрии. Геометрическая
    теория инвариантов. Пространство модулей расслоений
    на кривой. Стабильность. Компактификации
    Уленбек, Гизекера и Маруямы.
    Геометрическая теория инвариантов это
    симплектическая редукция (третье издание
    Геометрической Теории Инвариантов Мамфорда,
    приложения Фрэнсис Кирван).
    
    
  • Инстантоны в четырехмерной геометрии. Теория
    Дональдсона. Инварианты Дональдсона.
    Инстантоны на кэлеровых поверхностях.
    
    
    
  • Геометрия комплексных поверхностей. Классификация
    Кодаиры, кэлеровы и некэлеровы поверхности, схема Гильбертя
    точек на поверхности. Критерий Кастельнуово-Энриквеса,
    формула Римана-Роха, неравенство Богомолова-Мияока-Яу.
    Соотношения между численными инвариантами поверхности.
    Эллиптические поверхности, поверхность Куммера,
    поверхности типа K3 и Энриквеса.
    
    
    
    
  • Элементы программы Мори: теорема Каваматы-Фивега об
    обращении в ноль, теоремы о свободе от базисных точек, теорема Мори
    о конусе (Клеменс-Коллар-Мори, "Многомерная комплексная
    геометрия", плюс не переведенные Коллар-Мори и
    Кавамата-Матсуки-Масуда).
    
    
    
    
  • 
    Стабильные расслоения как инстантоны. Уравнение
    Янг-Миллса на кэлеровом многообразии.
    Теорема Дональдсона-Уленбек-Яу
    о метриках Янг-Миллса на стабильном расслоении.
    Ее интерпретация в терминах симплектической
    редукции. Стабильные расслоения и инстантоны
    на гиперкэлеровых многообразиях; явное решение
    уравнения Маурера-Картана в терминах оператора Грина.
    
    
  • Псевдоголоморфные кривые на симплектическом
    многообразии. Инварианты Громова-Уиттена.
    Квантовые когомологии. Зеркальная гипотеза
    и ее интерпретации. Структура группы
    симплектоморфизмов (по статье Концевича-Манина,
    книжке Полтеровича "Симплектическая геометрия", зеленой
    книжке о псевдоголоморфных кривых и запискам лекций
    МакДафф и Саламона).
    
    
  • Комплексные спиноры, уравнение Зайберга-Уиттена,
    инварианты Зайберга-Уиттена. Почему инварианты Зайберга-Уиттена
    равны инвариантам Громова-Уиттена.
    
    
  • Гиперкэлерова редукция. Плоские расслоения
    и уравнение Янг-Миллса. Гиперкэлерова структура
    на пространстве модулей плоских расслоений (Хитчин-Симпсон).
    
    
  • Смешанные структуры Ходжа. Смешанные структуры
    Ходжа на когомологиях алгебраического многообразия.
    Смешанные структуры Ходжа на мальцевском пополнении
    фундаментальной группы. Вариации смешанных структур
    Ходжа. Теорема о нильпотентной орбите. Теорема
    об $SL(2)$-орбите. Близкие и исчезающие
    циклы. Точная последовательность Клеменса-Шмида
    (по красной книжке Гриффитса "Transcendental methods
    in algebraic geometry").
    
    
  • Неабелева теория Ходжа.
    Вариации структур Ходжа как неподвижные точки
    $C^*$-действия на пространстве модулей расслоений Хиггса
    (диссертация Симпсона).
    
    
  • Гипотезы Вейля и их доказательство.
    L-адические пучки, превратные пучки,
    автоморфизм Фробениуса, его веса,
    теорема о чистоте (Beilinson, Bernstein, Deligne,
    плюс Делинь, Гипотезы Вейля II).
    
    
    
  • Количественная алгебраическая топология Громова,
    (по книжке Громова "Metric structures for Riemannian and
    non-Riemannian spaces").
    Метрика Громова-Хаусдорфа, прекомпактность множества метрических
    пространств, гиперболические многообразия и гиперболические группы,
    гармонические отображения в гиперболические пространства,
    доказательство теоремы Мостова о жесткости (два компактные
    кэлеровы многообразия, накрываемые одним и тем же
    симметрическим пространством X отрицательной кривизны,
    изометричны, если их фундаментальные группы изоморфны,
    а dim X > 1).
    
