Мысли о :ЛЕНИН:е

Оставить ваши мысли

/ 7 декабря 1999 г. / 6 декабря 1999 г. / 5 декабря 1999 г. / 3 декабря 1999 г. / 1 декабря 1999 г. / 30 ноября 1999 г. / 29 ноября 1999 г. / 28 ноября 1999 г. / 26 ноября 1999 г. / 25 ноября 1999 г. / 24 ноября 1999 г. / 23 ноября 1999 г. / 19 ноября 1999 г. / 12 ноября 1999 г. / 3 ноября 1999 г. / 30 октября 1999 г. / 26 октября 1999 г. / 21 октября 1999 г. / 18 октября 1999 г. / 14 октября 1999 г. / 7 октября 1999 г. / 5 октября 1999 г. / 2 октября 1999 г.

Дима,

>>Обратите особое внимание, что слово "полнота" относится к полноте
>>_чистой логики_, а не какой-либо теории в ней.

>Разумеется. Про это я и говорил: теория, для которой можно доказать
>полноту, оказывается пуста (не содержит аксиом вообще).

Да нет. Ваше предложение бессмысленно: "теория, для которой можно
доказать полноту", предполагает полноту в смысле "возможность
доказать или опровергнуть любое утверждение", а "оказывается пустой"
ссыляется на результат, в котором "полнота" означает "возможность
доказать все тавтологии". Два разных вида полноты.

>Я понимаю,
>что бывают и непустые полные теории, но они недалеко ушли.

Полна, например, теория алгебраически закрытых полей любой
фиксированной характеристики. Полна теория действительных чисел (!)
с умножением, сложением, экспоненциацией и порядком. Это доказал
Тарский в 50-х. Существуют полные теории различных
фрагментов теории чисел (e.g. разных видов конечных расширений Q).
Это как, по вашему - все неинтересные, тривиальные объекты? Всеми
этими вещами занимаются в теории моделей. У них там так много полных
теорий, что они обычно вообще о теоремах о неполноте не вспоминают.

Вопреки Вашей (неверной) интуиции, полнота теории не означает
тривиальности объектов, к-е она формализует. В каком-то смысле, теорема
Геделя утверждает, что натуральные числа очень сложны, настолько,
что мы в принципе не можем охарактеризовать все истины о них. Но эта
сложность не переносится автоматически на всю математику.

>>Теорема о полноте говорит о первом виде полноты, теоремы о
>>неполноте - о втором. Они друг с другом напрямую не связаны, и это
>>очень важно понять.

>Логически не связаны. Исторически конечно связаны: Гедель очевидно
>хотел доказать полноту арифметики; начал, среди прочего, с
>исследования чистой логики.

Мне это кажется неверным, хотя процитировать источники я сейчас не
смогу. Дело в том, что вопрос о полноте исчисления предикатов был
впервые поставлен explicitly в книге Гильберта и Акермана за 1928й
год; Гедель прочитал ее и решил заняться этим для своей докторской
диссертации. Его занятия неполнотой начались, видимо, после того,
как он прочитал Principia Mathematica и решил задать вопрос о
полноте описываемой там арифметики (его статья о неполноте так и
называется: On some undecidable propositions in Principia
Mathematica... по-немецки, конечно).

>Не знаю -- по-моему, из этого следует не то, что Витгенштейн умный,
>а то, что Фреге идиот.

А также, очевидно, все логики, которые занимались этим вопросом до
20х годов. Включая Гильберта, который занимался логикой уже в 10х
годах, после столкновений с Брауером в начале 10х. Неявным образом
Гильберт использовал современную логику, более, чем кто-либо другой из
мейнстримных математиков, еще в 90х прошлого века, в своей полной
аксиоатизации геометрии.

На самом деле, Вам просто не хватает исторической переспективы в том,
что касается логики. Фреге был гений, поскольку первый в точности
сформулировал, что такое квантор, и положил начало современной логике -
логике квантификации AKA предикативному исчислению AKA логике первого
порядка. До него более 2000 лет никто этого не мог сделать. Для Вас,
современного математика, кванторы являются очевидными и тривиальными,
но Эйлер, Лаплас и Вейерштрас не понимали как следует, что это такое.
Конструкция вида "Для каждого X существует Y, такой, что для каждого
Z..." являлась слишком сложной для большинства математиков первой
половины 19-го века или ранее. Фреге во многом определил не только
логическую, но и математическую мысль 20-го века.

То же самое с Кантором и ему подобными. Они, в первую очередь,
определили в точности понятие функции. Вейерштрас не потому не мог
признать существование непрерывных функций, не имеющих производной
ни в одной точке, что был дурак и доказательств не понимал, а потому,
что под функцией понимал что-то совсем не то, что понимаете Вы. Легко,
конечно, сидеть в 90х годах 20-го века и фукать, мол, дураки они были.

>До 20х (на худой конец, 10х) годов -- по сути, до
>программы Гильберта -- логикой занимались исключительно кранки. С
>другими областями математики была та же история (удобная нотация
>появляется сразу же, когда она становится действительно кому-то
>нужна).

Ерунда. Люди тратили десятки лет жизни на нахождение алгоритмов
решения уравнений четвертой степени, и у них не было даже нотации
для плюса. Будь у них нормальная нотация, их труд сократился бы
в десятки раз.