    
    
  • Многообразия общего типа,
    метрики Кобаяши и Бергмана, аналитическая жесткость
    (Сиу).
    
    
    
    

Почему эта программа такая, а не другая?

Мне не кажется, что все области математики одинаково ценные;
я уверен, что самоценности математика сама по себе не имеет.
Иначе математика оказывается своего рода сложной
интеллектуальной игрой, и мы оказываемся в области,
обозначенной Германом Гессе ("Игра в бисер"), где никаких критериев нет
вообще - кроме оценки профессионального сообщества.
А профессиональное сообщество, что и скрывать, одновременно
и коррумпировано, и разобщено. Профессиональное сообщество
математиков не имеет единого критерия, а если бы и имело его,
это было бы только хуже, наверное, потому что он был бы
основан на невнятных властных играх по принципу ты
почеши мне, а я почешу тебе, а ля академия наук.

Тем не менее, какие-то области математики претерпевают
вполне очевидный расцвет. Ю.И.Манин заметил в конце 1980-х,
что 1960-е было 10-летием расцвета для алгебраической
топологии, 1970-е - для алгебраической геометрии,
1980-е - для математической физики. В этом смысле,
1980-е длятся до сих пор. Математические идеи,
связанные с 1990-ми (зеркальная гипотеза, инварианты
Громова-Уиттена, инварианты Зайберга-Уиттена,
квантовые когомологии) все происходят из струнной геометрии.

Я думаю, что это не случайно.
Математика утеряла общие критерии, потеряв общий контекст;
в настоящий момент, гораздо меньше людей понимают, что
происходит в науке в целом, чем 20 лет назад, и еще
меньше, чем 40 лет назад.
В условиях потери абстрактных критериев, единственно
эффективным критерием становится утилитарный. Математика
лишь постольку интересна, поскольку она связана со
струнной теорией; это базовое предположение, которое
я не хочу сейчас обсуждать. Релевантность для физики
это единственный критерий, который у нас остался;
а почти вся математика, относящаяся к физике,
относится к струнной геометрии. Этот тезис хорошо
подтверждается наблюдением, приведенным выше:
(почти) все интересные идеи последних 20 лет связаны с
физикой струн.

Желающие следить за математикой (в том смысле, в котором
это слово понимается выше) приглашаются на сервер
http://arxiv.org,
где почти все интересные работы по математикe
выкладываются сразу после их написания.

Выше приведенная математическая программа нужна именно
для этого. Конечно, не все работы в http://arxiv.org
будут немедленно понятны, даже и студенту, сдавшему
все экзамены; но объяснить ему, в чем дело,
можно будет за полчаса.

Можно, конечно, заниматься математикой и не понимая
общего контекста, в котором она существует; но
подобные занятия, на мой взгляд, еще больше
разрушают общий контекст, тем самым усугубляя
размывание критериев, невежество и коррупцию,
которые и без того доминируют. Неграмотные
занятия профессиональной математикой приносят
больше вреда, чем пользы; всех статей все равно никто
не прочтет, а большинство статей вообще
никто не читает. Написание еще одной
бессмысленной статьи затрудняет доступ
к статьям осмысленным; в этом смысле,
математика 20-30 лет назад была гораздо
более внятной и осмысленной наукой,
чем сейчас. Наступит такой момент,
когда "прогресс" в математике просто
остановится, и каждая новая статья
будет повторять результаты, уже
доказанные кем-то в одной из
непрочтенных и забытых статей. Во многих
областях науки, такая ситуация имеет место
уже сейчас.

Математическое образование в России

Я уже 6 лет читаю учебные курсы и
лекции в Независимом Университете; общая польза, принесенная
этими курсами кому бы то ни было, практически нулевая;
по крайней мере студентам-математикам пользы
не было никакой. Я буду заниматься этим и дальше,
но занятие это очевидно бессмысленное.

Мои скромные педагогические способности тут
не при чем; будь я даже и Оскаром Зариски напополам с
профессором Яу, у меня ничего не вышло бы.
За эти 6 лет я не видел в Москве
ни одного студента, который доучился
бы до состояния, позволяющего вести
научную работу (я видел довольно
много хороших молодых ученых - Стефан
Немировский, например - но учились
они где-то в другом месте; я не знаю
где, но точно не у нас). Единственная функция
Независимого Университета - поставлять кадры для
американских аспирантур; но и с ней он справляется,
в последнее время, крайне плохо, поскольку
интеллектуальный фонд истощился до полного
опустошения и кердыка.