>У Рассела была в голове очевидная математическая
>дисциплина.

Мне об этом ничего не известно. Подозреваю, что Харди ему бы при
встрече руки не пожал.

>Витгенштейн
>_даже_ математиком не был. Вся его философия есть неоправданное
>применение матетиматики, полупереваренной и плохо усвоенной в
>детстве

Это просто неверно. Вся плохо переваренная математика заключена
в малой части Tractatus-а и большей части Investigations. Самые
важные части его философии, как ранней, так и поздней, этой болезни
не подвержены.

>При этом я хорошо понимаю,
>что называется "философией" в англоязычном мире -- как раз
>мат. логика, некорректно обощенная и изложенная якобы обычным
>языком.

Вы говорите об аналитической философии, к-я в большинстве своем
есть плохо переваренные отжимки из Виттгенштейна вкупе с природным
дебилизмом. Есть всякие хорошие исключения из этого, например некоторые
работы Куайна, но они редки. Все это, однако, не слишком важно, и не
имеет отношения к настоящей современной философии вообще, или к
Виттгенштейну.

>Если Витгенштейн хотел быть философом в таком смысле -- то
>да, был философ par exellence.

Виттгенштейн был философом par excellence, period.

>1. К конечной и даже счетной аксиоме выбора почти ни у кого
>претензий просто нет.

Конечная аксиома выбора вообще следует из других аксиом. Счетная -
не следует, и очень важна. Вопрос не в том, есть к ней претензии или
нет; вопрос в том, насколько возможна работа в ZF (т.е. и без
счетного выбора). Возможна, но не очень, получается много грязи и
много хороших вещей приходится выкидывать.

>2. Помимо анализа и топологии (про которые все логики более-менее
>знают) имеются алгебраическая геометрия, теория чисел и еще много
>чего, про которые логики обычно не знают (потому что эти вещи
>возникли/развились после войны).

Напротив, хорошие логики как раз это знают по многим разным причинам.
Например, потому, что категории и топосы имеют свои проблемы с
теорией множеств, и таким образом с основаниями математики вообще.
Кроме того, теория стабильности - самая важная и сложная часть
теории моделей (большинство ее Шелах разработал собственноручно в
течении 20 лет начиная с конца 60х, а за ним шли и огрызки подбирали),
тесно связана с геометрией и алгебраической геометрией. Так что логики
зачастую знают нужную математику. Вот математики логику почти никогда
не знают.

[Анатолий:]
>Вместо слова "модель" Гедель использовал слово "domain" (не помню
>как по-немецки), и конечно же совсем другую нотацию. Его
>доказательство строило счетную (countable, я заранее извиняюсь за
>все ошибки в моих русских терминах) модель, и работало только для
>счетных языков (т.е. кол-во символов для функций и реляций не более
>чем счетно).

Да, это звучит разумно. Использование моделей, например, для
доказательства непротиворечивости арифметики кажется диким (потому
что нужна теория множеств, которая в этом смысле куда хуже
арифметики). Меня это всегда удивляло. Если мы работает только со
счетными моделями, то все понятно (и даже понятия "модель" можно при
желании не употреблять).

>Обратите особое внимание, что слово "полнота" относится к полноте
>_чистой логики_, а не какой-либо теории в ней.

Разумеется. Про это я и говорил: теория, для которой можно доказать
полноту, оказывается пуста (не содержит аксиом вообще). Я понимаю,
что бывают и непустые полные теории, но они недалеко ушли.

>Тут Вы как раз путаете два вида полноты: полноту _логики_ (которая
>говорит о том, что можно доказать без аксиом), и полноту _теории_
>(т.е. логики плюс набора дополнительных аксиом, определяющих
>теорию). Теорема о полноте говорит о первом виде полноты, теоремы о
>неполноте - о втором. Они друг с другом напрямую не связаны, и это
>очень важно понять.

Логически не связаны. Исторически конечно связаны: Гедель очевидно
хотел доказать полноту арифметики; начал, среди прочего, с
исследования чистой логики.

>>Скорее, там было что-то вроде "всякое утверждение можно
>>опровергнуть или доказать"

>Этого там быть не могло, потому что это просто неверно. Ни в какой
>логике, полной или неполной.

>Вот пример, который это прояснит. Утверждение "существуют ровно
>пять вещей" довольно легко формализовать ("существуют икс_1,икс_2,...,
>икс_5, они все не равны друг другу, и любой игрек равен одному из
>них"), и оно верно только в тех моделях, в которых есть ровно 5
>членов. Поэтому это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть
>в чистой логике (иначе оно было бы либо верно во всех моделях, либо
>неверно во всех).

Угу, понятно.

>Его программа, поэтому, вовсе не была помпезной
>(как Вы написали), и до теорем о неполноте Геделя многими считалась
>вполне разумной и осуществимой.

Так ведь в единого бога все до некоторого момента
верили. Помпезность -- вопрос вкуса.

>Сейчас трудно представить, _насколько_ важным оказался
>этот метод; для того, чтобы это уяснить, следует попробовать почитать,
>скажем, книги Фреге или хотя бы ту же Principia Mathematica_; их
>очень тяжело читать и понимать именно из-за отсутствия возможности
>каким-либо нормальным путем работать с логическими операторами.

Не знаю -- по-моему, из этого следует не то, что Витгенштейн умный,
а то, что Фреге идиот. Что, в общем, неудивительно. Он же занимался
логикой с какими-то посторонними целями, чтобы что-то обосновать,
или еще зачем. Гедель, что совершенно очевидно, занимался логикой
так же, как другие занимаются там алгебраической геометрией -- ради
нее самой.

>Фреге, например, использует монструозные нечитабельные двумерные
>таблицы на пол-страницы только для того, чтобы записать небольшое
>утверждение и понять, что оно означает.

Фреге был просто кранк. Даже Кантор (при всем уважении) кончил в
психдоме. До 20х (на худой конец, 10х) годов -- по сути, до
программы Гильберта -- логикой занимались исключительно кранки. С
другими областями математики была та же история (удобная нотация
появляется сразу же, когда она становится действительно кому-то
нужна).

>Расселл математиком тоже не был, кстати - он был логиком и
>философом.

У Рассела была в голове очевидная математическая
дисциплина. _Только_ математиком он не был, это факт. Витгенштейн
_даже_ математиком не был. Вся его философия есть неоправданное
применение матетиматики, полупереваренной и плохо усвоенной в
детстве. Но т.к. математическая интуиция у него отсутствует на корню
(а любая другая -- тем более), получается бред. Очень "логичный"
бред. Но от этого только хуже.

Я вообще с трудом понимаю, что такое "философ" -- т.е. я знаю
некоторое количество людей, которых именно так и хочется назвать, но
что это такое "вообще", понять не могу. При этом я хорошо понимаю,
что называется "философией" в англоязычном мире -- как раз
мат. логика, некорректно обощенная и изложенная якобы обычным
языком. Если Витгенштейн хотел быть философом в таком смысле -- то
да, был философ par exellence.

>Математикам свойственно не замечать
>использование аксиомы выбора; как правило, они осознают ее
использование
>только в крайних, бросающихся в глазах случаях (выбирая базис у
>векторного пространства, про к-е ничего не известно; используя теорему
>Хана-Банаха или Тихонова; и т.п.).

Про это пусть Миша напишет -- это он главный ненавистник аксиомы
выбора; у меня с ней особо проблем нет. Я _стараюсь_ ее избегать, но
не чувствую себя обязанным это делать. Вопрос эстетический. Все же,
пара замечаний:

1. К конечной и даже счетной аксиоме выбора почти ни у кого
претензий просто нет.

2. Помимо анализа и топологии (про которые все логики более-менее
знают) имеются алгебраическая геометрия, теория чисел и еще много
чего, про которые логики обычно не знают (потому что эти вещи
возникли/развились после войны). По размеру это существенно больше
половины современной математики (ну, скажем -- в разумной ее
части). И в этих вещах зачастую аксиома выбора не нужна
вообще. Например, заметную часть алгебраической можно построить, не
используя несчетных множеств вообще, и effectively используя только
конечные множества (плюс индукцию, само собой).

3. У нас есть очень простой способ _проверить_, нужна ли аксиома
выбора для данного конкретного утверждения. Для этого надо
посмотреть на его аналог в любом топосе. В топосах аксиомы выбора
обычно нет, а строить их легко (по любому алгебраическому
многообразию получается несколько штук).

Привет,
Дима.

Я пока воздерживаюсь, потому что в математике ни хуя не понимаю. Приноравливаюсь, изучаю stuff. Скоро вопрошать буду.

Хинтикка последние лет 10 занимается разработкой логики, к-ю
он называет independence-free logic. Она отличается от обычной
логики первого порядка тем, что в ней возможна независимость
вложенных друг в друга кванторов (если кому надо, могу пояснить).
Он утверждает, что это есть "настоящая" логика, и перечисляет
всякие ее достоинства, как например то, что в ней не работают
теоремы о неполноте. Однако у его логики на самом деле есть
очень важные недостатки, к-е он всячески пытается затушировать:
например, нет нормальног отрицания и нет нормальной семантики,
только игровая (единственный способ определить истинность
высказывания - постулировать существование выигрышной стратегии
в некоей игре). На практике с этим очень сложно, если вообще
возможно, работать. Многие логики считают, что Хинтикка впал в
детство, хотя вслух этого не говорят. Книга Хинтикки, которую
нужно читать по этому поводу - _Principles of Mathematics Revisited_.

Дима,

>>Здесь есть много людей, которые в этом не сильны, они Вам могут
>>поверить.

>Правильно сделают. Для них и писал.

Но написали, все же, несуразицу. См. ниже.

(теорема о полноте и тавтологии)
>Видите ли -- у людей, которые логики не учили, такой проблемы
>восприятия просто не может быть, потому что для них "тавтология" --
>это "пустое, бессодержательное утверждение", а не термин из
>мат. логики. Как и для меня.

Ясно. Я тогда извиняюсь; в каком-то смысле своей интерпретацией
я хотел Вам дать the benefit of the doubt - в том смысле, что в
контексте теоремы о неполноте Ваше высказывание кажется мне
совершенной чепухой, а предполагая, что Вы спутали ее с теоремой
о полноте, получаем что-то правдоподобное (а именно, искаженную
ее версию).

> Как именно этот термин применяется в
>логике, я просто на помню. Кажется, это что-то из исчисления
>высказываний. "Верно во всех моделях" = "истинно по Тарскому",
>"тавтология" здесь вроде бы ни при чем.