Исторически, в России
имели место две параллельные образовательные системы;
одна из них - университетская - за 5 лет худо-бедно давала знания,
которые следует иметь студенту первого года обучения; она
дополняла этот материал абсолютно бессмысленным
концептуальным и вычислительным баластом и
просто откровенным бредом
(учебник Камынина помните?) Даже те
знания, которые давались университетской
программой, давались ей в виде мало-осмысленных
вычислительных рецептов, и в результате
понимание студентом сути вещей только
затруднялось. Университетская программа выпускала
не математика, а калеку, который математикой
не мог заниматься уже никогда; если кто-то
в результате и становился математикой,
то только вопреки тому, чему его учили,
а не благодаря этому.

Вторая программа была альтернативой, созданной
Гельфандом, Маниным и иже с ними вокруг матшкол,
Керосинки и семинаров Гельфанда и Манина;
студент, попавший в эту структуру, к 3-4 курсу
усваивал материал, соответствующий
второму-третьему обучения математике
(в смысле выше приводимой программы).
Потом он оказывался в состоянии, которое
Гельфанд охарактеризовал как бег за трамваем
в попытках вскочить на его подножку;
ни владения текущей литературой,
ни возможности в ней ориентироваться
программа Гельфанда и Манина не давала
(да и библиотек, доступных студенту
Керосинки, не было). Курсов, соответствовавших
текущему состоянию науки, на мех-мате
не читалось, кроме Манина, который
избирал одну определенную область и год-два
ею занимался; выпуская каждый раз 3-5 студентов,
которые с тех пор и до самой смерти
занимаются именно этим.

Гельфанд учил, что, чтобы таки допрыгнуть
до трамвая, надо ходить на семинары, заведомо непонятные,
и самостоятельно пытаться разобраться в том, что
там происходит. Именно таким образом люди (кому
повезет) осваивали материалы года обучения
с третьего по пятый мною обозначенной программы
(материал пятого года, конечно, тогда
не весь существовал; вместо него были
модули Верма и ББГ-резольвента, сейчас,
видимо, неактуальные).

В последние 10 лет
ситуация отчасти параллельна мною
описанной. Имеются две конкурирующие
программы: университетская (которая
с 1980-х не изменилась, а только
сократилась немного - скажем,
спектральные последовательности
в ней были, а сейчас их нет), и
альтернативная, которой занимаются
в Независимом Университете и в ИТЭФе.

Но есть существенная разница - люди,
которые понимают о чем идет речь в
математической литературе (типа, в
http://arxiv.org) в основном уехали; в результате,
охват альтернативной системы сократился
с середины третьего года обучения
по Гельфанду и Манину до середины
второго. При этом никаких ориентиров в плане
дальнейшего самообразования студент не получает.
Колоссальный барьер между обучением на студенческих
семинарах и чтением научной
литературы, который требовалось
преодолевать самообразованием, увеличился
с 2 лет до 4 и стал непреодолим. Вместо пропасти,
второй край которой отчасти просматривается,
мы имеем черную дыру, которая поглощает
каждого, кто к ней приблизится.

У нас нет учебных заведений, где
мою программу обучения
можно было бы использовать;
но смысл в ней тем не менее есть.
Смысл ее - в установлении
приоритетов и ориентиров. Конечно, нет у нас
студентов, которые в школе учат теорию Галуа и
гомотопическую топологию, а на втором курсе
постигли классифицирующие пространства и
характеристические классы. Не то чтобы
их не может быть в принципе - во времена
семинаров Гельфанда и Манина такие студенты
были - но факт состоит в том, что сейчас
их нет; и не будет никогда, если интеллектуальный
климат останется таким, как сейчас, и если
мы не приложим усилий к его изменению.
Программа, мною выше приведенная -
есть не данность, а идеал, к которому
необходимо стремиться.

Студенту, если он хочет чему-нибудь выучиться,
полезно время от времени поглядывать на описанный
куррикулум; и сообразовать свое обучение с этой
программой. Иначе кердык.