"Тавтология" применяется и в исчислении высказываний, и в исчислении
предикатов, и обозначает и там и там утверждение, которе верно во
всех интерпретациях; в исчислении высказываний "интерпретация" является
просто какой-то подстановкой правда/ложь в буквы, из которых
строится утверждение, а в исчислении предикатов "интерпретация"
включает в себя модель, определение всех функциональных/реляционных
символов языка в этой модели, и подстановка значений в модели для
переменных, используемых в утверждении.

> Кроме того, мне кажется, что
>ваша формулировка теоремы о полноте Геделю принадлежать не может --
>у Геделя утверждения синтаксические, потому моделей там быть не
>должно. Скорее, там было что-то вроде "всякое утверждение можно
>опровергнуть или доказать". Если вы эксперт, то поправьте, где что
>не так.

Теорема о полноте в ее полном виде говорит следующее:

Пусть Сигма - набор утверждений, и тау - утверждение. Если тау верно
в любой модели, в которой верны все утверждения из Сигма, то тау
формально доказуемо из Сигма.

В символьном обозначении: Сигма|=тау => Сигма|-тау . Предположение
Сигма|=тау семантическое (тау верно во всех моделях Сигма), а
вывод Сигма|-тау синтаксический (существует формальное док-во тау из
Сигма).

Подставив вместо Сигма пустое множество получаем специальным случаем
утверждение: если тау тавтология, то тау формально доказуемо.

У теоремы о полноте есть следующий вариант:

Если множество утверждений Сигма непротиворечиво (=не существует
формального док-ва из Сигма утверждения "фи и не-фи" для некоего фи),
то у него есть модель (=множество с определенными в нем интерпретациями
всех функциональных и реляционных символов языка и подстановкой для
переменных, встречающихся в Сигма, так что все утверждения Сигма верны).

То, что этот вариант эквивалентен теореме о полноте, легко увидеть,
рассмотрев вместо Сигма и тау из теоремы о полноте множество
Сигма + {не-тау}. Это множество противоречиво <--> тау доказуемо
из Сигма (принцип reductio ad absurdum). У этого множества нет
модели <--> тау верно во всех моделях Сигма.

Гедель доказал именно этот вариант. Без семантики тут никак не обойтись,
так как теорема о полноте как раз и является главной теоремой,
связывающей синтакс и семантику в исчислении предикатов. Вместо слова
"модель" Гедель использовал слово "domain" (не помню как по-немецки),
и конечно же совсем другую нотацию. Его доказательство строило
счетную (countable, я заранее извиняюсь за все ошибки в моих русских
терминах) модель, и работало только для счетных языков (т.е. кол-во
символов для функций и реляций не более чем счетно). Где-то в 40-х
Мальцев придумал другое док-во, к-е работает для всех языков.

_Формального_ определения семантики тогда еще не было (его придумал
Тарский в 33-м), но интуитивно семантика использовалась. По-видимому,
самым первой _семантической_ теоремой в логике является теорема
Сколема 18-го года, согласно которой любая теория, имеющая какую-либо
модель, обязательно имеет также счетную по размеру модель.

Обратите особое внимание, что слово "полнота" относится к полноте
_чистой логики_, а не какой-либо теории в ней. Логика полна, если
она доказывает все тавтологии (без каких-либо аксиом, кроме чисто
логических). Полнота исчисления высказываний довольно тривиальна и была
доказана в 21-м году Постом. Полнота исчисления предикатов является
краеугольным камнем всей современной логики, практически всех ее
частей (в первую очередь теории моделей). Обратите внимание, что в
течении примерно 50 лет с начала современной логики (Фреге, 80е
годы прошлого века, и до 20х) никто даже не _задавался вопросом_
о полноте логики; это указывает на очень медленное пробуждение мыслей
о семантике вообще. Во всей _Principia Mathematica_ нет ничего о
семантике. Но это так, к слову.

>Скорее, там было что-то вроде "всякое утверждение можно
>опровергнуть или доказать"

Этого там быть не могло, потому что это просто неверно. Ни в какой
логике, полной или неполной. См. объяснение о теореме о полноте выше,
она говорит совсем о других вещах. Тут Вы как раз путаете два вида
полноты: полноту _логики_ (которая говорит о том, что можно доказать
без аксиом), и полноту _теории_ (т.е. логики плюс набора
дополнительных аксиом, определяющих теорию). Теорема о полноте говорит
о первом виде полноты, теоремы о неполноте - о втором. Они друг
с другом напрямую не связаны, и это очень важно понять.

Вот пример, который это прояснит. Утверждение "существуют ровно
пять вещей" довольно легко формализовать ("существуют икс_1,икс_2,...,
икс_5, они все не равны друг другу, и любой игрек равен одному из
них"), и оно верно только в тех моделях, в которых есть ровно 5
членов. Поэтому это утверждение нельзя ни доказать, ни опровергнуть
в чистой логике (иначе оно было бы либо верно во всех моделях, либо
неверно во всех). С другой стороны, можно построить т.н. "теорию
равенства" - некий набор аксиом, и доказать, что любое утверждение,
использующее только знак равенства и больше никаких реляций и функций,
опровергается либо доказывается этой теорией; т.е. эта теория полна
в языке, содержащем только знак равенства.

Еще несколько замечаний, и я это послание закончу, а Ваш "строгий"
вариант Вашего утверждения и т.п. прокомментирую еще через несколько
часов.

>Гильберт, конечно же, был нормальный математик, и логикой занимался
>только постольку, поскольку (как я понимаю, ему были особенно
>неприятны парадоксы из-за того, что он первый стал применять
>существенно неконструктивные доказательства)

Тут на самом деле все несколько тоньше. Гильберт считал своим долгом
защитить математику от интуиционистов во главе с Брауэром. У него
с Брауэром были и многочисленные "личные" счеты: так, тот "увел"
ненадолго в ересь интуиционизма лучшего ученика Гильбертам, Вейла.
Парадоксы его волновали меньше, так как от них в основном к тому
времени избавились (изобретя по пути аксиоматическую теорию множеств).
Гильберт полагал (не без оснований), что воплощение в жизнь его
программы защитит математику от обвинений в внутренней противоречивости
и неправомерности математических методов, не отвечающих критериям
интуиционизма (к-е намного более строги, чем то, что Вы подразмеваете
под конструктивизмом). Его программа, поэтому, вовсе не была помпезной
(как Вы написали), и до теорем о неполноте Геделя многими считалась
вполне разумной и осуществимой.

>А первая часть -- увы, чепуха,
>порожденная излишними знаниями. Для человека, с предметом
>незнакомым, "логическое обоснование математики" -- это и есть в
>точности "формальное доказательство непротиворечивсти основных ее
>аксиом". А не раздел современной математической логики, или что там
>еще.

Наверное, Вы правы, и я должен по крайней мере частично извиниться.
Дело в том, что меня ввело в заблуждение слово "Настоящее" (которое,
вроде бы, ни к чему, если речь идет о поиске док-ва непротиворечивости;
такое док-во либо есть, либо его нет, "настоящим" его называть не
имеет смысла), и я автоматически прочитал слово "Обоснование" как
"Основание", foundations - именно поиском _настоящих_ логических
foundations, в их же терминологии, занимаются логицисты.

>А что такое truth tables?

Метод исследования логических операторов путем построения
исчерпывающей таблицы их действия:

А Б А или Б
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1

Кажется простым, однако до Виттгенштейна никто до этого
не додумался. Сейчас трудно представить, _насколько_ важным оказался
этот метод; для того, чтобы это уяснить, следует попробовать почитать,
скажем, книги Фреге или хотя бы ту же Principia Mathematica_; их
очень тяжело читать и понимать именно из-за отсутствия возможности
каким-либо нормальным путем работать с логическими операторами. Фреге,
например, использует монструозные нечитабельные двумерные таблицы на
пол-страницы только для того, чтобы записать небольшое утверждение и
понять, что оно означает.

Естественно, без truth tables никаких компьютеров бы не было; хотя,
надо полагать, если бы их не придумал Виттгенштейн, то наверное
придумал бы кто-нибудь другой.

> Витгенштейн в истории математики занимает
>достойное место неудачного ученика Бертрана Расселла -- который,
>будучи к осмысленной деятельности неспособен, перешел в филозофы.

Ерунда. Виттгенштейн и не собирался быть математиком, и стал именно
тем, кем хотел стать - философом. Расселл математиком тоже не был,
кстати - он был логиком и философом. Виттгенштейн оставил свой
(небольшой, но важный) след в логике, и гигантский и важнуй след
в философии.

>Вообще-то конечно, любой работающий математик -- интуитивный
>конструктивист, и нехороших (не конечно-порожденных в каком-нибудь
>смысле) вещей пытается по мере сил избегать; поэтому "реально"
>аксиома выбора используется только для конечных множеств, где с ней
>вообще никаких проблем нет. Но этот факт лучше оставить на уровне
>психологического наблюдения.

Этот факт просто неверен. Математикам свойственно не замечать
использование аксиомы выбора; как правило, они осознают ее использование
только в крайних, бросающихся в глазах случаях (выбирая базис у
векторного пространства, про к-е ничего не известно; используя теорему
Хана-Банаха или Тихонова; и т.п.). Это психологическое явление хорошо
известно специалистам в теории множеств. У аксиомы выбора есть
множество относительно слабых версий (countable choice, dependant
choice, etc.), и их применение, как правило, математики вообще не
замечают. Без аксиомы выбора анализ, топология и большая часть
алгебры выглядят _очень_ странно. Стандартным примером является
невозможность доказать сущ-е неизмеримого по Лебегу множества
действительных чисел, однако этот пример не передает всей ненормальности
работы без аксиомы выбора. Если очень интересно, я могу найти другие
примеры.

Слыхалоча, Хинтикка вроде бы похвалялся, что нашёл-де ошибочку ещё во
фрегевской формализации логики (якобы перекочевавшую "далее везде"),
обойдя которую, быдто бы, можно подкопаться под Гёделя... Правда,
Хинтикка пиздит много. Ибо Фынн. То есть Ыстонский ЖыдЪ. В чём и
состоит, наверное, "ужасЪ" и моральный террор. Или какая-то часть
ового. Или ещё что-нибудь. Или без этого. Или с этим. Но, скорее, всё-
таки без. Или бэз. Не знаю теперь, как праально.

Добрый день, Анатолий,

>Здесь есть много людей, которые в этом не сильны, они Вам могут
>поверить.

Правильно сделают. Для них и писал.

>В частности, Вы путаете теорему Геделя о полноте с другой его
>теоремой - о неполноте. Крах программе Гильберта положила теорема о
>неполноте; теорема о полноте доказала что все, что есть тавтология
>(=верно во всех моделях), можно доказать, а не наоборот, как Вы
>думаете (наоборот - тривиально).

Видите ли -- у людей, которые логики не учили, такой проблемы
восприятия просто не может быть, потому что для них "тавтология" --
это "пустое, бессодержательное утверждение", а не термин из
мат. логики. Как и для меня. Как именно этот термин применяется в
логике, я просто на помню. Кажется, это что-то из исчисления
высказываний. "Верно во всех моделях" = "истинно по Тарскому",
"тавтология" здесь вроде бы ни при чем. Кроме того, мне кажется, что
ваша формулировка теоремы о полноте Геделю принадлежать не может --
у Геделя утверждения синтаксические, потому моделей там быть не
должно. Скорее, там было что-то вроде "всякое утверждение можно
опровергнуть или доказать". Если вы эксперт, то поправьте, где что
не так.

Но это частности.

Специально для вас, попробую перевести мою фразу на корректный язык
(а _неэкспертов_ наоборот прошу дальше не читать -- как показывает
практика, человек, с математическим способом говорить не знакомый,
любое математическу корректное высказывание воспринимает
неправильно).

Теорема Геделя о неполноте утверждает, что в любой системе аксиом,
включающей арифметику (в частности, мат. индукцию -- без чего
реальная математика невозможна), существует утверждение, которое
нельзя ни опровергнуть, ни доказать. Само по себе это гильбертовской
программы не отменяет, но вызывает фатальные сомнения в ее
осуществимости (подтверждающиеся, как вы нам любезно разьяснили,
следующей теоремой, которая specifically про доказательство
непротиворечивости). В контексте этой теоремы теорема о полноте
(предшествующая по времени) выглядит, как издевка. Дескать, язык, в
котором все можно или опровергнуть или доказать, есть -- но только
это язык по сути своей пустой, и ничего _содержательного_ там
доказать нельзя. Резюме: части математики, которые можно логическими
методами изучить до конца, бессмысленны -- там нечего изучать.

Вот к этому абзацу придирайтесь сколько угодно -- буду только
признателен.

>Более того, программа Гильберта занималась не логическим
>обоснованием математики, а финитарным доказательством
>непротиворечивости; Гильберт был не логицист, а формалист, и не
>верил в то, что математика есть часть логики.

Гильберт, конечно же, был нормальный математик, и логикой занимался
только постольку, поскольку (как я понимаю, ему были особенно
неприятны парадоксы из-за того, что он первый стал применять
существенно неконструктивные доказательства). Так что вторая часть
вашего утверждения -- совершенно правильная (хотя никакого отношения
не имеет к тому, что я говорил). А первая часть -- увы, чепуха,
порожденная излишними знаниями. Для человека, с предметом
незнакомым, "логическое обоснование математики" -- это и есть в
точности "формальное доказательство непротиворечивсти основных ее
аксиом". А не раздел современной математической логики, или что там
еще.

Мораль такая: все, что я писал, буквально верно; я и сейчас, после
ваших и Мишиных долгих выяснений на этот счет, не вижу с моей фразой
никаких проблем. А вот воспринимать ее как формальное математическое
утверждение, паче того -- со специальными математическими терминами
-- вот этого никак не предполагалось. Прошу прощения. Раз такеи
дела, впредь буду специальным дисклаймером такие вещи пояснять.

>С таким уровнем знаний о предмете Вам бы лучше молчать о Виттгенштейне,
>который первым сформулировал метод truth tables и тем самым занял
>достойное место в анналах мат. логики. Виттгенштейна, при всех его
>недостатках, очень стоит воспринимать всерьез.

А что такое truth tables? Небось, опять что-то из исчисления
высказываний? Ну-ну. Витгенштейн в истории математики занимает
достойное место неудачного ученика Бертрана Расселла -- который,
будучи к осмысленной деятельности неспособен, перешел в филозофы.

>Очевидно, Каледин полагал, что здесь тех, кто в этом разбирается,
>не будет.

Да нет же! Я просто привык отделять формальные вещи от
неформальных. Еще раз. Формулировки теоремы Геделя я _не
давал_. Слова "тавтология" в привычном вам смысле не
использовал. Почему вы решили, что это не так -- бог
весть. По-видимому, купились на случайное созвучие.

>В последний раз, когда я доказал ему несостоятельность
>его утверждений (об аутентичности неких цитат из Талмуда),
>мы от него ничего не услышали.

А чего бы вы хотели услышать? Вы же сами все разьяснили
исчерпывающим образом. Цитаты подлинные. Сноски -- нет. Т.к. у меня
здесь библиотеки нет, то проверить ваши утверждения я не могу, да и
не очень хочу -- я вам верю. Правда, мне кажется, что и сноски тоже
появились не от фашисткой мелочной фальсификации, а от халтуры
кого-нибудь, выпускавшего Талмуд на CD-ROMе (глупо фальсифицировать
сноски, сохранаыя подлинные цитаты -- условного криминала и там, и
там одинаково). Но это как все не настолько важно, чтобы стоило
обсуждать.

За познавательное обьяснение про структуру Талмуда и пр. -- большое
спасибо.

[Вербицкий:]
>Да, что забавно, у Роты, мне кажется, Дима ассистировал
>(по крайней мере уж точно с ним общался в 4 года, проведенные
>им в MIT). Я думаю что он расскажет о ем много интересного, когда
>вернется к компутеру

Нет, ассистировать я ему никак не мог -- он проходил по прикладному
отделу, я по чистому. Историй про него ходит много. Увы, я все
забыл... Помню только, как он упорно распространял по департаменту
некоторый собственный текст против MITшных хакеров, и против
нехороших капиталистов, которые вкладывают в этих хакеров
непристойно большие деньги. Текст был местами забавный. Там,
например, обьяснялось, что Фейнмана (!) в некоторый момент наняли за
дикие деньги переводить переводить тексты с хакерского на
человеческий. Хакер, понятное дело, даже говорить не умеет -- а тут
их по каким-то комммерчеким причинам заставили записать свои условно
говря мысли -- что-то про 128 процессоров, связанных в четырехмерный
куб. Фейнман очень страдал, старался. Но никакого смысла в хакерских
бреднях найти не смог.

[Миша:]
>Аксиому Выбора, континуум-гипотезу и прочие существенные
>теор-множественные устройства использовать лучше не.

[Анатолий:]
>P.S. Бурбаки, в отличие от Вас, так любили аксиому выбора, и так
>были в ней уверены, что вообще не внесли ее как аксиому, а
>сформулировали свою логику так, чтобы аксиома выбора была логическим
>примитивом (используя тау Гильберта, к-я выбирает один член из любого
>класса).

Ну, у аксиомы выбора есть человеческая формулировка -- "в категории
множеств все обьекты проективные (= все эпиморфизмы
расщепляются)". Т.е. это важно в гомологической алгебре. Может быть,
за это ее так любили Бурбаки.

Вообще-то конечно, любой работающий математик -- интуитивный
конструктивист, и нехороших (не конечно-порожденных в каком-нибудь
смысле) вещей пытается по мере сил избегать; поэтому "реально"
аксиома выбора используется только для конечных множеств, где с ней
вообще никаких проблем нет. Но этот факт лучше оставить на уровне
психологического наблюдения.

[Юля:]
>Каледину он действительно доказал, что контекст, в котором
>обыкновенно приводят интересную цитату из Талмуда про
>трехлетних девочек, не может быть назван в точности
>соответствующим авторским намерениям раввинов. Мне кажется,
>что Каледин, абсолютно не склонный к юридическому мышлению,
>этого конкретно и не думал оспаривать, но я не знаю наверное,
>думал или не думал.

Да нет -- про контекст (мне, по крайней мере) сразу было понятно -- я
и не спорил. Но мне стало обидно за фашистов, а точнее -- за
собственное умение отличать фальшивку от аутентичного перевода. Мне
как-то было очевидно, что сам текст аутентичный. Оказался ровно
наполовину прав.

Про остальное, и остальным -- потом (я сейчас не дома).

Привет,
Дима.

PS. Перечитав еще раз ту фразу, на которую столько ругался Анатолий,
_одну_ натяжку я в ней нашел (я более-менее понимал, что это
натяжка, но оставил тогда для красного словца). Доказательство
теоремы Геделя существенно использует арифметику (в частности,
предполагает ее непротиворечивость). Поэтому, строго говоря, оснований
обвинять его в бессодержательности нет -- по крайней мере это не
того же сорта бессодержательность, что у утвержений, про которые
теорема о полноте.

To Юдик Шерман

Не только Почта, но и Почти ничего нейдет... Не в коня корм, значит...


Все это от Гордыни нейдет. Хотя и Жыды виноваты, естественно.

>И Паше, кстати, тож не идёт

e-mail: gop tuda (may be)

Кстати, хорошо сказала Православная Лэди Юлия Фридман. Почта нейдёт.

Мише нейдёт. И Паше, кстати, тож не идёт.

Жыды гадят?

Возможно. Даже наверняка. А нельзя ль их как-нибудь это самое за это
самое? Чтобы хотя бы временно как бы?

Извините, пожалуйста, за использование в личных целях.

Мише Вербицкому:

Мишка, у тебя не работает почта, девушки жалуются.
Если это будет продолжаться, может быть, форвард пока
убрать? А то оно все, кажется, ходит кругами, на него
нарастают одна за другой шапки Почтового Демона, и
объем головы от этого увеличивается.

Анатолий Воробей, по-моему, совершенно не виноват. Я
раньше не знала, а теперь знаю. Он просто думает так,
в смысле устройства его головы: ему условности, нарочно
принятые для удобства описания, честно кажутся интересными
и содержательными. И, видимо, самодостаточными. Может
быть, он не отличает (заменяемого) языка описания от
объектов --- ведь это нельзя понять, отличает он или нет ---
а может быть, они и правда имеют какое-то содержание.
Как это можно знать? Например, грамматика сложившегося
языка имеет же какое-то самостоятельное содержание.

Каледину он действительно доказал, что контекст, в котором
обыкновенно приводят интересную цитату из Талмуда про
трехлетних девочек, не может быть назван в точности
соответствующим авторским намерениям раввинов. Мне кажется,
что Каледин, абсолютно не склонный к юридическому мышлению,
этого конкретно и не думал оспаривать, но я не знаю наверное,
думал или не думал. В любом случае, здесь уже ясно, что нет
способа договориться.

Честные юристы, кстати, бывают лучше пассионарных революционеров
с понятием: последние имеют тенденцию скурвливаться (Шкловский),
а первые вот именно что честные, упертые на частностях и не
скурвливаются. От них может быть польза, когда начнется красный
террор.

Привет.
Юля.
P.S. "Русский человек понятие имеет," --- П.В. Иванов (Леонтьев)

За кого?

А между кем и кем?

В последнее время - между математиками. Один нумерует теоремы Гёделя,
другой не нумерует.

За это, конечно, можно сложить живот в борьбе. Но можно и не слагать
живота в борьбе. Поэтому его и не складывают в борьбе. Хотя борьба идёт
не на живот. То есть вот именно что она идёт не на живот.

Так с кем же вы, мастера культуры? С Цермелой-Френкелем, или без
Цермелы и Френкеля? Лучше без: ясно ведь, что Жыды. Но можно и с: ясно
ведь, что и без них Жыдофф предостаточно. То есть как бы то же на то же.

Гёдель, правда, не Жыд, а вовсе арыец и скинхэд. А даже если и не
арыец, а Жыд, всё равно не Жыд. Ибо не Жыд. И всё тут. Сколько бы не
теорем теоремил. Ладно, проехали. Чихать, проехали.

Ещё была борьба между анальным Римом, и Римом просто.

Ещё есть борьба за контрапункт, а будет - за обращение "сэптаккорда" и
права албанцев играть на чимбало и клавикордах.
Вот это будет серьёзная борьба. До последнего албанца.

Читайте Проханова. Кремлёвский спрут! Тебе капутЪ! Это тебе не жук
накакал. Это серьёзность. Не то что чимбало и эти ваши клавикорды.

Давайте про Кремль. Или не давайте про Кремль. Главное чтобы про Кремль.

Дайте Кремля. Или не давайте Кремля. Главное чтоб Кремля.

Где всего круглее земля, покуда на земле последний жив паскуда.

И то.

То есть не то, но это уже без разницы. Всё равно безмазово.

Будучи сам себе Sol&Luna, ничего менять не следует быть. Где Dasein.

>Надо, чтобы Псой пригласил Шиша и они побеседовали - паралельно - о
>праенисейских диалектах или еще какой-нибудь лингвистической лабуде.

Govoriat, shto Shish, zaidja po moej rekomendacii na etu gestbuku,
skazal, shto 'ne znaet, za kogo on'. Interesnaja mysl'. A ja za kogo? A
kto za kogo voobshche? A ty kto takoj, bratishka? Vsemu - svoyo vremia.

Psoy

И нравы.

Кстати, о нравах.

Поучения Асклепия.

У кого гипоталамус
Провалился прямо в Анус -
Приказал испить анис
Градусмейстер Дионис!

Кто поутру сиськи кушаль,
У кого зардэлись уши -
Выйди к нам и покажи
Половыя рубежи!

Нежных чаяний девица,
ты, мечтательница, спица (Минкина!!!!)
- по Пизьдэ бежит рука
Непрерывно, как Река.

По утрам бесстрашный Минкин (Жыд!!!!)
Излагает ей, любя
Тайны страшныя Крембля...

всё, более неча...

А меня не раздражает. Пусть его.
"Узники капель воды, мы лишь только вечные звери."

Moi podarok dlia d042.p3.col.ru i vseh-vseh-vseh

ANONYMIZER.COM : Privacy Is Your Right

ВЕРБИЦКИЙ:

> Лучше ЛСД, чем Сорос

Полностью согласен. Вот оппоненты Вербитского говорят, что с ним нельзя
найти общий язык - а я всегда говорил: "Нет! нас многое объединяет"

Черт... откуда же у меня взялась идея, что Дугин взял деньги Сороса?
Значит, опять проклятые атлантисты меня обманули... осталось вспомнить,
источник.

А жалко, что не взял, тут я опять-таки с Вами согласен. Разве может
философа с мировым именем унизить получение денег от финансиста с
мировым именем? Жалко, кстати, что Мандельштам ничего не писал о
философах, только о литераторах... может обобщить?

Про теорему Геделя, (раз уж я все равно пишу, то скажу и об этом) мне
очень нравится. В этом есть определенный шик, ИМХО. Для непосвященных
выглядит как чистое применение структуралистских идей о (не)возможности
построения связного и осмысленного высказывания на лексическом поле
несуществующих слов. Что-то вроде глокой куздры. Надо, чтобы Псой
пригласил Шиша и они побеседовали - паралельно - о праенисейских
диалектах или еще какой-нибудь лингвистической лабуде. Или обсудили
третью - скажем - главу книжки Пятигорского, которую Псой переводил в
свое время (ту, где один формулы).

Особенно мне нравится довод "сатанисты мы или нет, в конце концов". И
соображение что никаких верных доказательств не существует: оно хорошо
описывает методу дискутирования на этой гестбуке - да и на других тоже.

Мышка кошку родила (рифма к подписи Вербицкого)